寒假作业06 几何图形初步（知识梳理+34个考点讲练+中考真题演练）（解析版）

几何图形初步（知识梳理+34个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共85题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理1：几何图形 2知识点梳理2：直线、射线、线段 3知识点梳理3：角 4优选题型考点讲练 5考点1几何体中的点、棱、面 5考点2从不同方向看几何体 8考点3由展开图计算几何体的表面积 10考点4由展开图计算几何体的体积 13考点5正方体相对两面上的字 15考点6求展开图上两点折叠后的距离 16考点7补一个面使图形围成正方体 18考点8点、线面、体四者之间的关系 19考点9平面图形旋转后所得的立体图形 21考点10截一个几何体 23考点11直线、线段、射线的数量问题 25考点12直线相交的交点个数问题 27考点13作线段（尺规作图） 28考点14线段的和与差 30考点15线段中点的有关计算 31考点16线段n等分点的有关计算 34考点17线段之间的数量关系 36考点18与线段有关的动点问题 37考点19两点之间线段最短 39考点20两点间的距离 41考点21最短路径问题 43考点22画特殊角 45考点23钟面角 47考点24与方向角有关的计算题 48考点25角的单位与角度制 50考点26角的度数大小比较 52考点27三角板中角度计算问题 53考点28几何图形中角度计算问题 56考点29角度的四则运算 59考点30实际问题中角度计算问题 60考点31角平分线的有关计算 62考点32角n等分线的有关计算 65考点33与余角、补角有关的计算 68考点34同(等）角的余(补)角相等的应用 71中考真题实战演练 74难度分层拔尖冲刺 77基础夯实 77培优拔高 79知识点梳理1：几何图形几何图形的分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.平面图形：三角形、四边形、圆等.几何图形2．立体图形与平面图形的相互转化（1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．（2）从不同方向看：主（正）视图从正面看几何体的三视图左视图从左边看俯视图从上面看（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.知识点梳理2：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：知识点梳理3：角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.3．余角和补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.4．方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.考点1几何体中的点、棱、面【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题：(1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个；(2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个；(3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分．【答案】(1)8,24,8(2)8,27(3)6【思路引导】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．（1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体；（2）同理（1）可进行求解；（3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有n-【规范解答】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个；故答案为8,24,8．（2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是(5-∴正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的，故答案为8,27；（3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有1=3-23个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有∴将这个正方体的棱n等分，有(n-∴(n解得：n=6；∴至少应该将此正方体的棱6等分，故答案为6．【变式训练】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：(1)小明总共剪开了______条棱．(直接写出答案(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中有______种情况．(3)据小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的6倍，现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是104cm，求这个长方体纸盒的体积．【答案】(1)8(2)4(3)288【思路引导】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为6acm，根据棱长的和是本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．【规范解答】（1）解：小明共剪了8条棱，故答案为：8（2）解：如图，四种情况．，故答案为：4（3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形，可设最短的棱长为acm∴长与宽相等为6acm∵长方体纸盒所有棱长的和是104cm∴4(a+6a+6a)=104解得a=2，∴这个长方体纸盒的体积为2×答：这个长方体纸盒的体积为288c考点2从不同方向看几何体【典例精讲】（25-26七年级上·广东·期中）如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为1dm(1)请在网格中画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；(2)该几何体的表面积为__________dm2(3)如果在这个几何体上再添加一些小立方体，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加__________个小立方体．【答案】(1)见解析(2)36(3)2【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键．（1）根据题意画出形状图即可；（2）根据几何体的表面积公式即可求解；（3）先求出保持从正面看和从左面看到的形状图不变时，几何体中小立方体个数最多的情况，再将其与原来的几何体中小立方体的个数作差即可得出答案．【规范解答】（1）解：画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图如下：（2）解：从正面或背面看，有6个小正方形；从上面或下面看，有5个小正方形；从左面或右面看，有5个小正方形，还有4个小正方形被遮挡；∴该几何体的表面积为6+5+5×故答案为：36；（3）解：要使几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，第一层最多可以有6个小立方体，第二层最多可以有4个小立方体，第三层只能有1个小立方体，∴几何体最多可以有6+4+1=11（个）小立方体，∴最多可以再添加11-故答案为：2．【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用几个大小相同的小立方块搭成一个几何体．画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．

【答案】见解析【思路引导】本题考查了从不同方向看几何体，掌握相关知识是解题的关键．从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2，依此画出图形即可．【规范解答】解：如图所示：

考点3由展开图计算几何体的表面积【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）用若干大小相同棱长为1的小正方体搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示．完成下列问题：(1)搭成满足如图所示的几何体最多需要个小正方体，最少需要个小正方体；(2)请在如图网格中画出用最少小正方体搭成的几何体的左视图．（画出两种即可）(3)如图几何体的表面积为：．【答案】(1)10，7(2)画图见解析(3)26【思路引导】（1）根据主视图和俯视图解答即可求解；（2）根据主视图和俯视图解答即可求解；（3）求出几何体的表面正方形个数，进而即可求解；本题考查了从不同方向看几何体，几何体的表面积，正确识图是解题的关键．【规范解答】（1）解：搭成满足如图所示的几何体最多需要2+2+2+2+2=10个小正方体，最少需要1+2+1+1+2=7个小正方体，故答案为：10，7；（2）解：画图如下：（3）解：从前后看各有5个正方形，从左右看各有4个正方形，从上下看各有4个正方形，∴几何体的表面共有5×∴几何体的表面积为1×故答案为：26．【变式训练】（25-26七年级上·山东·阶段练习）（1）如图为一张边长为30cm①画出纸盒展开示意图；②若四角各剪去一个边长为4cm（2）如图为一块长30cm、宽24cm的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为（3）小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分．①小明总共剪开了______条棱．②他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为88cm【答案】（1）①见解析；②1936cm3；（2）576【思路引导】本题主要考查了几何展开图，一元一次方程的应用；（1）①画出示意图即可；②确定长方体纸盒的长、宽、高，由体积计算公式进行计算即可；（2）根据长方形的面积减去4个边长为6cm（3）①根据平面图形得出剪开棱的条数；②设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是【规范解答】解：①在边长为30cm②当小正方形的边长为4cm时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为30-4×2=22纸盒的体积为22（2）盒子的表面积为30（3）①小明共剪了8条棱，故答案为：8．②∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5a∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm∴4(a+5a+5a)=88，解得a=2，∴这个长方体纸盒的体积为2×10×考点4由展开图计算几何体的体积【典例精讲】（25-26七年级上·广东河源·阶段练习）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．(1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号）(2)综合实践小组利用边长为acm

①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．若a=10cm，②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为bcm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果a=30cm，b=5cm(3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？【答案】(1)①③④(2)①16；②1000(3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小．【思路引导】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可；（2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解；②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解；（3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案；本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．【规范解答】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒，故选：①③④；（2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形，∴长方体纸盒的底面周长为4a故答案为：16；②由题意可知，该长方体纸盒的长为a-高为b=5cm宽为12∴该长方体纸盒的体积为20×故答案为：1000；（3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图，该长方体表面展开图的最大外围周长为6×边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图，该长方体表面展开图的最小外围周长为3×则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小．【变式训练】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是某长方体包装盒的展开图，具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍．(1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是___________（填序号）；(2)求长方体包装盒的体积．【答案】(1)⑥；(2)375cm3【思路引导】本题考查了长方体的相对面，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握长方体展开图的特征，列出一元一次方程．（1）根据长方体展开图进行判断即可解题；（2）设长方体的高为xcm，则长为2xcm，由题意得35-【规范解答】（1）解：由长方体包装盒表面展开图的特征可知，包装盒与①相对的面是⑥，故答案为：⑥；（2）解：设长方体的高为xcm，则长为2x由题意得，35-解得x=5，所以长为10cm，宽为7.5cm，高为则体积为10×答：这个长方体包装盒的体积为375cm3考点5正方体相对两面上的字【典例精讲】（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）在学校组织的“传统文化进校园”活动中，礼堂的电子屏上，以古典民乐为背景音，滚动播放由一个立方体与其平面展开图相互转化形成的视频．这个立方体的六个面上分别有：梅、兰、竹、菊、松、柏，同学们能看到的一个展开图是（

）A． B．C． D．【答案】C【思路引导】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图中面的相邻关系是解题的关键．根据正方体展开图的特征，判断每个选项折叠后“梅” “竹” “柏”的位置关系是否与原立方体一致．【规范解答】解：原立方体中“梅” “竹” “柏”相邻，选项A，折叠后“梅” 与“柏”不相邻，不符合．选项B，折叠后“梅”与“柏”不相邻，不符合．选项C：折叠后““梅” “竹” “柏”相邻，符合．选项D，折叠后“竹”与“柏”不相邻，不符合．故选项C符合题意．故选：C．【变式训练】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是．【答案】2【思路引导】本题考查了相对面上的数字．根据正方体表面展开图的判断“邻面”和“对面”即可．【规范解答】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6，即“6”与“2”相对，故答案为：2．考点6求展开图上两点折叠后的距离【典例精讲】．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点P最远的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【思路引导】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．【规范解答】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点P距离最远的顶点是A，故选：A．【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着A→D→B爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点

【答案】见解析【思路引导】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接AB，交CE于点D，即可．【规范解答】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接AB，交CE于点D，点D即为所求．

考点7补一个面使图形围成正方体【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，正方形网格中是一个正方体的部分展开图．(1)请你在图②、图③中各画1个正方形，使这6个正方形能折叠成一个正方体；(2)若这个正方体相对面上的两个数相等，求x、y的值．【答案】(1)见解析(2)x=1，y=【思路引导】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．（1）根据正方体的展开与折叠解答即可；（2）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定相对面，再根据相反数的定义求出x、y的值．【规范解答】（1）解：如图所示．（答案不唯一，任选两种即可）（2）解：根据题意，得x+1=2，即x=1，因为-x=y所以y=-【变式训练】（25-26七年级上·江西萍乡·阶段练习）周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．(1)共有___________种弥补方法；(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将-2【答案】(1)4(2)见解析【思路引导】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键；（1）根据正方体展开图即可求解；（2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可．【规范解答】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种．故答案为：4；（2）解：如图所示，答案不唯一．考点8点、线面、体四者之间的关系【典例精讲】（25-26七年级上·贵州·阶段练习）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是________（填序号）．①点动成线；

②线动成面；

③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积（结果保留π）．【答案】(1)③(2)48π【思路引导】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数，再运用体积公式计算．（1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系；（2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径3cm、高6cm的圆柱减去底面半径3cm【规范解答】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体．故答案为：③．（2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径3cm、高(4+2)=6cm的圆柱减去底面半径3cm设圆柱的体积为V1，圆锥的体积为V2，旋转后得到的立体图形的体积为V1V2V3答：得到的立体图形的体积为48πcm【变式训练】（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______；(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）【答案】(1)圆柱，面动成体(2)9.72【思路引导】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；（2）根据圆柱体的体积=底面积×高计算即可．【规范解答】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．故答案为：圆柱，面动成体．（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为：π×故形成的几何体的体积是9.72π考点9平面图形旋转后所得的立体图形【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）同一个图形绕不同的轴旋转时，得到的几何体一般不同．如图是一个直角三角形．(1)当该三角形绕着长为3cm的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π(2)当该三角形绕着长为5cm的边所在的直线旋转一周，得到一个几何体，请求出这个几何体的体积（结果保留π【答案】(1)16π(2)48【思路引导】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念和体积计算公式是关键．（1）三角形绕着直角边所在直线旋转一周得到圆锥，结合圆锥体积公式计算即可得出答案；（2）直角三角形绕着斜边所在直线旋转一周，得到两个扣在一起的圆锥．【规范解答】（1）当该三角形绕着长为3cm的边所在的直线旋转一周，得到的几何体是底面半径4cm，高为所以体积为13（2）当该三角形绕着长为5cm的边所在的直线旋转一周，得到两个等底面的圆锥体的组合体，如图2，设5cm边上的高为因为1所以r=12所以体积为1【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）将一个长为6 cm，宽为5 cm的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为【答案】150π或【思路引导】本题考查了点、线、面、体和圆柱体的体积的求法，熟记圆柱体的体积公式是解题关键，根据圆柱体的体积公式计算即可．【规范解答】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为5 cm，高为该圆柱的体积为：π×绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为6 cm，高为如图，该圆柱的体积为：π×故答案为：150π或180考点10截一个几何体【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图，用一平面切截正方体，截面图形一定是（

）A．正方形 B．长方形 C．梯形 D．平行四边形．【答案】D【思路引导】本题考查了用平面去截正方体，截面的四条边对边平行，根据平行四边形的定义，可知截面图形一定是平行四边形．【规范解答】解：如图，用一平面切截正方体，截面图形一定是平行四边形．故选：D【变式训练】25-26七年级上·全国·课后作业）如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到如图②所示的立体图形．(1)设原大正方体的表面积为S，图②中立体图形的表面积为S1，则S1与S的大小关系是（A．S1>SB．S1=S(2)小明说：“设图①中大正方体的棱长之和为l，图②中立体图形各棱的长度之和为l1，则l1比(3)图③是图②中立体图形的表面展开图吗？如果不是，请在图③中予以修正．【答案】(1)B(2)不一定正确．理由见解析(3)不是．图见解析【思路引导】（1）根据平移的性质可得出S1与S（2）利用立方体的性质得出棱长之间的关系；（3）利用立方体的侧面展开图的性质得出即可．【规范解答】（1）解：设原大正方体的表面积为S，图②中立体图形的表面积为S1截去三个正方形的面，还露出三个正方形的面，那么S1与S故选：B．（2）解：不一定正确．理由：设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，则l1因为只有当x=12时，才有（3）解：不是．如图所示．【考点剖析】此题主要考查了立方体的侧面展开图以及立方体的性质等知识，培养学生的空间想象能力．考点11直线、线段、射线的数量问题【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图．(1)【试验观察】如果每2个点画1条直线，那么第1组最多可以画________条直线；第2组最多可以画________条直线；第3组最多可以画________条直线；……(2)【探索归纳】如果平面上有nn≥3个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过n(3)【解决问题】（3）某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？【答案】（1）3，6，10；（2）nn【思路引导】本题主要考查规律的探究，找出其中的规律是解题的关键．（1）先根据图中点的个数，画出图形，从而可确定出图形中直线的条数；（2）由（1）规律求得即可；（3）根据（1）（2）规律应用求解即可．【规范解答】（1）解：如图所示：直线的条数分别可表示为：3=1+2；故答案为：3，6，10；（2）解：由（1）规律可得，如果平面上有nn≥3个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过n故答案为：nn（3）解：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握手次数=1答：一共需要握990次手．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）【观察思考】如图，线段AB上有两个点C，D，则图中共有________条线段．（2）【模型构建】如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），那么该线段上共有多少条线段？（3）【拓展应用】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握多少次手？【答案】（1）6；（2）12mm【思路引导】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【规范解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设该线段上共有x条线段，则x=(m-所以倒序排列有x=1+2+3+⋯所以2x=m+m+m+⋯所以x=1（3）共握12考点12直线相交的交点个数问题【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，同一平面内2条直线相交，只有1个交点；3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有个交点；5条直线两两相交，最多有个交点．请你猜想：10条直线两两相交，最多有个交点；n条直线两两相交，最多有个交点．【答案】61045n【思路引导】本题通过分析不同数量直线两两相交时最多交点数的规律，进而推导出n条直线两两相交时最多交点数的通用公式．本题考查了直线相交时交点数的规律探索，掌握通过分析少量直线相交的最多交点数，总结出n条直线两两相交最多交点数的公式是解题的关键．【规范解答】解：4条直线两两相交，最多交点数为1+2+3=6，所以①处填6；5条直线两两相交，最多交点数为1+2+3+4=10，所以②处填10；10条直线两两相交，最多交点数为1+2+3+⋯n条直线两两相交，最多交点数为n(n-1)2故答案为：6；10；【变式训练】（24-25七年级上·山东济宁·期末）在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，n条直线两两相交，最多交点个数是（）A．12nn-1 B．【答案】A【思路引导】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有12×22-【规范解答】解：两条直线相交，最多有12三条直线两两相交，最多有12四条直线两两相交，最多有12按照此规律，n条直线两两相交，最多交点个数是12故选：A．考点13作线段（尺规作图）【典例精讲】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段AB，使AB=a+b-【答案】见详解【思路引导】本题考查了尺规作图-作一条线段等于已知线段，线段的和差等知识．先作射线AM，再依次作线段AC=a，CD=b，再在线段AD上作DB=c，则AB=a+b-【规范解答】解：如图，（1）作射线AM，（2）以A为圆心，以a长为半径作弧，交射线AM于点C，则AC=a；（3）以C为圆心，以b长为半径作弧，在交射线AM于点D，则CD=b；（4）以D为圆心，以c长为半径作弧，交线段AD于点B，则AB=a+b-即AB为所求作线段．【变式训练】（23-24七年级上·广东·期末）如图，O点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点A，已知OA=2．(1)在原点O的左侧画点B，使OB=3OA；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)点M，点N同时从原点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点B后立即返回向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点M到达点O时，两个点都停止运动．若BM=ON时，求t的值；(3)在以上的条件下，若点M到达点O后继续沿数轴向右运动，点N的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，求t的值．【答案】(1)见解析(2)t的值为32(3)t的值为74或52【思路引导】本题考查了尺规作图—作一条线段等于已知线段、数轴上的动点问题及一元一次方程的应用，（1）根据作线段的尺规作图方法即可得；（2）先求出点B表示的有理数是-6，再求出点M从点O运动到点B所需时间为2秒，然后分两种情况：①0≤t（3）分三种情况：①0≤t≤2，②2<【规范解答】（1）解：如图，点B即为所求；（2）∵OA=2,OB=3OA，∴OB=6，∴点B表示的有理数是-6点M从点O运动到点B所需时间为63①当0≤t≤2时，点∴BM=-∵BM=ON，∴6-解得t=3②当2<∴BM=3t-∵BM=ON，∴3t-解得t=3，符合题设，综上，t的值为32（3）①当0≤t≤2时，点∴OM=3t,ON=t，∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，∴2+6+3t+t=15，解得t=7②当2<∴OM=6+6-∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，∴2+6+12-解得t=5③当t>∴OM=3t-∵点A，点B，点M，点N到原点O的距离之和是15，∴2+6+3t-解得t=19综上，t的值为74或52或考点14线段的和与差【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，C，D为线段AB上两点，AC+BD=12，且AD+BC=107AB，则【答案】9【思路引导】本题考查线段的和差，解题的关键是数形结合，列出方程；由题意得方程12+2CD=10【规范解答】解：∵AC+BD=12，AD+BC=∴AC+CD+CD+BD=12+2CD=∴12+2CD=解得：CD=9．故答案为：9．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知线段AB=a，延长AB至点C，使BC=2AB．(1)请补全图形，并求AC的长．(2)若点D为线段AC上一点，且BD=13AB【答案】(1)见解析，AC=3a(2)CD=53【思路引导】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段的和差关系是正确解答的关键．（1）根据题意画图即可，再根据线段之间的和差关系进行计算即可；（2）分两种情况，即点D在点B的左侧或右侧，根据图形中线段的和差关系进行计算即可．【规范解答】（1）解：如图，因为AB=a，BC=2AB，所以BC=2a，所以AC=AB+BC=3a；（2）解：由于BD=1当点D在点B的左侧时，CD=BC+BD=2a+1当点D在点B的右侧时，CD=BC-所以CD=53a考点15线段中点的有关计算【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…【答案】9【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出A1【规范解答】解：由题意可得，点A1表示的数为12点A2表示的数为12点A3表示的数为12…，点An表示的数为12∴点A2025表示的数为12∵A1A的中点表示的数为∴2025次跳动后的点与A1A的中点的距离是：故答案为：9-【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两个点A、B对应的数为-8、2，若M、N两点分别从A、B两点出发，各自以一定速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2(1)若M、N两点均向数轴正方向同时运动，当N点运动到6时，M点恰好到达原点，求N点的运动速度．(2)若M、N两点以（1）中的速度向右运动，运动多少时间时，MO=2NO？(3)若C点在A、B之间，N点从B点出发向数轴负方向运动．当N点走到B、C两点的中点D处时，它到A、C两点的距离和为多少？(4)若点M沿数轴向右运动，记AM的中点为P，记BM的中点为Q，假设运动t秒，此时：点P表示的数为，点Q表示的数为，点P与点Q的距离PQ=．【答案】(1)N点的运动速度为1个单位/秒；(2)运动1秒时，MO=2NO；(3)当N点走到B、C两点的中点D处时，它到A、C两点的距离和为10；(4)-8+t，t-【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离．（1）设N点的运动速度为n个单位/秒，根据题意列方程求解即可；（2）设运动时间为t秒时，根据点M和原点的位置关系分类讨论，列方程求解即可；（3）根据已知可得AB=10，由点之间的位置关系可得当N点走到B、C两点的中点D处时，它到A、C两点的距离和；（4）根据题意可得AP=t，从而可得点P表示的数，根据点M和点B的位置关系，进行分类讨论，可得BQ，从而可得点Q表示的数，减去点P表示的数，即可得点P与点Q的距离．【规范解答】（1）解：设N点的运动速度为n个单位/秒，根据题意可得6-解得n=1，∴N点的运动速度为1个单位/秒．（2）解：设运动时间为t秒时，MO=2NO，∵点A、B对应的数为-8、2∴OA=0--8若点M在原点左侧，8-解得t=1，若点M在原点右侧，2t-∴运动1秒时，MO=2NO．（3）解：∵点A、B对应的数为-8、2∴AB=2-当N点走到B、C两点的中点D处时，NB=NC，∴NA+NC=NA+NB=AB=10，∴当N点走到B、C两点的中点D处时，它到A、C两点的距离和为10．（4）解：AP=2t×∴点P表示的数为-8+t若点M在点B左边，BQ=1∴点Q表示的数为2-PQ=PM+MQ=1若点M在点B右边，BQ=1∴点Q表示的数为2+tPQ=t∴点P表示的数为-8+t，点Q表示的数为t-3，点P与点Q故答案为：-8+t，t-3考点16线段n等分点的有关计算【典例精讲】24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，点C为线段AB上一点，点D为线段CB的中点，且AB=18cm，AC=8(1)求线段BD的长度．(2)若点E在线段AB上，且点E是线段AB的三等分点，求线段ED的长度．【答案】(1)5(2)7cm或【思路引导】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义，（1）根据BC=AB-AC，（2）先求出BE的长，再根据三等分点的定义可求解；根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．【规范解答】（1）解：∵AB=18，AC=8，∴BC=AB-∵点D为线段CB的中点，∴BD=1∴线段BD的长度为5cm（2）当AE=13AB∵AB=18，∴AE=13AB=∵BD=5，∴ED=BE-当AE=23AB∵AB=18，∴AE=23AB=∵BD=5，∴ED=BE-∴线段ED的长度为7cm或1【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB长为12，点D是线段AB的三等分点，点C是线段AB上一点，且满足AC+CD=BC，则AC=．【答案】4或16【思路引导】本题考查线段的和与差，分BD=13AB=4【规范解答】解：当BD=1∵AC+CD=BC=BD+CD，∴AC=BD=4；当AD=1则：AC+CD=AC+AC-∵AC+BC=AB=12，∴3AC-∴AC=16综上：AC=4或AC=16故答案为：4或163考点17线段之间的数量关系【典例精讲】（24-25七年级上·湖北武汉·月考）如图，点B在线段AC上，且BC=2AB，D,E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①AB=13AC；②B是AE的中点；③EC=2BD；④DE=32A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【思路引导】本题考查了线段中点的有关计算，线段的数量，线段的和差计算，根据线段中点的有关计算和线段的和差结合题意可得结论①②③④正确，图中线段总共有10条，分别加一起即可求出结论⑤正确【规范解答】解：①、由BC=2AB，AC=AB+BC，得：②、由E是BC的中点，BC=2AB，得BE=AB，则B是AE的中点，故正确；③、由D，E分别是AB，BC的中点，得：④、由上述结论，得：DE=DB+BE=1⑤、由DE=32AB，DE=5，得到AB=103，又13AC=AB∴AD+AB+AE+AC=DB+DE+DC=5BE+BC=103+∴图中所有线段之和为653综上所述，正确的结论共有5个，故选：D【变式训练】（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图，线段AC上依次有D，B，E三点，AD=12DB，E是BC(1)求证：AD=BE；(2)求线段AC的长．【答案】(1)见解析(2)10【思路引导】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算．（1）利用线段的倍分关系即可证明；（2）利用线段中点性质得出BC=4，利用线段的倍分关系求出DB长度，然后利用线段的和差即可求解．【规范解答】（1）证明：∵BE=1∴BE=1∵AD=1∴AD=BE；（2）解：∵E是BC的中点，∴BC=2BE=4,由（1）得AD=BE=2，∴DB=2AD=4，∴AC=AD+DB+BC=2+4+4=10，∴线段AC的长为10．考点18与线段有关的动点问题【典例精讲】（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足a+32(1)求线段AB的长；(2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？(3)点P为射线BA上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的PA的中点，N为线段的PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否会发生改变？若不变，求出MN的长度，若改变，请说明理由．【答案】(1)AB=12；(2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10；(3)线段MN的长度不会发生改变，MN的长度为6；【思路引导】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．（1）根据平方和绝对值的非负性，求出a、b的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可；（2）设经过t秒后，点A表示的数为-3-2t，点B（3）由线段中点可知MP=12AP，NP=12BP，分两种情况讨论：当点P在A、【规范解答】（1）解：∵a+32∴a+3=0，b-∴a=-3，∴AB=-（2）解：设经过t秒后，点A表示的数为-3-2t，点B∵点B在点A的右侧，∴9-解得：t=2，∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10；（3）解：∵M为线段PA的中点，N为线段PB的中点，∴MP=12AP当点P在A、B两点之间运动时，MN=MP+NP，即MN=1当点P在点A左侧运动时，MN=NP-即MN=1∴综上所述，线段MN的长度不会发生改变，其值为6．【变式训练】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段AB=27cm，AO=5cm，半径OM=3cm，当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30∘的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N【答案】1910或【思路引导】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段AB上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可．【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为27-当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为27-综上所述，点N的速度为1910cm/故答案为：1910或25考点19两点之间线段最短【典例精讲】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，已知平面内有线段AB，BC和点D，且AB≤(1)作射线AB，并在射线AB上取点E，使得BE=BC（请用无刻度的直尺和圆规作图，并保留作图痕迹，不写作法）：(2)在BC上取一点F，使得AF+DF最短，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)图见解析；两点之间，线段最短【思路引导】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点E，则点E即为所求．（2）结合线段的性质：两点之间线段最短，连接AD交BC于点F，则点F即为所求，即可得出答案．【规范解答】（1）解：如图，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点E，则点E即为所求；（2）解：如图，连接AD交BC于点F，则点F即为所求．理由：两点之间，线段最短．【变式训练】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）(1)画直线AC，画射线AB；(2)我们容易判断出线段AB+AD与BD的大小关系是___________：(3)在平面内找一点P，使得P点到A、B、C、D四个点的距离之和最小，画出点P．(4)在下图中，经过A、B、C、D四个点能够作出___________条直线，若平面内有n个点，最多能够作出___________条直线．【答案】(1)画图见解析(2)AB+AD>BD(3)P点见解析(4)6，n【思路引导】本题考查画直线，射线和线段，线段的性质，直线的数量问题：（1）根据要求画图即可；（2）根据两点之间，线段最短，即可得出结果；（3）线段AC,BD的交点即为点P；（4）根据两点确定一条直线，进行判断即可．【规范解答】（1）画直线AC，画射线AB如图所示：（2）∵两点之间，线段距离最短，∴AB+AD>BD；（3）P点即为所求（4）能够作出直线AB,AC,AD，直线BC,BD和直线CD共6条；当任意三点不共线时，直线的数量最多，∵两点确定一条直线，∴每个点都能跟剩下的n-1个点确定∵直线AB和直线BA是同一条直线，∴一共有nn考点20两点间的距离【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式；②连接两点的线段叫两点间的距离；③若AP=BP，则点P是线段AB的中点；④三条直线两两相交，有三个交点；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有a=-A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路引导】本题考查了两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质，根据两点间的距离、直线的性质、相反数的定义、线段的性质逐个判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【规范解答】解：①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式，说法正确；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，原说法错误；③若AP=BP且点P在线段AB上，则点P是线段AB的中点，原说法错误；④三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，原说法错误；⑤若有理数a和b互为相反数，则一定有a=-综上所述，正确的有①⑤，共2个，故选：B．【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，已知C为线段AD上的一点，(1)在线段AD延长线上求作点B，使得CD=1(2)在（1）条件下，点M是线段AC的中点，N为BD的中点若MN=6，请求出线段AB的长．【答案】(1)见解析；(2)8．【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，两点间的距离，线段的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）以线段CD上截取线段CF，使得CF=CD，在射线AD上截取DB，使得DB=DF，点B即为所求；（2）设MC=x,DN=y，由题意可得AB=CD+2x+2y=12AB+2x+2y，得到12AB=2x+2y，所以AB=4x+4y【规范解答】（1）解：以线段CD上截取线段CF，使得CF=CD，在射线AD上截取DB，使得DB=DF，点B即为所求，如图：（2）解：如图：设MC=x,DN=y，由题意可得：AB=CD+2x+2y=1∴12∴AB=4x+4y，∴MN=CD+x+y=6，∴2MN=2CD+2x+2y=AB+2x+2y=4x+4y+2x+2y=6x+6y=12，∴x+y=2，∴4x+4y=AB=8．考点21最短路径问题【典例精讲】（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，已知四点A、B、C、D，请按要求完成下列问题：(1)画直线AB；(2)画射线AD，连接CD；(3)连接BC并延长BC到E，使CE=BC；(4)若AC=2，BD=3，画点P，使PA+PB+PC+PD的值最小，则这个最小值为_________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)5【思路引导】本题考查了直线、射线、线段的画法，线段的和与差等．（1）根据直线的概念作图即可；（2）根据射线和线段的概念作图即可；（3）首先画射线BC，在BC的延长线上依次截取CE=BC即可；（4）连接BD、AC，BD与AC的交点就是P点．【规范解答】（1）解：如图：直线AB，即为所求；（2）解：如图：射线AD，线段CD，即为所求；（3）解：如图：点E，即为所求；（4）解：如图：点P，即为所求．此时，PA+PB+PC+PD=AC+BD=5．故PA+PB+PC+PD的最小值为5．故答案为：5．【变式训练】24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．(1)如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC(2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．（1）由轴对称的性质得到CA=CA'，证明AC+BC=A（2）根据（1）得到的结论进行画图即可．【规范解答】（1）解：连接A'∵点A，点A'关于l对称，点C在l∴CA=C∴AC+BC=同理可得AC∵A∴（2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）．考点22画特殊角【典例精讲】（23-24七年级上·江苏常州·期末）观察下列图形，利用格点画图（每个方格边长为一个单位）：

(1)画线段AB；(2)在线段AB上方画∠EAB=90°，在射线AE上取三个单位长的(3)取AB的中点O，连接CO并延长CO到点D，使OD=OC；(4)连接AD、(5)请你写出在你所画图中相等的线段（除OD=OC外）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析(5)AC=BD,OA=OB,AD=BC【思路引导】本题主要考查的是直线、射线、线段:（1）根据题意画出图形即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）根据题意画出图形即可；（4）根据题意画出图形即可；（5）观察图形作出判断即可．【规范解答】（1）解：如图，线段AB即为所画，

（2）解：如图，∠EAB=90°，（3）解：如图，O,D即为所画；（4）解：如图，AD、（5）解：如图，AC=BD,OA=OB,AD=BC【变式训练】（2021七年级上·全国·专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、

求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β【答案】作图见解析【思路引导】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角．【规范解答】如图所示：（1）作∠AOC=∠α，（2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，则∠AOB即为所求作的角．【考点剖析】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键．考点23钟面角【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的较小夹角的度数为．【答案】140【思路引导】根据钟面角的定义以及时针、分针旋转过程中角的变化关系进行计算即可．【规范解答】解：如图，由钟面角的定义可知：∠MOC=由时针、分针旋转过程中所形成的角的变化关系可得：∠MOA=30∴∠故答案为：140【考点剖析】本题考查钟面角，解决问题的关键是理解钟面角的定义以及时针、分针旋转过程中角的变化关系．【变式训练】（2023七年级上·全国·竞赛）小明晚上7:00开始做数学作业，做完时还不到7:30，他测量发现，此时时钟的时针和分针之间的夹角为78°，这时的时间是7时【答案】24【思路引导】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，掌握时钟上每大格为30°，每小格为6°是解题关键．设这时的时间是7时【规范解答】解：设这时的时间是7时x分，则30°×解得：x=24，即这时的时间是7时24分，故答案为：24．考点24与方向角有关的计算题【典例精讲】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B(1)仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB，OC（不写作法）；(2)若有一艘渔船D，且∠AOD是它补角的13，则渔船D在货轮【答案】(1)画图见解析(2)南偏东15°或北偏东【思路引导】本题考查方位角以及补角的含义，一元一次方程的应用，解题关键在于熟悉方位角定义．（1）根据方向角的度数，再画图可得答案；（2）根据补角的含义，可得∠AOD=45【规范解答】（1）解：客轮B和海岛C方向的射线OB，OC如图所示：；（2）解：∵∠AOD是它补角的1∴∠AOD=解得：∠AOD=45如图，故D在O南偏东15°或北偏东75【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？(3)若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？【答案】(1)学校和公园(2)商场在小明家北偏西30°方向上，学校在小明家北偏东45°方向上，公园在小明家南偏东60°(3)500m；【思路引导】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键．（1）求出OC的长，得到OA=OC<OB<OP即可得到答案；（2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可；（3）根据题意可知地图上1cm表示实际400【规范解答】（1）解：∵C为OP的中点，OP=4cm∴OC=PC=1∴OA=OC<OB<OP，∴图中距小明家距离相同的是学校和公园；（2）解：由题意得，商场在小明家北偏西90°-学校在小明家北偏东90°-公园在小明家南偏东90°-停车场在小明家南偏东90°-∴公园和停车场的方位相同．（3）解：∵学校距离小明家400m，∴商场距离小明家400×2.52考点25角的单位与角度制【典例精讲】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：(1)-20(2)2×(3)-1【答案】(1)-(2)129(3)2【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，有理数的加减混合运算，角度制的计算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键．（1）先化简符号，再计算；（2）分别计算度与分的部分，再换算即可；（3）先算绝对值内的和乘方运算，再算乘除，最后算加减．【规范解答】（1）解：-==-（2）2×（3）-=1=1+=1+1=2．【变式训练】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）计算：(1)-1(2)80°-【答案】(1)-(2)22【思路引导】本题考查了有理数混合运算，度、分、秒的减法运算，解题的关键在于熟练掌握有理数混合运算顺序、运算法则和运算律，度、分、秒是60进制．（1）先计算1的乘方，分配律展开，再计算乘法，最后计算加减；（2）利用度、分、秒的换算即可，1度转化为60分，1分转化为60秒．【规范解答】（1）解：-===-（2）解：80=79=22°考点26角的度数大小比较【典例精讲】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列说法正确的是（

）A．单项式32πB．近似数3.70与3.7的精确度相同C．35.5D．钟面上3点30分，时针与分针的夹角为80【答案】C【思路引导】本题考查了单项式的系数，精确度和近似数，角的度数大小比较和钟面角，正确掌握单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小是解题的关键；根据单项式系数的定义，精确度和近似数及度数的大小比较方法逐项判断即可．【规范解答】解：A、单项式32πxB、近似数3.70精确到百分位，3.7精确到十分位，精确度不同，故该选项说法错误，不符合题意；C、35.5°=35°D、钟面上3时30分，时针与分针的夹角为75度，故该选项说法错误，不符合题意．故选：C．【变式训练】（24-25七年级上·天津和平·期末）（1）比较大小：20.24°20°24'（填“>（2）钟表在8:20时，时针与分针的夹角是．【答案】<130°【思路引导】本题考查了角度换算，角度比较大小，钟面角，确定时针与分针相距的分数，1'（1）将20°（2）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【规范解答】解：（1）24'∴20∵20.24∴20.24故答案为：<．（2）8:20时，时针与分针相距4+208:20时，时针与分针所夹的角是30°×故答案为：130°考点27三角板中角度计算问题【典例精讲】24-25七年级上·广东汕头·期末）（1）如图，线段AB=20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x①AC=cm．②是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．（2）一副三角板按图（1）中的方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF上，∠AOB=45°，①∠BOD=②如图（2），三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转角α（即∠AOE=α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．在旋转过程中，是否存在某一时刻满足∠BOC=2∠【答案】（1）①10；②存在，x=6或x=152；（2）①75；②存在，α=105【思路引导】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于x的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．（1）①根据线段中点，可得答案；②根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．（2）①根据平角的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．【规范解答】解：（1）①∵C为AB的中点，∴AC=故答案为：10；②存在，（ⅰ）∵P的速度2cm/s，Q的速度是1∴AP≠又AC=BC，∴PC≠∴C不是线段PQ的中点；（ⅱ）当P为线段CQ的中点时，得22x解得：x=6；（iii）当Q为线段PC的中点时，得2x-解得：x=15综上所述：x=6或x=15（2）①∵∠AOB=45∴∠BOD=180故答案为：75；②解：当OA在OD的左侧时，则∠AOD=120°-α∵∠BOC=2∴135∴α=105当OA在OD的右侧时，则∠AOD=α-120∵∠BOC=2∴135∴α=125综上所述，当α=105°或125°时，存在【变式训练】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线OC，OD，OM，ON，使OM平分(1)如图1，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即∠COD=90°，则(2)受“兴趣小组”的启发，如图2，“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处，即∠COD=60°(3)如图3，已知∠COD=α，求∠MOC+∠【答案】(1)45(2)60(3)180【思路引导】（1）根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义解答即可．（2）仿照（1）的思路解答即可．（3）仿照（1）的思路解答即可．本题考查了角的和差，角的平分线，平角的定义，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键．【规范解答】（1）解：根据题意，得∠DOC=90∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+故答案为：45°（2）解：根据题意，得∠DOC=60∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+（3）解：根据题意，得∠DOC=α∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+考点28几何图形中角度计算问题【典例精讲】（23-24七年级下·山东德州·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，∠COD是直角，OE平分∠(1)若∠AOC=32°，求(2)若∠AOC=α，则直接写出∠(3)如图2放置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出∠AOC【答案】(1)16°(2)α2(3)∠AOC=2∠DOE【思路引导】本题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．（1）根据∠AOC=32°,∠COD=90°，可得∠BOD（2）根据∠AOC=α,∠COD=90°，可得∠BOD和∠（3）根据角平分线的定义可得∠COE的度数，再根据∠COD=90°，可得∠DOE=∠COD-∠【规范解答】（1）解：∵∠AOC=32∴∠BOD=180°-90∵OE平分∠BOC∴∠BOE=∴∠DOE=（2）解：∵∠AOC=α，∠∴∠BOD=180°-90°-α=90∵OE平分∠BOC∴∠BOE=∴∠DOE=故答案为：α2（3）解：∵∠BOC=180∵OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠COD=90∴∠DOE=90°-故答案为：∠AOC=2∵∠BOC=180∵OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠COD=90∴∠DOE=90°+故答案为：∠AOC=360【变式训练】（2023九年级下·浙江·竞赛）如图，点O在直线AB上，从O点引一条射线OC，OD平分∠AOC，∠(1)如图1，若∠AOD=27°，n=3，求(2)如图2，若∠DOE为直角，求n(3)如图3，若n=5，设∠AOD=m（用含m的代数式表示∠【答案】(1)69(2)2(3)36【思路引导】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．（1）已知OD平分∠AOC，∠AOD=27°可得∠AOC、∠COD、∠（2）因为∠DOE为直角，即∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=90°，因为OD（3）已知OD平分∠AOC，∠AOD=m可得∠AOC、∠COD、∠BOC【规范解答】（1）解：∵OD平分∠AOC，∠∴∠AOC=2∴∠BOC=180∵∠BOC=n∴∠COE=∴∠DOE=（2）解：∵∠DOE∴∠DOC+∵OD平分∠AOC∴∠COD=∴∠COE=∠BOE∴n=2；（3）解：∵OD平分∠AOC，∠∴∠AOC=2∴∠BOC=180∵∠BOC=n∴∠COE=∴∠DOE=考点29角度的四则运算【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算（用度、分、秒表示）：153°2110°362°2102°4【答案】180°10'14【思路引导】（1）相同单位相加，超过60向上一位进1即可；（2）先借1°（3）每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；（4）从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解．74．解：153°2975．解：110°3676．解：62°2477．解：102°【考点剖析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解决问题的关键在于要注意度分秒是60进制．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)33°(2)180°-(3)119°(4)72°【答案】(1)166(2)123(3)82(4)110【思路引导】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算．【规范解答】（1）解：原式=165°（2）解：原式=180°-（3）解：原式=152°（4）解：原式=36°【考点剖析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键．考点30实际问题中角度计算问题【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接AB，AC，∠BAC=45°，则∠ACB是钝角，将三角形ABC沿着直线l向右平移得到三角形A1B1C【答案】15°或【思路引导】本题考查平移的性质，分两种情形：当点B1在线段BC上时，当点B1在【规范解答】解：当点B1在线段BC∵AB∥∴∠A∵∠A∴∠B当点B1在BC∵AB∥∴∠A∵∠A∴∠CA故答案为：15°或45【变式训练】（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，小明从A处沿南偏西65∘30'方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西72∘A．114∘30' B．108【答案】D【思路引导】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=65∘30'、∠1=【规范解答】解：如图：∵小明从A处沿南偏西65∘30'方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西∴∠2=∠3=65∘3∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案为D．【考点剖析】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键．考点31