2026复变函数保角映射考核试卷及答案

2026复变函数保角映射考核试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数保角映射考核试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内处处可导。2.保角映射将角度保持不变，但可能改变角度的大小。3.分式线性映射可以将圆映射为圆或直线。4.若w=f(z)是保角映射，则其导数f'(z)在z处不为零。5.罗歇定理表明，若函数在闭曲线Γ上不为零，则在Γ内解析的函数在Γ内至多有一个零点。6.极点与零点的阶数可以相同。7.对数函数log(z)在复平面上处处解析。8.若函数f(z)在z₀处有阶数为m的极点，则它在z₀处的洛朗展开式中含有1/(z-z₀)^m项。9.保角映射可以将上半平面映射为单位圆内部。10.若函数f(z)在区域D内解析且不为常数，则其模|f(z)|在D内不能为常数。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个函数在z=0处解析？A.sin(z)/zB.z^2sin(1/z)C.1/zD.tan(z)2.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)中，若a=d=0，则映射变为：A.zB.-zC.1/zD.03.函数f(z)=z^2+2z+3在z=-1处的留数是：A.0B.2C.-2D.44.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则它在z=1处的值是：A.1B.2C.3D.05.保角映射将单位圆映射为单位圆，其映射形式可能是：A.z→z^2B.z→1/zC.z→z+1D.z→e^z6.函数f(z)=e^z在z=πi处的留数是：A.1B.-1C.iD.-i7.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=0，则它在z=1处的值是：A.0B.1C.-1D.28.分式线性映射z→(z+1)/(z-1)将上半平面映射为：A.上半平面B.下半平面C.单位圆内部D.单位圆外部9.函数f(z)=sin(z)/z在z=0处展开的洛朗级数中，-1/z项的系数是：A.0B.1C.-1D.π10.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则它在z=-1处的值是：A.1B.0C.-1D.2三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些函数在z=0处解析？A.z^2B.1/zC.sin(z)D.zlog(z)2.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)的保角性要求：A.a≠0B.c≠0C.ad-bc≠0D.a=d=03.函数f(z)=z^2+2z+3在z=-1处的留数是：A.0B.2C.-2D.44.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则它在z=1处的值可能是：A.1B.2C.3D.05.保角映射将单位圆映射为单位圆，其映射形式可能是：A.z→z^2B.z→1/zC.z→z+1D.z→e^z6.函数f(z)=e^z在z=πi处的留数是：A.1B.-1C.iD.-i7.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=0，则它在z=1处的值可能是：A.0B.1C.-1D.28.分式线性映射z→(z+1)/(z-1)将上半平面映射为：A.上半平面B.下半平面C.单位圆内部D.单位圆外部9.函数f(z)=sin(z)/z在z=0处展开的洛朗级数中，-1/z项的系数是：A.0B.1C.-1D.π10.若函数f(z)在|z|<1内解析，且f(0)=1，则它在z=-1处的值可能是：A.1B.0C.-1D.2四、案例分析（每题6分，共18分）1.设函数f(z)=(z^2-1)/(z-1)，求其在z=1处的留数。2.证明函数f(z)=z/(z^2+1)在上半平面内解析，并求其在z=i处的留数。3.设函数f(z)=e^z/(z^2+1)，求其在z=i处的留数，并说明其在上半平面内的解析性。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述分式线性映射的性质及其在保角映射中的应用。2.详细解释留数定理，并举例说明其在计算积分中的应用。---标准答案及解析一、判断题1.√解析函数在区域D内处处可导。2.×保角映射保持角度大小不变。3.√分式线性映射可以将圆映射为圆或直线。4.√若映射保角，导数不为零。5.√罗歇定理的表述正确。6.×极点与零点的阶数必须相同。7.×对数函数在z=0处不解析。8.√洛朗展开式中含有1/(z-z₀)^m项。9.√分式线性映射可以将上半平面映射为单位圆内部。10.√解析函数的模不能为常数。二、单选题1.Asin(z)/z在z=0处解析（洛朗展开）。2.Ca=d=0时，映射为1/z。3.B求导后f'(z)=2，f'(-1)=2。4.A由解析性，f(1)=f(0)=1。5.B1/z将单位圆映射为单位圆。6.De^z在z=πi处的值为e^πi=-1。7.A由解析性，f(1)=f(0)=0。8.B分式线性映射将上半平面映射为下半平面。9.Csin(z)/z的洛朗展开中-1/z项系数为-1。10.A由解析性，f(-1)=f(0)=1。三、多选题1.ACz^2和sin(z)在z=0处解析。2.ACad-bc≠0且a≠0或c≠0。3.BC-2和4是可能的留数。4.ABC1、2、3是可能的值。5.ABz^2和1/z将单位圆映射为单位圆。6.BDe^z在z=πi处的值为-1和-i。7.ABC0、1、-1是可能的值。8.AD上半平面映射为单位圆外部。9.AC-1和π是可能的系数。10.ABC1、0、-1是可能的值。四、案例分析1.解：f(z)=(z^2-1)/(z-1)=z+1，z=1处留数为2。2.证明：f(z)=z/(z^2+1)在z^2+1≠0时解析，z=i处留数为1/(2i)。3.解：f(z)=e^z/(z^2+1)，z=i处留数为e^i/(2i)。解析性由z^2+1≠0保证。五、论述题1.分式线性映射性质：-将圆映射为圆或直线；-保持角度大小