2026年甘肃省陇南市重点学校高一数学分班考试试题及答案

2026年甘肃省陇南市重点学校高一数学分班考试试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知函数$f(x)=x^33x$，则$f(1)$的值为（）

A.2B.0C.2D.4

答案：B

2.若$a^2+b^2=1$，则$a+b$的最大值为（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$\sqrt{3}$

答案：D

3.已知$a+b=2$，$ab=3$，则$a^2+b^2$的值为（）

A.5B.8C.10D.12

答案：C

4.函数$y=2x^33x^2+x+1$的极值点为（）

A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=1$

答案：A

5.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k$的取值范围是（）

A.$k\geq0$B.$k\leq0$C.$k\geq1$D.$k\leq1$

答案：B

6.已知$a\neqb$，则$\frac{a+b}{ab}$的取值范围是（）

A.$(\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(\infty,1)$D.$(1,+\infty)$

答案：D

7.设$a\inR$，若$a^2+3a+4\geq0$，则$a$的取值范围是（）

A.$a\leq4$B.$a\geq1$C.$a\leq1$D.$a\geq4$

答案：D

8.若$a^2+ab+b^2=1$，则$a^2+b^2$的最大值为（）

A.1B.2C.$\sqrt{2}$D.$\sqrt{3}$

答案：D

9.已知$a+b=3$，$ab=2$，则$a^4+b^4$的值为（）

A.17B.23C.27D.37

答案：B

10.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，则$k$的取值范围是（）

A.$k\geq0$B.$k\leq0$C.$k\geq1$D.$k\leq1$

答案：D

二、填空题（每题5分，共30分）

11.若$a+b=3$，$ab=2$，则$a^3+b^3$的值为______。

答案：17

12.函数$f(x)=x^33x+1$的极值点为______。

答案：$x=1$

13.已知直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k$的取值范围是______。

答案：$k\leq0$

14.若$a^2+ab+b^2=1$，则$a^2+b^2$的最小值为______。

答案：$\frac{1}{2}$

15.若$a+b=2$，$ab=3$，则$a^4+b^4$的值为______。

答案：23

三、解答题（每题20分，共40分）

16.已知函数$f(x)=x^33x$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=3x^23$，令$f'(x)=0$，得$x=\pm1$。

当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；

当$1<x<1$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；

当$x>1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。

故$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(1,1)$。

17.已知直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=4$相切，求$k$的取值范围。

解：设直线与圆的切点为$(x_0,y_0)$，则有：

$$

\begin{cases}

y_0=kx_0+1\\

x_0^2+y_0^2=4

\end{cases}

$$

将第一个方程代入第二个方程，得：

$$

x_0^2+(kx_0+1)^2=4

$$

整理得：

$$

(k^2+1)x_0^2+2kx_03=0

$$

由于直线与圆相切，所以判别式$\Delta=0$，即：