《几何模型全归纳之模型解读与提分精练》七年级上册(人教)专题04双角平分线模型与角n等分线模型含答案及解析

专题04双角平分线模型与角〃等分线模型

对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有

一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然

后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增

加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可

以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

模型1.双角平分线模型

图3

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分NAO8、ZBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC-

2

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：O。、OE分别平分NAOB、NBOC；

结论：ADOE=-AAOC-

2

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,己知/40。+/30。+44。。=360<>,0Pl平分NAOC、OP?平分N40C；

结论：/W180—Z4O8.

例1.（2023・河南周口•校联考一模）如图，点O为直线AB上一点，OE平分N8OC,0。平分/AOC,若

4QE=28。，则ZA。力的度数为（）

A.58°B.60°C.62。D.70°

例2.（2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末）如图，射线0C平分/A08,射线0。平分NBOC,则下列等

式中成立的有（）

①/COD=ZAOD-/BOC；（2）ZCOD=ZAOD-ZBOD；（3）2ZCOD=2ZAOD-ZAOB；④

ZCOD=-ZAOB.

3

A

A.①②B.①③C.②③D.②④

例3.（2022秋•黑龙江大庆•七年级校考期末）如图，是/A08的平分线，射线OC在N8QW内部，ON

是/BOC的平分线，己知200=80。，那么NM。*的大小等于,

例4.（2023秋•福建福州•七年级统考期末）如图，已知射线0C在/A08内部，。。平分乙40COE平分

NBOCQF平分NAOB,以下四个结论：①ZDOE=^ZAOB；②2/DOF=ZAOF-4COF、③

ZAOD=ZBOC；④/EOF=；（/COF+NBOF）.其中正确的结论有（填序号）.

DF

\//二

OB

例5.（2023•湖北七年级课时练习）如图所示，已知回AOB=641OAi平分回AOB,OA2平分回AOA1QA3平分团AOA2,

OA平分团AOA3,则由AOA4的大小为（）

A.1°B.2°C.4。D.8°

例6.（2022秋•山西太原•七年级统考期末）图，出100鲂。。=90。，08在酎OC的内部，OC在的内

部，OE是阳08的一条三等分线.请从48两题中任选一题作答.

A.当团800=30°时，（3EOO的度数为.

B.当团4OC=a。时，mEOD的度数为（用含a的代数式表示）.

例7.（2023秋•重庆万州•七年级统考期末）平面内，ZAOB=140°,C为NAO8内部一点，射线OM平分

NAOC.射找ON平分/8OC,射线O£）平分NMON,当|/人。（7-2/。。。|=30。时.求一人OC的度数？

例8.（2023秋•江苏无锡•七年级校考期末）解答题：⑴如图，若408=120,ZAOC=40°,。0、OE分

别平分NAOB、/AOC,求NOOE的度数；

⑵若ZAOB,ZAOC是平面内两个角，ZAOB=m,乙40c=<6<180）,。。、OE分别平分ZAOB、

ZAOC,求NDOE的度数.（用含〃?、〃的代数式表示）

B\9〃

E

A

1.（2023春•北京海淀•七年级校考期中）如图，直线AB,CD相交于点。，分别作N48,的平分

线。£,OF.ZBOC=48°,则N£Ob的度数是（）

A.56°B.66°C.72°D.90°

2.（2023秋•广西崇左•七年级统考期末）如图，0c是/AO8内的一条射线，OD平分/8OC,OE平分

^AOC,ZDOE=29°4（y,则NAO3的度数为（）.

A.58°B.59°2(XC.60°D.5804(r

3.（2022秋•山西临汾•七年级校联考阶段练习）如图，已知NA08=160。，。。是N4。/?内一条射线，OE

平分ZAQ7）,OC平分NBOD,ZAOE=55°,则N8OC=.

4.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级校联考期末）如图.OM平分NAOB,ON平分NCOD.若ZMON=48。,

ZBOC=14°,则ZAO£>=.

5.（2023秋•广东梅州•七年级校考阶段练习）已知乙45=50。，由定点。引一条射线，使得N3OC=30°,OM、

ON分别是NAOB和NBOC的平分线，则AMON=度.

6.（2023秋•安徽六安•七年级校考期末）如图，已知08、OC是N4OD内部的两条射线，OM平分/AO8,

ON平分48D,①若N8OC=40。，NMON=80。，则的度数为_____度：②若NAOQ=x。，

NMON=80。,则NBOC的度数为度（用含x的代数式表示）.

AMR

--------------D

7.（2023春•湖北武汉•七年级校考阶段练习）已知，如图，ZAOBiZBOC=3:2,。。是N30C的平分线,

OE是NAOC的平分线，且N£）OE=36。，则NAOB=_______度.

D号E

;

OA

8.（2023•黑龙江•七年级校联考期末）如图，ZAOC=9）（0,ZfiOC=60°,OE平分/BOC,0。平分NAO8.（1）

如图1,求N0OE度数；（2）如图2,若NAOC=x。，其他条件不变，请直接写出NDO笈的度数.

A,彳

图1图2

9.（2023・广东•七年级假期作业）如图,OC是Z4OD的平分线，OE是N80D的平分线，404=130。.

⑴求NCOE的度数是多少？（2）如果NCOD=2（）。，求N8OE的度数.

B

。匚。

10.（2023秋•山东临沂•七年级统考期末）（1）如图1，NAO8为直角，ZAOC=60°,且OW平分/8OC,

ON平分NAOC,求ZA/ON的度数.(2)如图2,ZAOB=40°,Z4OC=56°,且OM平分/BOC,ON

平分N4OC.直接写出NMON的度数.

因为NAOC=60°,平分/HOC,所以团=；/8。。=(

因为NAOC=60°,ON平分/AOC,所以用=^ZAOC=c

所以/A/QV=°：

(2)4M0N=

11.（2023・广东江门•七年级期末）如图，OB是ZA8的角平分线，。。是N8OE的角平分线，OC是NBOD

的角平分线，NAOE=60。，求NBOC.

12.（2023春•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）己知：射线0。在内部，OE

平分ZAOD.⑴如图1,求证：—=NOOK；⑵如图2,作"平分NA04,求证：/EOF=g/DOB；

⑶如图3,在（2）的条件下，当24。。=90°时，作射线3的反向延长线OC,O"在。4的下方，且

ZAOH=ZAOE,反向延长射线0E得到射线Q2,射线OP在N"OQ内部，OG是NEOP的平分线，若

NBOC—NDOF=26°,5NGOH+2ZPOQ-/EOF=71°,求N8OP的度数.

图3

13.（2023春•天津南开•七年级校考开学考试）（1）如图1,已知。为AO上一点，NAOC与/49笈互补,

OM.QV分别为/AOC与NAOB的平分线，若/MQV=40。，试求NAOC与NAO3度数.（2）已知如

图2,NAOB:NBOC=3:2,OO是/8OC的平分线，OE是NAOC的平分线，且/BQE=12。，求NDOE

的度数.

图2

14.（2023秋•广东广州•七年级统考期末）点。为直线AB上一点，在直线48同侧任作射线OC,OD,使得

NCO£）=90。.（1）如图1,过点O作射线OE,当OE恰好为NAOC的角平分线时，另作射线。尸，使得OF

平分ZBOD,则ZEOC+ZDOF（I勺度数是。：

（2）如图2,过点O作射线OG,当OG恰好为48的角平分线时，求出/30。与NCOG的数量关系；

⑶过点。作射线当。C恰好为4。4的角平分线时，另作射线。K,使得。K平分NCOD,若

ZHOC=3ZHOK,求出ZAO”的度数.

15.（2023秋•河南平顶山•七年级统考期末）如图，是NAOC的平分线，ON是NBOC的平分线.

⑴如图1,当NAOB是直角.NBOC=60。时，NMQN的度数是多少？

⑵如图2,当NAO8=a,N3OC=60。时，猜想NMON与。的数量关系，并说明理由；

⑶如图3,当NA08=a,NBOC=〃时，猜想：NMQV与。、/有数量关系吗？如果有，写出结论并说

明理由.

N

NN

CC

16.（2023秋•安徽池州•七年级统考期末）（1）如图1,已知/4。8内部有三条射线，QN平分/8OC,OM

平分NAOC,若乙408=60。，求NAOM+N3QV的度数；（2）若将（1）中的条件“ON平分/8OC,OM

I3

平分/AOC"改为"NNOB=-/COB,4coM=」/OCA”,且Z4OB=a,求Z/UW+N4QN的度数；（3）

44

如图2,若QV、OC在/AO8的外部时，ON平分NBOC,平分N40C,当NAO8=a,/BOC=万时,

猜想：NMQV与夕的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由.

图I

17.（2023秋•河北保定•七年级统考期末）问题情境：OC是一条射线，OM、ON分别是/AOC和NBOC的

角平分线.①当NAOB是直角，ZBOC=40,射线OC在的内部时，我们可以发现N用。N的度数

是—；②当ZAOB是直角，NBOC=a（0<cr<90）,射线OC在/AOB的内部时，4MON的度数是_。.

探索发现：OM、ON分别是N40C和N8OC的角平分线，当射线OC在N4OA的外面时.①若一人OS是

直角，ZBOC=2（r,求出/用QV的大小；②若NAOA是直角，^BOC=a（0<a<90）,写出NMCW的

度数；数学思考：OM、ON分别是/AOC和N8OC的角平分线，若/AO8的度数是夕，

NBOC=a（0<a<90）,直接写出NMQN的度数.（用含。、夕的代数式表示）

18.(2023春•山东淄博•七年级统考期中)如图①，已知线段A8=18cm,CD=2cm,线段。在线段48

上运动,E,尸分别是AG的中点.

图①图②

(1)若AC=4cm,则稗=5；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，己知NCOD在NA08

内部转动，OE,O/分别平分/AOC和/BOD,若NAO8=140。，ZCO£>=40°,则NEO/二.直

接写出NEO产，/AO3和NC8的数量关系：

19.(2023秋•福建龙岩•七年级统考期末)已知N4O3=120。，以射线OA为起始边，按顺时针方向依次作射

线。C、OD,使得NCOD=60。，设NAOC=。，00<6><180°.

⑴如图1,当()。＜8・60。时，若乙4。/)=83。，求N80C的度数；

(21备用图①，当60。＜j＜120°时，试探索48与/40C的数量关系，并说明理由；

⑶备用图②，当120。三。＜180。时，分别在-4OC内部和N8O。内部作射线OE,,使=,

ADOF=^ABOD,求NEO/的度数.

20.（2023秋•福建福州•七年级校考期末）如图，点。在直线AB上，NCOD在直线A8上方，且Z.COD=60°,

射线OE在Z.COD内部,ZAOE=24X）E.

⑴如图1,若。。是NBOC的平分线，求NCOE的度数；

⑵如图2,探究发现：当N8OD的大小发生变化时，NCOE与/BOD的数量关系保持不变.请你用等式表

示出NCOE与/8OZ）的数量关系，并说明理由.

专题04双角平分线模型与角〃等分线模型

对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有

一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然

后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增

加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可

以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

模型1.双角平分线模型

图3

1）双角平分线模型（两个角无公共部分）

条件：如图1,已知：OD、OE分别平分NAO8、ZBOC；

结论：ZDOE=-ZAOC-

2

2）双角平分线模型（两个角有公共部分）

条件：如图1,已知：O。、OE分别平分NAOB、NBOC；

结论：ADOE=-AAOC-

2

3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）

条件：如图3,己知/40。+/30。+44。。=360<>,0Pl平分NAOC、OP?平分N40C；

结论：/W180—Z4O8.

例1.（2023・河南周口•校联考一模）如图，点O为直线AB上一点，OE平分N8OC,0。平分/AOC,若

【答案】C

【分析】先根据OE平分/8OC,0。平分NAOC,求出NEO/）=90°,再根据NCOE=N8OE=28。，求出

ZZX?C=90°-28°=62°,即可得出答案.

【详解】解：团点。为直线AB上一一点，OE平分/8OC,。。平分NAOC,

团ZCOD=ZAOD=-ZAOC,乙COE=NBOE=-NBOC,

22

0ZEOD=ZCOD+ZCOE=；（NHOC+N8OC）=Jx180。=90。，0NEOD=90°,

团ZBOE=28。，aZCOE=28°,EADOC=90°-28°=62°,

0Z4OD=Zr）OC=62o,故C正确.故选：C.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出NEOQ=90°.

例2.（2023春•辽宁辽阳•七年级统考期末）如图，射线OC平分NAOb.射线/）平分/BOC,则下列等

式中成立的有（）

（1）ZCOD=ZAOD-ABOC：（2）ZCOD=ZAOD-ZBOD：（3）2ZCOD=2ZAOD-ZAOB；（4）

NCODJ/AOB.

3

A

A.①②B,①③C.②③D.②④

【答案】B

【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可.

【详解】解：。。平分NAO5,0D平分/BOC,；&OC=NBOC,NCOD=NBOD

.2LCOD=ZAOD-ZAOGZAOC=ZBOCZCOD=ZAOD-ZBOC故①正确:

NBOD*ZBOC:"COD工ZAO£>-N8。。故②错误：

ZAOD=ZAOC+ZCOD：.2ZAOD=2（ZAOC+ZCOD）=ZAOB+2ZCOD

:.2ZAOD-ZAOB=ZAOB+2/COD-ZAOB=24COD2NC0D=2ZAOD-ZAO8故③正确；

NCOD=；NBOC,NBOC=g/AOB；.NCOD=gx；ZAOB=；/AOB故④错误;故选B.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是

解决本题的关键.

例3.（2022秋•黑龙江大庆•七年级校考期末）如图，QW是/A08的平分线，射线OC在N8QM内部，ON

是/8OC的平分线，已知NAOC=80。，那么NMON的大小等于。.

【分析】据角平分线的定义得到NCON=N8QV,ZAOM=ZBOM=2x+yf根据角的和差即可得到结论.

【详解】解：回ON是N8OC的平分线，⑦/CON=/BON,

设NCON=ZBON=x,/MOC=y.则=NMOC+N80C=2x+y,

XQOM是/AOB的平分线，0ZZOM=4BOM=2x+y

团ZAOC-ZAOM+Z.MOC=2x+y+y=2（x+y）,

0Z4OC=8O°,02（x4-y）=80°,0x+y=4O°,

0ZMON=ZMOC+ZNOC=x+>=40°.故答案为：40.

【点睛】本题考杳角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系.

例4.（2023秋・福建福州•七年级统考期末）如图，已知射线OC在NAO8内部，。。平分乙AOCOE平分

NBOCOF平分NAOB,以下四个结论：①NOOE=g/4OA；（2）2ZDOF=ZAOF-Z.COF；③

ZAOD=/BOC；④NEOF=g（/COF+NBOF）.其中正确的结论有（填序号）.

【答案】①②④

【分析】①根据。。平分/AOC,。七平分/8OC,OF平分/AO8,得出乙4OO=NCOO=：NAOC,

Z.BOE=Z.COE=1Z.BOC,NAOF=NBOF=工/AOB,求出NOOE=』NAOB,即可得出结论；②根据

222

角度之间的关系得出N。。尸=，N8OC=NCOE,得出ZAOF—NCOF=NBO”一NCOF=NBOC,即可得出

2

结论；③无法证明Z4OD=NBOC；④根据NOO〃=g/4OC=NCOE,得出NEOF=NCOZ),

ZCOF+ZBOF-2ZCOD,即可得出结论.

【详解】解：①团。。平分/AOC,。石平分/80C,OF平分NAOB,

0ZAOD=ZCOD=-ZAOC,ZBOE=ZCOE=-ZBOC,ZAOF=ABOF=-AAOB.

222

ZAOC+NBOC=ZAOB,ZDOC+ZCOE=ZAOD+NBOE=-AAOB,

2

即NOO石=：NAOA,故①正确;

NDOE-/EOF=g/A08-(NCOF+g/BOC)=-ZAOB-Z.COF-；NBOC

②自NDOF=

=gN40B-(4B0F-NBOC)-；/BOC=-AAOB-\-ZAOB-^BOC\--ZBOC

2(2)2

=-ZAOB--AAOB+NBOC--4B0C=-ZBOC,ZAOF-Z.COF=/BOF-Z.COF=/BOC,

2222

(32ZDOF=ZAOF-ZCOF,故②正确；③ZA8与/BOC不一定相等，故③错误;

④根据解析②可知，/DOF=；/BOC=ZCOE,⑦ZEOF=/EOC+NCOF=/COF+/DOF=NCOD,

(3Z.COF+ZBOF=Z.COF+AAOF=ZAOC=2ZCOD,0/.EOF=(ZCOF+ABOF),故④正确；

综上分析可知，正确的有①②④.故答案为：①②④.

【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出N。。尸=gNBOC=/COE是解题的关键.

例5.(2023•湖北七年级课时练习)如图所示，已知0AOB=64。,OAi平分0AOB,0A2平分团AOAi，OA3平分0AOA2,

0A平分回AOA3,则©AOA4的大小为()

A.rB.2VC.4VD.8"

【答案】C

【分析】根据角平分线定义求出团4。庆产3M。8=32。，同理即可求出答案.

【详解】03AOB=64°,OAi平分团AOB,00AOAi=^0AOB=32°,

0OA2平分0AOAi,0aAOA2=yHAOAi=16\同理®AOA3=8°,回AOA4=4°,故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键.

【点睛】本题主要考查垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.

例6.（2022秋•山西太原•七年级统考期末）图，出100勖。。=90。，03在财OC的内部，右拈0。的内

部，OE是0JO8的一条三等分线.请从力，4两题中任选一题作答.

A.当回8。。=30°时，回£0。的度数为.

B.当08OC=a。时，此。。的度数为（用含a的代数式表示）.

【分析】月、根据角的和差得到的08=90。-30。=60。，根据OE是的一条三等分线，分类讨论，当的OE=

；阴。4=20。，②当时出IOB=20。，根据角的和差即可得到结论；

JJ

4、根据角的和差得到诩04,根据。E是曲/。3的一条三等分线，分类讨论，^AOE^^AOB,②当曲阳=

；刚。4,根据角的和差即可得到结论.

【详解】解:U如图,

B

同的OC=900,团80c=30°,用0JO8=9O°-3O°=6O°,

团OE是叫108的一条三等分线，

(3①当阳胡08=20°,图80£=40°,

团团8。。=90°,mEOD=^BOD^BOE=130°,

②当团8OF=g0/108=20°,EaDO£/=90o+20o=110°,

综上所述，团E0。的度数为130。或110。，故答案为：130。或110“；

B、皿OC=90°,^BOC=a\回回/O8=90°-a°,

团0E是血104的一条三等分线，

|||9

团①当阳Of=3[3JO8=30°-3a°,^BOE=90°-a-(30--a)°=60°-ya°,

005(92)=90°,^EOD=^BOD+^BOE=150°--a°,

3

②当团1[?L4O^=30o-|ao,颤OOE'=90°+30°・1a°=120°-1«<>,

JJJJ

?191

综上所述，田£0。的度数为150。-彳炉或120。7小故答案为：150。-工炉或120。小心

JJJJ

【点睹】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键.

例7.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)平面内，NAO8=140。，C为N4OB内部一点，射线0M平分

ZAOC,射找ON平分/8OC,射线。。平分NMQV,当|/AOC-2/CO£>|=30。时，求/AOC的度数？

【答案】N4OC=50°或20。

【分析】根据角平分线得出NMON=70。，/欣力)=35。，然后分两种情况分析：若射线。。在NAOC外部

时，若射线0。在/AOC内部时，结合图形求解即可.

【详解】解：回射线OM平分/AOC,射找ON平分N80C,

团NMOC」乙4OC,/NOC二L±BOC,

22

回/MON=/M0C+NNOC=-^AOC+-NBOC=-^AOfi=-xl40°=70°,

2222

团射线0。平分AMON，®/MOD=-NMON=-x70°=35°,

22

若射线在/AOC外部时，如图1,

则/COD=/MOD-ZMOC=35°--ZAOC,即2ZCOD=70°-ZAOC,

2

即/AOC-2/CO£>|=30。，E|2zfAOC-70°|=30°,解得：ZAOC=50°或20。；

若射线0。在/AOC内部时，如图2,WOZCOD=ZMOC-ZMOD=-ZAOC-35°,

2

02ZCO£>=ZAOC-7O°,即Z4OC-2NCOD=7()。，不满足|—AOC-2/COr)|=30。，

综上，ZAOC=50°或20。.

【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键.

例8.(2023秋•江苏无锡•七年级校考期末)解答题：⑴如图，若4408=120,NAOC=40。，。0、。£分

别平分NAOB、/AOC,求NOOE的度数；

⑵若NAO8,/AOC是平面内两个角，4408=〃?，ZAOC=n(〃<〃]<180),。。、OE分别平分N478、

NAOC.求NDOE的度数.(用含〃？、〃的代数式表示)

【答案】⑴40。(2)所以当射线OC在ZAOB的内部时，4D0E=：(〃?—〃)。：当射线OC在NAOB的外部时，

【分析】(1)根据角平分线定义求出幺8和NAOE度数，即可得出答案：(2)由「无法确定射线OC的位

置，所以需要分类讨论：若射线0C在NA08的内部时，根据角平分线定义得出乙4。。=；4。8,

ZAOE=^ZAOC,求出N7X)E=/4O力一/AOE；若射线OC在NA08的外部时，根据角平分线定义得

出乙4。。='乙404,ZAOE=-/AOC,求出NDOE=/拉。4+NAOE,代入求出即可.

22

【详解】（l）•.•〃OB=120。，。。平分/A08,.•.4OO=NBOD=-ZAO8=60

2

•••0E分别平分N40C,ZAOC=40.乙AOE=gZAOC=20

・•/DOE=ZAOD-ZAOE=60-20=40'.

（2）若射线OC在/AOB的内部，如图2

^ZDOE=ZAOD-ZAOE=-ZAOB--ZAOC=-（rn-n}o^ZDOE=-（m-n}°.

222Vf2V7

所以当射线OC在ZAOB的内部时，NDOE=

若射线OC在ZAOB外部时，如图3

团NAO8=〃z,ZAOC=nfOD、OE分别平分/AOB、NAOC.

0/DOE=ZAOD+Z.AOE=gNAOB+；ZLAOC=g（〃+，〃）。（3ZDOE=+m）。.

所以当射线。C在ZAOB的外部时，/DOE=：（〃+m）°.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键.

例9.（2023春•山东济南•七年级统考期末）解答下列问题

如图1,射线。。在NAOB的内部，图中共有3个角：ZAOB,乙4OC和/80C,若其中有一个角的度数

是另一个角度数的两倍，则称射线。。是/A03的“巧分线〃.⑴一个角的平分线.这个角的“巧分线"，（填"是"

或"不是"）.（2）如图2,若NMPN=60。,且射线PQ是/MPN的“巧分线"，则NMPQ=:表示出所有

可能的结果探索新知）.（3）如图3,若乙MPN=a,且射线〃Q是N7WW的“巧分线”，则乙盯尸。=（用

含〃的代数式表示出所有可能的结果）.

112

【答案】⑴是(2)30。，20。或40。(3)5。或4a或鼻。

/JJ

【分析】(1)根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解

答；(2)根据“巧分线”定义，分NMPN=24MPQ\、NNP0=2/M尸。?、/MP0=2/NP0三种情况求解

即可；⑶根据“巧分线”定义，分/MPN=2ZMPQ\、/NPQ『2/MPQ2、NMoQ,=2/NPQ3三种情况求

解即可.

【详解】(1)解：如图L0OC平分NAO6,121ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

团根据巧分线定义可得OC是这个角的“巧分线".故答案为：是.

A

0^^------B

图1

(2)解：如图3：①当NMPN=2/"P。时.则NMPQ=；NMPN=；x600=30。：

JJ

②当NNPQ?=2/MPQ2,则/MPN=NM产。2+/可。。2=3/知产。2=60。，解得：ZMPQ2=20°；

③当NMPQa=2NNPQ3,则NMPN=NMPQ3+NNPQ3=；NMPQ3=6O°,解得：ZMPQ,=40°.

综上，NMPQ可以为30。,20。,40。.

(3)解：如图3：①当NMPN=2NMPQi时,则NMPQ=/NMPN=/xa；

②"Ng-?/MPQ、,则NMQN—/MP。？十/NPQ?—3NMPQ2—a,解得：NMPQ2=1a；

3

32

③当，MPQ3=2/NP03，则NMPN=NMPQ?+NNPQ3=±NMPQ?=a,解得：ZMPQy=-a.

23

综上，NMPQ可以为£a彳I662;0.

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解"巧分线"的定义是解

题的关键.

课后专项训练

1.（2023春•北京海淀•七年级校考期中）如图，直线AB,CD相交于点。，分别作/8QD的平分

线OE,OF.ZBOC=48°,则/EO/的度数是（）

A.56°B.66°C.72°D.90°

【答案】D

【分析】根据角平分线定义得/四=4/I勿，尸=）/800,再根据/田厂=/69£+/。0少得出

答案.

【详解】团OE，OF平分ZA8,NBOD,⑦NDEO==ZAOD,/DOF=1/BOD,

22

中/EOF=/DOE+/.DOF=-Z.A01）+-4B0D=-（N1仞+ZW）=-x180°=90°.故选：D.

2222

【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键.

2.（2023秋•广西崇左•七年级统考期末）如图，OC是N408内的一条射线，OD平分NBOC,OE平分

ZXOC,ZDOE=29°4（yt则NAOB的度数为（）.

A.58°B.59°2(XC.60°D,58°4(7

【答案】B

【分析】根据OE平分NAOC,0D平分NBOC,可得ZAOC=2NCOE,NBOC=2NCOD,从而得到

ZAOB=2/DOE,即可求解.

【详解】解：13OE平分NAOC,(3ZAOC=2ZCOE,团。。平分N3OC,⑦NBOC=2NCOD,

^ZAOB=ZAOC+/BOC=2ZCOE+2ZCOE=2(ZCOE+/COE)=2ZDOE,

回ZDO£=29°40',0ZAOH=2x29°4(y=59020*.故选；B

【点睛】本题主要考杳了有关角平分线的计算，根据题意得到ZAO8=2NDO£是解题的关键.

3.（2022秋•山西临汾•七年级校联考阶段练习）如图，已知NAOB=160。，。。是Z4O8内一条射线，OE

平分ZAQQ,OC平分/B。。，ZAOE=55°,则NBOC=.

【答案】25。/25度

【分析】由角平分线的性质可得48,再由NAO8=160。，可求得N3。。，进•步利用角平分线的性质

求解即可.

【详解】解：OE平分ZA"）,ZAOE=55°,^AOD=2ZAOE=\W,

408=160°,/.^BOD=ZAOB-^AOD=\（^P-\10°=50°,

OC平分.•.N8OC=，NBOO=25。，故答案为：25。.

2

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键.

4.（2023春•黑龙江哈尔滨七年级校联考期末）如图.平分NAO8,QN平分/C8.若ZMON=48。,

ZBOC=14°,则NAO£>=.

【答案】82。/82度

【分析】证明,乙DON=Z1CON,求解NM20+NAOM=N"CW—N3OC=34。，再利用

角的和差关系可得答案.

【详解】解：团OM平分NAO8，ON平分NCOD,=ZBOM,4DON=/CON,

0ZNOD+ZAQW=ZNOC+/BOM=AMON-ZBOC=48°-14°=34°,

0Z4OD=AMON+ZMOD+ZAOM=480+34°=82°.故答案为：82°

【点睛】本题考查了角平分线的性质及角的运算，运用整体代换的思想是解题关键.

5.（2023秋・广东梅州•七年级校考阶段练习）已知ZAOB=50°,由定点。引一条射线，使得40c=30°,OM、

ON分别是ZAOB和N8OC的平分线，则ZMQV=度.

【答案】10或40

【分析】分两种情况讨论，当射线。。在NAOB的内部时，当射线OC在/A08的外部时，根据角平分线

的定义得出NBOM='408=25。,NCON=-ZBOC=15°,结合图形即可求解.

22

【详解】解：分两种情况讨论，当射线OC在NAOA的内部时，如图所示，

团4405=50°,ZBOC=30°,OM、ON分别是NA04和N8OC的平分线，

田NBOM=-AAOB=25°,ZCON=-Z.BOC=15°0AMON=ZBOM-Z.BON=25°-15°=10°；

22

当射线OC在NAO8的外部时，如图所示，

图N4O8=50。，N8OC=3（）°,OM、ON分别是NAO8和N8OC的平分线，

团NBOM=-ZAOB=25°,ZCON=-ZBOC=15°回/MON=NB0M+/BON=25°+15°=40°；

22

综上所述，/MQV=10。或40。，故答案为：10或40.

【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键.

6.（2023秋•安徽六安•七年级校考期末）如图，已知。8、OC是ZA。力内部的两条射线，O用平分NA04,

ON平分/COD,①若N3OC=40。，NMON=80。,则乙4。）的度数为度；②若N4OQ=x。，

ZMON=80°,则NBOC的度数为度（用含x的代数式表示）.

AMB

【答案】120(160-x)

【分析】①利用角平分线的定义可得NAOM=N8QM,ADON=^CON,易得

ZBOM+Z.CON=ZAOM+ZDON,利用ZMON-/BOC=/BOM+NCON,可得结果；

②由角的加减可得NAQM+N7XW，可得NROM+/CON,再利用NBOC=NMON-(N3OM+NCON)可

得结果

【详解】解：①QAMON—4BOC=4BOM+4CON,NBOC=400,NMQV=80°,

ZBOM+ZCON=8O°-4O°=40°,OM平分NA08,ON平分NC8,

:.ZAOM=/BOM,ADON=4CON,ZAOM+NZXW=40。，

ZAOD=AMON+AAOM+ZDON=800+40°=120°,故答案为120：

②ZAOD=x0,AMON=80°,/.ZAOM+ADON=ZAOD-^MON=(x-80)0,

QNBOM+4cON=ZAOM+/DON=(x-80)°,

/.ZBOC=AMON-(ZBOM+zLCON)=80°-(^-80)0=(160-x)°,故答案为：(160-x)

【点睛】本题考查的是角平分线佗定义有关知识，利用角平分线II勺定义找出角的数量关系是解决本题关键.

7.(2023春•湖北武汉•七年级校考阶段练习)已知，如图，ZAOB.Z13OC=3:2,。。是的平分线,

OE是/AOC的平分线，且/DOE=36。，则4403=度.

【答案】72

【分析】设4O8=3x,NBOC=2.x,根据。。是/80C的平分线，OE是NAOC的平分线，得到//欢?=3,

Z£OC=|x,由NDOE=NEOC-NDOC可得到关于工的方程，求解即可.

【详解】解：设ZAOA=3x,N3OC=2x,^ZAOC=ZAOB+ZBOC=3x+2x=5x,

回OD是N8OC的平分线，OE是/AOC的平分线，NDOE=3g,

0ZDOC=-ZBOC=-x2x