2.3直线的交点坐标与距离公式 （原卷版）

2.3:直线的交点坐标与距离公式【考点梳理】考点一：两条直线的交点坐标1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行考点二：两点间的距离公式（1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).考点三：两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【题型归纳】题型一：直线的交点坐标1．（2023秋·高二）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·广东·高二统考期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）过两直线的交点，且与直线垂直的直线方程为（

）A． B． C． D．题型二：由直线交点个数求参数4．（2023秋·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（

）A．20 B． C．12 D．45．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022·高二课时练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：直线交点系方程及其应用7．（2023·全国·高二专题练习）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=08．（2022·高二课时练习）若P(2,3)既是的中点,又是直线与直线的交点,则线段AB的中垂线方程是（

）A． B．C． D．9．（2023秋·高二课时练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．题型四：两点间的距离公式应用10．（2023·全国·高二专题练习）已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．612．（2022秋·广东佛山·高二校联考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（

）A． B． C． D．题型五：两点间的距离公式求函数最值问题13．（2023·全国·高二专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．14．（2023·全国·高二专题练习）代数式的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2023秋·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．题型六：点到直线的距离问题16．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．17．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．题型七：点、直线的对称问题19．（2023秋·高二单元测试）已知直线，点关于直线的对称点为，直线经过点，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．20．（2022秋·高二校考课时练习）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是()A． B．C． D．21．（2023·全国·高二专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型八：两条平行直线间的距离22．（2023春·广东深圳·高二校考期中）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B．C． D．23．（2023春·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．24．（2022·全国·高二专题练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（

）A． B．C． D．题型九：直线距离和平行的综合问题25．（2023秋·高二课时练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.

26．（2023秋·高二）入射光线问题．(1)已知一条光线从点射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点，求点P的坐标；(2)已知一条光线从点射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点，求点Q的坐标及入射光线的斜率．27．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为.(1)求点的坐标；(2)求直线的方程.【双基达标】一、单选题28．（2023秋·江苏扬州·高二统考）两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B． C． D．29．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．30．（2023秋·高二课时练习）已知点A（3，4），B（6，m）到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝（

）A． B．C．1 D．或31．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（

）A． B．2 C． D．432．（2023·全国·高二课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（

）A． B．14 C． D．533．（2023秋·高二）（1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程；（2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．34．（2023秋·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．(1)求边上的中线的长；(2)证明：为等腰直角三角形．【高分突破】一、单选题35．（2023秋·全国·高二随堂练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．436．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（

）A． B． C． D．37．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（

）A．3 B．4 C．5 D．638．（2023秋·全国·高二阶段练习）直线，直线，给出下列命题：①，使得；

②，使得；③，与都相交；

④，使得原点到的距离为.其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④39．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）如图，直线与函数和的图象分别交于点A，B，若函数的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（

）A． B． C． D．二、多选题40．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．存在点，使得C．的最小值为 D．最大值为341．（2023秋·江苏南通·高二海安高级中学校考开学考试）下列说法中，不正确的有（

）A．已知点，，若直线的倾斜角小于，则实数a的取值范围为B．若集合，满足，则C．若两条平行直线和之间的距离小于1，则实数a的取值范围为D．若直线与连接，的线段相交，则实数a的取值范围为42．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（

）A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是43．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，，，以下结论错误的是（

）A．无论a为何值，与都互相平行B．当a变化时，与分别经过定点和C．无论a为何值，与都关于直线对称D．若与交于点M，则的最大值是三、填空题44．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）平行直线与之间的距离为．45．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是46．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中学校考开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．47．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．四、解答题48．（2023秋·江苏南通·高二海安高级中学校考开学考试）三角形的顶点，边上的中线所在直线为，A的平分线所在直线为．(1)求A的坐标和直线的方程；(2)若P为直