1.1.1 空间向量及其线性运算 原卷版

1.1.1空间向量及其线性运算

【考点梳理】考点一：空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二：空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.考点三：共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．考点四：共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型归纳】题型一：空间向量的概念1．（2024秋·全国·高二专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量满足，则D．相等向量其方向必相同2．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（

）①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体中，与是相等向量；④在空间四边形中，与是相反向量；⑤在三棱柱中，与的模一定相等的向量一共有3个A．2 B．3 C．4 D．5题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·高二课时练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（

）A． B．C． D．6．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（

）．

A． B．C． D．题型三：空间两个向量共线的问题7．（2023·全国·高二专题练习）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对8．（2023·全国·高二专题练习）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．题型四：空间共面向量定理10．（2023春·高二单元测试）在正四面体中，点O是的中心，若，则（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高二专题练习）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．12．（2023·全国·高二专题练习）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．题型五：空间向量的综合问题13．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简：(1)；(2)，并在图中标出化简结果的向量.14．（2023·全国·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．15．（2023秋·全国·高二随堂练习）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.(1)若，求的值；(2)设，，，求的值.【双基达标】一、单选题16．（2023秋·全国·高二期中）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．17．（2023春·福建宁德·高二校考阶段练习）直三棱柱中，若，，，则（

）.

A． B．C． D．18．（2023秋·全国·高二随堂练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．119．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（2023·全国·高二专题练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．21．（2021秋·高二课时练习）如图，在正方体中，化简向量表达式：

(1)；(2)．22．（2023秋·全国·高二随堂练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【高分突破】一、单选题23．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．24．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面25．（2024秋·全国·高二专题练习）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（

）A． B．0 C． D．26．（2023·全国·高二专题练习）设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（

）A． B． C． D．27．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题28．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．29．（2023·全国·高二专题练习）若，，，为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④30．（2023春·高二单元测试）下列判断错误的是（

）A．是向量不共线的充要条件B．在空间四边形中，＋＋0C．在棱长为的正四面体中，·D．若向量共面，则它们所在的直线也共面31．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面32．（2022秋·辽宁营口·高二校考阶段练习）给出下列命题，其中是假命题的是（

）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有B．是，共线的充要条件C．若，共线，则D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面三、填空题33．（2023·全国·高二专题练习）已知三点共线，为空间任意一点，，则.34．（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.35．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，若，则．

36．（2021秋·高二课时练习）给出下列几个命题：①方向相反