专题03 破解动态数学阅读理解题型

专题03破解动态数学阅读理解等创新题型精品例题解析例1.砸“金蛋”游戏：把210个金蛋连续编号为1，2，3，4，……，210.接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩下的“金蛋”重新编号为1，2，3，4，……，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，……按照这样的方法操作，直至无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 个.【解析】210÷3＝70，第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140；140÷3＝46…2，第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94；94÷3＝31…1，第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，63＜66，砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是"66"的"金蛋"共有3个．例2.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、质数、合数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.例如：32是纯数，因为32+33+34在列竖式计算时各位都没有进位现象.23不是纯数，因为23+24+25在列竖式计算时个位有进位现象.（1）请直接写出1949至2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的纯数的个数，并说明理由.【解析】设n的个位数字为m，m+m+1+m+2≤9，可得m≤2，除个位外其余各个位上的数字均小于等于3，否则会发生进位.（1）所以1949至2019之间符合要求的“纯数”有：2000,2001,2002三个数.（2）由上面分析可知：个位小于等于2，且十位、百位小于等于3的数符合“纯数”特征，经过筛选，不大于100的纯数有13个：具体如下：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13个.例3.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，当时，（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【解析】（1）由题意，得，解得，即函数解析式为（2）图如下所示，性质：函数图象为轴对称图形，对称轴为直线x=2；当x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而增大；x=2时函数值取最小值，最小值为－4；函数与x轴有两个交点，与y轴有一个交点…（填写一条即可）.（3）1≤x≤4.例4.根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab>0（或），则②若ab<0（或），则根据上述知识，求不等式的解集.解：原不等式可化为，解得x>2，或x<－3，∴原不等式的解集为：x>2或x<－3.请你运用所学知识，并结合材料回答下列问题：（1）不等式的解集为 （2）求不等式的解集（要求写出解答过程）.【解析】（1），即原不等式可化为，由①，得无解由②，得－1<x<3，∴原不等式的解集为－1<x<3.（2），即，原不等式可化为，由①，得x>1，由②，得x<－4，∴原不等式的解集为x>1或x<－4.例5.阅读下面的材料：如果函数满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有，则称是增函数；（2）若x1<x2，都有，则称是减函数；例题：证明函数是减函数.证明：设0<x1<x2,∵0<x1<x2，∴，x1x2>0∴，即∴，∴函数是减函数.根据以上材料，解答下面问题：已知函数，，（1）计算： （2）猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）（3）请仿照例题证明你的猜想.【解析】（1），（2）增（3）证明：设x1<x2<0,∵0<x1<x2，∴，x1x2>0，∴，∴即∴，∴函数是增函数.例6.阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：设①则②②－①得：∴请仿照小明的方法解决以下问题：（1） （2） （3）求的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）.【解析】（1）设①则②②－①，得∴（2）设①则②②－①得：∴.（3）设①则②②－①得：∴.例7.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点，的融合点.例如:，当点满足,时，则点是点，的融合点.（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点；（2）如图，点，点是直线l上任意一点，点是点D、E的融合点.①试确定与的关系式；②若直线交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标.【解析】（1）∵∴点C是点A、B的融合点；（2）①由融合点定义知：，得：而，得：∴，即：y=2x－1；②由题意知：E点在直线l上运动，T点在直线y=2x－1上运动，若△DTH为直角三角形，分三种情况讨论：（i）当∠DHT=90°时，即ET⊥x轴，如下图所示，设H（n，0），则T（n，2n－1），E（n，2n+3），由点T是点D、E的融合点，得，解得n=即E点坐标为（，6）；（ii）当∠HDT=90°时，即DT⊥x轴，如下图所示，此时，T点坐标为（3,5），设E点坐标为（n，2n+3）由点T是点D、E的融合点，得，解得n=6，即E点坐标为（6,15）；（iii）当∠HTD=90°时，此种情况不存在；综上所述，E点坐标为（，6）或（6,15）.例8.问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张ab的方格纸（ab的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成ab个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？图①图②问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在22的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于22的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．图③探究二：把图①放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在32的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有24＝8种不同的放置方法．图④探究三：把图①放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a2的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_______种不同的放置方法．图⑤图⑥探究四：把图①放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a3的方格纸中，共可以找到_________个位置不同的22方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到_________个图⑦这样的几何体．图⑦图⑧【解析】探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；探究四：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；【点睛】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．例9.【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【解析】（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，可得：x=1，y=2，即B（1，2），（2）若函数y＝（x＞0）的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴>0，方程可化为：，即x2+4＝3x，x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，故该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵，x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以