2023-2024学年广东深圳翠园中学高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共4页2023-2024学年度翠园中学高二年级第一学期期中考试卷数学1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写或填涂在答题卡上.动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回3.考试结束后，只上交答题卡.A.1B.1C.2D.25A.1B.C.3D.44A.1条B.2条C.3条D.4条 B.D.26.已知F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为().2222C.D.第2页/共4页7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)，点(a,b)关于直线y=x的对称点落在椭圆C上，则椭圆 32 A.BCD.角的取值范围是()A.l1在x轴上的截距为2B.l1丄l2C.l1,l2的交点坐标为(2,—4)10.下列关于空间向量的命题中，正确的是()A若非零向量满足//，//，则有//.B.任意向量满足2411.已知P是椭圆4y2 A.椭圆C的焦距为B.椭圆C的离心率为 C.iPD的最大值为3D.PQ的最小值为=81上，顶点A,B在圆O:x2+y2=4上.若 第3页/共4页 B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为42C.有且仅有一个点P，使得△ABP为等边三角形D.有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线14.过点(3,2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为15.写出一个既与y轴相切又与直线3y=0相切，且半径为3的圆的标准方程：.2216.已知P是椭圆上的动点，F1,F2是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是上F1PF2的角平分线上一点，且F1M.MP=0，则OM的取值范围是.（1）求AB边的高所在直线的方程；（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程.)，且圆心C在直线l:y=3x上.（1）求圆C的方程；（2）若从点P(—2,4)发出的光线经过直线2x—y—7=0反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.19.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2,E,F,G分别是DD1,BC,AD的中点..第4页/共4页（2）求直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值.20.某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向10·米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.（2）在平面EFB内寻求一点M，使得AM丄平面EFB，求此时二面角M—AB—F的平面角的正弦值.（1）求圆O的半径r；（2）若圆O与圆C相内切，设圆O与x轴的负半轴的交点为P，过点P作两条斜率之积为-3的直线l1,l2，分别交圆O于M,N两点，求点P到直线MN距离的最大值.2023-2024学年度翠园中学高二年级第一学期期中考试卷数学1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写或填涂在答题卡上.动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回3.考试结束后，只上交答题卡.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案.故选：B2.若直线y=2x+m是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，则m的值为()A.-1B.1C.-2D.2【答案】B【解析】【分析】求出圆心坐标代入直线方程可求得参数值.【详解】由已知圆的标准方程是x2+(y-1)2=1，圆心坐标为(0,1)，故选：B.第2页/共19页5A.1B.C.3D.44【答案】B【解析】【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可.故选：BA.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】法，得出两圆的位置关系，即可求解.所以两圆共有4条切线.故选：D. A.B.C.-I3D.【答案】C【解析】【分析】根据向量a-在向量上的投影向量求出a-cosθ,代入a-.的定义式即可.第3页/共19页b【详解】b2θ,所以向量a-在向量上的投影向量为cosθ.a所以a2故选：C.6.已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为()2222【答案】B【解析】【分析】设G(x,y),P(m,n)，利用三角形的重心坐标公式可得将其代入+y2=1可得结果.【详解】:F1,F2分别为椭圆+y2设G(x,y),P(m,n)，G点是三角形PF1F2的重心又G点是三角形PF1F2的重心，:y≠0故选：B27.已知椭圆C:a+=1(a>b>0)，点(a,b)关于直线y=x的第4页/共19页 A.B.C.D.52【答案】D【解析】【分析】求得点关于直线y=x的对称点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，整理化简求得b，再结合离心率计算公式求解即可.a【详解】易知点关于直线y=x的对称点为，故选：D.角的取值范围是()【答案】D【解析】又点在直线l上，联立其方程，求得a=然后由tanα==求解.【详解】将A(-1,0)代入2x-2ay+3+a=0得a=-1，所以A，B不在直线l上， 所以点p在线段AB上，第5页/共19页直线方程2x-2ay+3+a=0，即为y=设直线l的倾斜角为α,因为-1≤x≤0，所以-1≤2-≤1，所以故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得再利用斜率与倾斜角的关系而得解.A.l1在x轴上的截距为2B.l1丄l2C.l1,l2的交点坐标为(2,-4)D.l1,l3之间的距离为【答案】BC【解析】【分析】选项A：令y=0，求l1在x轴上的截距；选项B：根据直线垂直对应系数关系求解；第6页/共19页选项C：解方程组求解；选项D：根据两平行线间距离求解；【详解】令y=0，易得l1在x轴上的截距为-2，A错误.丄l2，B正确.由{得{2-,4,所以l1,l2的交点坐标为(2,-4)，C正确.故选：BC.10.下列关于空间向量的命题中，正确的是()A.若非零向量满足//，//，则有//B.任意向量满足(-3,x,9)，若x>，则,为锐角【答案】ACD【解析】【分析】根据共线向量的性质、共面向量定义、空间夹角的计算公式逐一判断即可.【详解】A：因为是非零向量，所以由//，//，可得//，因此本选项说法正确；B：因为向量，不一定是共线向量，因此.).=.)不一定成立，所以本选项说法不正确；所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；2222，当x第7页/共19页角，故本选说法正确，故选：ACDA.椭圆C的焦距为B.椭圆C的离心率为 C.iPD的最大值为3D.PQ的最小值为【答案】BC【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆C上一点P(x,y)，求得a2a2-b2 又由圆2+y2=可得圆心D(-1,0)，半径为设椭圆C上任意一点P(x,y)(-2≤x≤2)，令x2+2x+2，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为PDmaxPDmax,第8页/共19页则PQ的最小值为6-r=，所以C正确，D不正确.故选：BC.12.已知△ABP的顶点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=81上，顶点A,B在圆O:x2+y2=4上.若 B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为42C.有且仅有一个点P，使得△ABP为等边三角形D.有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线【答案】ACD【解析】【分析】设点P到直线AB的距离为h，由h≤PD≤PO+OD≤PC+OC+OD求得h的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用△ABP为等边三角形，则需PD丄AB，PD=3判断C，利用射影定理可得PO=4进而判断D.【详解】设线段AB的中点为D，因为圆O的半径为所以所以当且仅当P,D,O,C四点共线时，点P到直线AB距离的最大值为15，所以△ABP的面积的最大值为 对于B选项，点C到直线PA的距离小于等于CA，当PA丄CA时，等号成立，又CA的最大值为7，第9页/共19页 所以点C到直线PA的距离的最大值为7，这时直线PA被圆C截得的弦长的最小值为2·81—72=82，故B错误；当且仅当P,D,O,C四点共线时成立，因此有且仅有一个点P，使得△ABP为等边三角形，故C正确；对于D选项，若直线PA，PB都是圆O的切线，则PA丄OA，由射影定理，可得PO=4，同上，当且仅当P,O,C三点共线时，POmin=4，因此有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线，故D正确；故选：ACD 【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可. 2 2故答案为：-21.14.过点(3,2)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为【解析】【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为2x+3y=0，且在x轴，y轴的距离均为0，符合题意，当直线在x轴，y轴均不为0时，设直线方程为15.写出一个既与y轴相切又与直线x+·y=0相切，且半径为3的圆的标准方程：.第10页/共19页 2【解析】【分析】利用待定系数法即可求得该圆的方程.【详解】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9，22 222 2 2-----------的角平分线上一点，且F1M.MP=0，则OM的取值范围是.-----------【解析】【分析】设P是第二象限的点,作出图形,设PF2与直线F1M交于点N,易得2222,再由椭圆中xy≠0,可得0<PF2-a<c.OM=PF2222,再由椭圆中xy≠0,可得0<PF2-a<c.【详解】由题意,设P是第二象限的点,作出图形(见下图),设PF2与直线F1M交于点N,又M是上F1PF2的角平分线上一点，则PF1=PN,F1M=MN,F2N的中位线,则P是椭圆上的动点，则 PF2,,PF2-4 2,-4PF2故0<-4PF2 OM OM ..故答案为.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了转化思想在解题中的运用,利用三角形的中位线、椭圆中PF2+PF,PF2≤a+c是解决本题的关键,属于中档题.（1）求AB边的高所在直线的方程；（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程.【解析】【分析】（1）根据点斜式求得AB边的高所在直线的方程.（2）对l是否与直线AB平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线l的方程.【小问1详解】直线AB的斜率为，第12页/共19页所以AB边的高所在直线的斜率为1，所以AB边的高所在直线的方程为y-5=1×(x-4),y=x+1.【小问2详解】直线AB的斜率为-1，若直线l与直线AB平行，则直线l的方程为y-5=-(x-4),y=-x+9.线段AB的中点坐标为(0,3)，若直线l过(0,3)，则直线l的方程为x+3,y=x+3.18.已知圆C过点A(3,3),B(-1,7)，且圆心C在直线l:y=3x上.（1）求圆C的方程；（2）若从点P(-2,4)发出的光线经过直线2x-y-7=0反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.【解析】【分析】（1）计算AB的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案.（2）根据垂直和中点得到P(-2,4)关于直线2x-y-7=0对称的点为P0(10,-2)，CP0即为所求直线.【小问1详解】kAB==-1，则AB的垂直平分线的斜率为k=1，AB中点为(1,5)，故AB的垂直平分线为y=x+4，解得即圆心为C(2,6)， 【小问2详解】反射光线恰好平分圆C的圆周，故反射光线过圆心C(2,6)，设P(-2,4)关于直线2x-y-7=0对称的点为P0(x,y)，第13页/共19页19.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2,E,F,G分别是DD1,BC,AD的中点.（2）求直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；【解析】【分析】建立空间直角坐标系，应用向量证明垂直关系和求解角度.【小问1详解】如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，第14页/共19页【小问2详解】设平面B1FG的一个法向量为n–=(x,y,z)，:x=2，y=0，则设直线A1C1与平面B1FG所成角为α. 则直线A1C1与平面B1FG所成角的正弦值为.20.某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向10·米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度.【答案】（1）游客在该摄像头的监控范围内（2）8.75米【解析】【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断；（2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围.【小问1详解】第15页/共19页设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，O(0,0)，则直线AB的方程为5x-7y+20=0，所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内.【小问2详解】由图知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，所以设直线l过点A且和圆相切，①若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切；②若直线l不垂直于x轴，设l:y-10=k(x-10)，整理得l:kx-y+10-10k=0，所以圆心O到直线l的距离为解得即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0，观景直道所在直线方程为y=-5，设两条直线与y=-5的交点为D，E，由-10=0，解得，答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米.第16页/共19页（1）证明：EFTEB；（2）在平面EFB内寻求一点M，使得AMT平面EFB，求此时二面角M一AB一F的平面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 【解析】【分析】（1）以C为原点，CA,CB,CF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明；（2）根据四点共面、线面垂直等求出点M的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角M一AB一F的平面角