1.2 空间向量基本定理（原卷版）

1.2空间向量基本定理【考点梳理】考点一：空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二：空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三：证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.考点三：求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点三：求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2023·全国·高二专题练习）若a,b,A．a+b,a−b,a 2．（2023·全国·高二专题练习）已知a,b,c是空间的一个基底，若p=a+b，A．r=2b−3C．r=a+23．（2023·全国·高二专题练习）若e1,e2,e3A．83 B．52 C．−1题型二：空间基底表示向量4．（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，

A．12b+C．12a−5．（2023·全国·高二专题练习）在四面体O−ABC中，PA=2OP，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，OB=b，A．16a+C．13a+6．（2023秋·高二单元测试）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示A．14OA+C．14OA−题型三：空间向量基本定理及其推论

7．（2023·全国·高二专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段ACA．34 B．1 C．54 8．（2023·江苏·高二专题练习）设O−ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若OGA．1 B．43 C．349．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA,OE=mA．29 B．23 C．32题型四：空间向量基本定理的综合应用10．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AC=2

(1)试用a，b，c表示BM；(2)求异面直线BM与A111．（2023春·甘肃白银·高二校考期中）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B,B(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA12．（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M是线段A1

(1)求满足MN=xAB+yAD+zAA(2)求MN的长．【双基达标】一、单选题13．（2023秋·全国·高二）已知a,b,A．a+b,C．2a+b14．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体ABCD−A'B'C'D'，点E是A'C'A．AA'+C．12AA15．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．16．（2023秋·全国·高二期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA

A．QP=310C．QP=31017．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A．472 B．C．382 D．18．（2024秋·高二课前预习）下列说法正确的是（

）A．若向量a、b共线，则向量a、b所在的直线平行．B．若a、b、c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组x,y,z，使p=xC．若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量a、b一定不共线．D．若三个向量a、b、c两两共面，则三个向量a、b、c一定共面．19．（2023·全国·高二假期作业）平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA=12OB+xOC+yOD，A．56 B．76 C．5320．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E,G分别是AB,CD的中点．设AB=a,

21．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥P−OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，设OA=a，OC=b，OP=c，E，F分别是PC，PB的中点，试用{a

【高分突破】22．（2023·全国·高二专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C．3 D．223．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.524．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，AB=1，AD=2，AAA．5 B．23 C．5 D．1325．（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则BM=（

A．34 B．34 C．3326．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32二、多选题27．（2023·全国·高二专题练习）设a,b,A．a，b，c两两不共线，但两两共面B．对空间任一向量p，总存在有序实数组x,y,z，使得pC．a，a−c，D．若xa+yb+zc=028．（2024秋·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且A．AC1⊥BDC．BD1=29．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）下列命题中，正确的命题有（

）A．a+b=a−B．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−4OB+3OC，则P，C．若a∥b，则存在唯一的实数λD．若a,b,30．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1A．MN=13C．AB1⊥31．（2023秋·全国·高二阶段练习）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BCB．“a−b=C．若a,b共线，则a与D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、z∈R)，则P、32．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1A．AC1=C．AA1⋅三、填空题33．（2023秋·高二课时练习）设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a+b；②a−b；③a+c；④b+c；⑤34．（2023秋·全国·高二随堂练习）在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，

35．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=4

36．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知点P为棱长等于1的正方体ABCD−A1B1C1D1内部一动点，且PA=137．（2023·全国·高二专题练习）如图，E、F、G分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AD、AB、CD的中点，H是AC1四、解答题38．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考期中）平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，且∠A1AD=∠A

(1)用向量a，b，c表示向量PM；(2)求线段PM的长度．39．（2022秋·浙江·高二校联考期中）如图，空间四边形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，点