2023-2024学年广东深圳红山中学高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共5页深圳市红山中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学试卷一单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的A.0B.C.D. A.150。B.120。C.60。D.45。则向量=()4.直线l过点(5,4)，且方向向量为(1,2)，则(B.D.)B.直线l的斜截式方程为线EF和直线AB所成的角是()第2页/共5页A.30。B.45。C.60。6.已知向量与2互相垂直，则k的值是()A.-1B.C.D.7.已知向量，若O,A,B,C共面，则在上的投影向量 2A.2B.22C.D.=10的化简结果为A.22B.22C.22D.9.给出下列命题，其中正确的有()A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量a//b，则C.对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=xaD.如果，是两个单位向量，则=10.设l是直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若l//α,l//β,则α//βB.若α丄β,l//α,则l丄βA.圆O与圆M有两条公切线；第3页/共5页B.圆O与圆M的相交弦所在的直线方程4xC.线段AB的长为；D.E，F分别是圆O和圆M上的点，则EF的最大值为4十·.点F是棱A1C1上的动点，点P是线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A.点P是线段A1B的中点，PE//平面ABCB.直线AB与平面A1BC所成角的正弦值是C.三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积是20πD.当点P是线段A1B的中点时，三棱锥P一B1CF的体积是22.2216.已知椭圆十的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上的动点，△MF1F2的面积的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为.第4页/共5页（1）求角A的大小；求f的值；的取值范围.（1）求证：AE//平面C1BD；（2）求点E到平面C1BD的距离.(y2a)22（1）求圆C的方程；（2）若直线m：y=kx1与圆C有公共点，求k的取值范围.第5页/共5页（1）证明：BD丄CC1；（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD1-D的余弦值为?若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A、B为椭圆C的左、右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x=4交于点P，记PA、PF、BN的斜率分别为k1、k2、k3，问是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.深圳市红山中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学试卷一一A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式直接计算作答.故选：D A.150。B.120。C.60。D.45。【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得直线3x—y+1=0的倾斜角.故选：C.则向量=()第2页/共19页22【答案】A【解析】)，结合平行六面体的结构特征即能求出结果.【详解】∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1,B1D1的交点.故选：A.4.直线l过点(5,4)，且方向向量为(1,2)，则()A.直线l的点斜式方程为y-5=2(x-4)B.直线l的斜截式方程为C.直线l的截距式方程为D.直线l的一般式方程为2x-y-6=0【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程【详解】因为直线l的方向向量为(1,2)，所以直线l的斜率为2.因为直线l过点(5,4)，所以直线l的点斜式方程为y-4=2(x-5)，其一般式为2x-y-6=0．故A错误，D正确；化为斜截式：y=2x-6，故B错误；故选：D5.如图所示，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则直线EF和直线AB所成的角是()第3页/共19页【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位线得到平行关系，将异面直线EF和AB所成的角转化为相交直线所成的角上B1AB，再求解即可.【详解】连接D1B1，A1C1，交点即为正方形A1B1C1D1的中心E，连接AB1，在△D1AB1中，E,F分别为D1B1,D1A的中点，则EF//AB1，故上B1AB即直线EF和直线AB所成的角，故选：B.A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算结合向量垂直的坐标表示运算求解.若k与2互相垂直，则+2k+4=0，解得第4页/共19页故选：D.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用共面的条件求出λ,再利用投影向量及模的定义计算即得.故选：B=10的化简结果为A.22B.22C.22D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点(x,y)到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的a,b,c得到结果.所以其几何意义是动点(x,y)到点(0,—4)和点(0,4)的距离之和等于10，符合椭圆的定义.点(0,—4)和点(0,4)是椭圆的两个焦点.c2第5页/共19页22所以曲线方程的化简结果为故选D项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.9.给出下列命题，其中正确的有()A.空间任意三个向量都可以作为一个基底B.已知向量a//b，则C.对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=D.如果a，b→a=b【答案】BD【解析】【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】对于A，因为,,是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项A错误;对于B，因为//,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项B正确;对于C，当,,为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使对于D，若,都是单位向量，则模长都为1，故ii=，故选项D故选：BD.10.设l是直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若l//α,l//β,则α//βB.若α丄β,l//α,则l丄β【答案】CD【解析】【分析】对四个命题分别进行判断，即可得到结论.【详解】l是直线，α,β是两个不同的平面，知：第6页/共19页在A中，若l//α,l//β,则α与β相交或平行，故A错误，在B中，若α丄β,l//α,则lβ或l//β或l与β相交，相交也不一定垂直，故B错误，在C中，若l丄α,l丄β,由直线与平面垂直的性质，可得α//β,故C在D中，α//β,l丄α,由直线与平面垂直的性质，可得l丄β,故D正确，故选：CDA.圆O与圆M有两条公切线；B.圆O与圆M的相交弦所在的直线方程4x-2y+5=0；C.线段AB的长为； D.E，F分别是圆O和圆M上的点，则EF的最大值为4+·5.【答案】ABD【解析】【分析】写出两圆的圆心与半径判断两圆的位置关系可知A，利用圆的方程求直线的方程，由圆心与直线关系可判断B，利用圆的弦的性质可判断C，根据圆上两点最大距离判断D.【详解】圆O：x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2，对于A，因为圆O与圆M相交，所以有两条公切线，A正确；对于B，两圆方程相减得4x-2y+5=0，即直线AB的方程为4x-2y+5=0，所以B正确；对于C，因为圆心O(0,0)与圆心M(-2,1)的中点为满足-4-2×+5=0，×2=-1，所以第7页/共19页 对于D，E，F分别是圆O和圆M上的点，则EF的最大值为|MO|+r+R=5+4，故D正确，故选：ABD. 点F是棱A1C1上的动点，点P是线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A.点P是线段A1B的中点，PE//平面ABC B.直线AB与平面A1BC所成角的正弦值是C.三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积是20πD.当点P是线段A1B的中点时，三棱锥P-B1CF的体积是【答案】ABD【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用空间向量法可判断B选项；利用补形法结合长方体的外接球可判断C选项；利用等体积法可判断D选项.【详解】对于A选项，当点P为A1B的中点时，连接AB1，则P为AB1的中点，第8页/共19页又因为E为B1C的中点，则PE//AC，因为PE丈平面ABC，AC平面ABC，所以，PE//平面ABC，A对；以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为 所以，直线AB与平面A1BC所成角的正弦值是B对；第9页/共19页ACC，故选：ABD.【答案】π【解析】【分析】已知两边与一边对角由正弦定理解B，再由内角和定理求解C.故答案为：π.【答案】332【解析】【分析】代点求出a,b,c，进而可求.第10页/共19页a22=4,:c2=a2b2=3，故答案为：332.【解析】设，则解得或16.已知椭圆C:的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为. 【答案】62【解析】【分析】由题意知当M为短轴端点时△MF1F2面积最大，由此求出bc=9，由a2=b2+c2结合基本不等式即可求解.【详解】当M为短轴端点时△MF1F2面积最大，此时SVMF1F2=.2c.b=bc=9，a222 17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinB=·bcosA.（1）求角A的大小；【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求得bc的值，然后利用余弦定理可求得b+c的值.【小问1详解】解：因为asinB=3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=·cosAsinB，【小问2详解】236求f的值；第12页/共19页的取值范围.【解析】【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，再求值；（2）整体角换元求f(x)范围.【小问1详解】x-sinxcosx-【小问2详解】由知f=cos函数y=cost在-,0|单调递增，在单调递减，故f(x)的取值范围为[0,1].第13页/共19页（1）求证：AE//平面C1BD；（2）求点E到平面C1BD的距离.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；（2）根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.【小问1详解】以C的原点，CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，=2，且D，E分别是AA1，BC的中点，设平面C1BD的法向量为=(x,y,z)，因为AE丈平面C1BD，且第14页/共19页则AE//平面C1BD.【小问2详解】由（1）可知，平面C1BD的一个法向量为，且(y2a)22（1）求圆C的方程；（2）若直线m：y=kx1与圆C有公共点，求k的取值范围.【解析】【分析】（1）根据点在圆上以及直线垂直的斜率关系即可联立方程求解，（2）根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解.【小问1详解】圆心(a,2a)，切点为在圆上，故2=r2又直线与圆相切，第15页/共19页【小问2详解】∵直线与圆有公共点7k2+12k-9≥0，（1）证明：BD丄CC1；（2）棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD1-D的余弦值为?若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析【解析】（2）取BC中点Q，连接AQ，以A为原点，建立空间直角坐标系，假设点E存在，设点E(,λ,0)，S3,0,0)，结合向量的夹角公式，列出方程，求得λ=即可求解.【小问1详解】第16页/共19页证明:如图