第13讲　二次函数的应用-2026年中考数学复习课件

第13讲二次函数的应用(5年4考)知识梳理夯基础知识点一二次函数与一元二次方程、不等式的关系知识梳理二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的

坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根

当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有

的实数根

当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根横两个相等二次函数与不等式不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围1.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴的交点情况是()A.有1个交点 B.有2个交点

C.无交点 D.无法确定针对训练B2.[人教九上P47习题T5变式]二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示.(1)方程-x2+bx+c=0的根为

;

(2)一元二次不等式-x2+bx+c>0的解集是

;

(3)一元二次不等式-x2+bx+c<0的解集是

.

x1=-1,x2=5-1<x<5x<-1或x>5知识点二二次函数的实际应用1.最值问题在日常生活中,经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题,利用二次函数的图象和性质,便可以解决这类问题,需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题.解决该类问题的一般步骤如下:(1)找:找出题目中的等量关系;(2)列:列出二次函数解析式;(3)求:利用配方法将解析式化为顶点式或利用公式法确定最值.知识梳理2.抛物线形问题在实际生活中常遇到以下抛物线形问题:拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等,对此类问题要正确地建立模型,选择合理的位置建立平面直角坐标系,用待定系数法确定函数的解析式,进而解决问题.3.如图(1)所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l处时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3m,水面宽6m.如图(2)所示,建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是()A针对训练10重难突破提能力考点1二次函数与方程、不等式的关系(易错点)(5年1考)典例1(2025中山模拟)[阅读材料]解一元二次不等式:x2-3x>0.解:设x2-3x=0,解得x1=0,x2=3,则抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标为(0,0)和(3,0).画出二次函数y=x2-3x的大致图象(如图所示),由图象可知:当x<0或x>3时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-3x>0,则一元二次不等式x2-3x>0的解集为x<0或x>3.通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:(1)请直接写出一元二次不等式x2-3x<0的解集;解:(1)一元二次不等式x2-3x<0的解集为0<x<3.(2)用类似的方法解一元二次不等式x2-2x-8≥0.解:(2)设x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2,则抛物线y=x2-2x-8与x轴的交点坐标为(4,0)和(-2,0),画出二次函数y=x2-2x-8的大致图象,如图所示.由图象可知,当x≤-2或x≥4时函数图象位于x轴及其上方,此时y≥0,即x2-2x-8≥0,∴一元二次不等式x2-2x-8≥0的解集为x≤-2或x≥4.即时训练1.(2025广州模拟)如图所示,抛物线y1与直线y2相交于点A和点B,点A,B的横坐标分别为-2和4,则当y1>y2时x的取值范围为()A.x<-2 B.x>4C.-2<x<4 D.x<-2或x>4C考点2二次函数与实际生活中的最大(小)值问题(5年2考)典例2(2024广东T20改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100t.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50t.该果商如何定价才能使每天的“利润”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币)规律总结应用二次函数模型解决实际问题的步骤(1)根据题意确定二次函数的关系式;(2)根据已知条件确定自变量的取值范围;(3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值.即时训练2.(2025茂名模拟)为落实国家“乡村振兴战略”,切实提高农民的收入,某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售,已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克,售价为50元/千克时,每天可出售2000千克,经市场调查发现每降价1元,一天多售出250千克.(1)如果每天的利润要比原来多5000元,并使顾客得到更大的优惠,每千克售价为多少元?解:(1)设每千克降价x元,∴(50-30-x)(2000+250x)=(50-30)×2000+5000,解得x=10或x=2,∴售价为50-10=40(元)或50-2=48(元).又∵使顾客得到更大的优惠,∴每千克售价为40元.(2)要使每天的利润取得最大值,每千克售价为多少元?解:(2)设每天的利润为w元,由题意,结合(1)可得,w=(50-30-x)(2000+250x)=-250x2+3000x+40000=-250(x-6)2+49000,又-250<0,∴当x=6时,每天的利润最大,最大值为49000.50-6=44(元).∴要使每天的利润取得最大值,每千克售价为44元.考点3二次函数与抛物线形实际问题典例3如图所示,一位篮球运动员在与篮筐中心水平距离为4m处起跳投篮时,球运行的高度y(单位:m)与运行的水平距离x(单位:m)之间满足关系式y=ax2+x+c,当球运行的水平距离为1.5m时,球离地面高度为3.3m,球在空中达到最大高度后,准确落入篮筐内.已知篮筐中心与地面的距离为3.05m.当球运行的水平距离为多少时,球在空中达到最大高度?最大高度为多少?方法技巧解决抛物线形实际问题(1)用待定系数法确定抛物线解析式;(2)利用二次函数的图象与性质求解.即时训练3.(2025连云港)如图所示,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为

m.

8考点4建立坐标系构建二次函数模型解决实际问题(5年1考)典例4(2025广东T18,7分)如图所示,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.1785km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的解析式.即时训练4.[人教九上教材P51探究3改编]如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,若水面下降2.5m时,则此时水面的宽度为

m.

65.如图所示是一座悬索桥侧面示意图.桥塔AD与桥塔BC均垂直于桥面FF′,缆索AB段与缆索AE段、缆索BE′段均呈抛物线形.缆索AB段所在的抛物线与缆索AE段所在的抛物线关于AD所在的直线对称,桥塔AD与桥塔BC之间的距离DC=100m,AD=BC=17m(桥塔的粗细忽略不计),缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2m.请你在图中建立适当的坐标系,并求缆索AB段所在的抛物线的函数解析式.解:(答案不唯一)如图所示,以点D为坐标原点,CD所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,∵AD=17m,∴A(0,17).又DC=100m,缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2m,AD=BC,∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2).故可设抛物线解析式为y=a(x-50)2+2.全国视野拓思维6.(2025徐州)急刹车时,停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离,记作ym;反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离,记作d1m;