2026届山东历城二中高一上数学期末监测模拟试题含解析

2026届山东历城二中高一上数学期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则a，b，c的大小关系是A. B.C. D.2．函数的零点个数为（

）A.1 B.2C.3 D.43．已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是A.①② B.②③C.③④ D.②④5．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.三种形状都有可能6．已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.7．下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A. B.C. D.8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.9．在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B.C. D.10．下列四个函数中，在整个定义域内单调递减是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____12．化简求值（1）化简（2）已知：，求值13．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.14．若不等式的解集为，则______，______15．已知，，且，则的最小值为___________.16．不等式的解集是_____________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．回答下列各题（1）求值：（2）解关于的不等式：（其中）18．函数y＝cosx＋sinx的最小正周期、最大值、最小值.19．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完（1）写出利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？20．已知向量函数（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点情况.21．已知的三个顶点是，直线过点且与边所在直线平行.（1）求直线的方程；（2）求的面积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】运用对数函数、指数函数的单调性，利用中间值法进行比较即可.【详解】，因此可得.故选：D【点睛】本题考查了对数式、指数式之间的大小比较问题，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.2、B【解析】函数的定义域为，且，即函数为偶函数，当时，，设，则：，据此可得：，据此有：，即函数是区间上的减函数，由函数的解析式可知：，则函数在区间上有一个零点，结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.本题选择B选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点3、C【解析】根据题意写出函数表达式为：，在上仅有一个零点分两种情况，情况一：在第一段上有零点，，此时检验第二段无零点，故满足条件；情况二，第二段有零点，以上两种情况并到一起得到：．故答案为C．点睛：在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．4、D【解析】图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同．故选D5、C【解析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状【详解】解：，，为三角形内角，，为钝角，即三角形为钝角三角形故选C【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用6、D【解析】先求得全集U和，根据补集运算的概念，即可得答案.【详解】由题意得全集，，所以.故选：D7、D【解析】选项A中，函数为奇函数，但无最小值，故满足题意选项B中，函数为偶函数，不合题意选项C中，函数为奇函数，但无最小值，故不合题意选项D中，函数，为奇函数，且有最小值，符合题意选D8、D【解析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.【详解】解：如图，在边长为的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥，其中，均为直角三角形，为等边三角形，，所以该几何体的表面积为故选：D9、B【解析】由题意，代入扇形的面积公式计算即可.【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，所以由扇形的面积公式得.故选：B10、C【解析】根据指数函数的性质判断，利用特殊值判断，利用对数函数的性质判断，利用偶函数的性质判断【详解】对于，，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；对于，，有，，不是减函数，不符合题意；对于，为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；对于，，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，故选C【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质，意在考查综合利用所学知识解答问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，又由方程有4个不同的实数根，即函数的图象与有四个不同的交点，可得，且，则=，因为，则，所以.故答案为.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12、（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）先进行弦化切，把代入即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以.所以.又，所以.13、【解析】长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积【详解】长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，则这个球的表面积是：故答案为：【点睛】本题考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力14、①.②.【解析】由题设知：是的根，应用根与系数关系即可求参数值.【详解】由题设，是的根，∴，即，.故答案为：，.15、【解析】由已知凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立故答案为：16、【解析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】，即，故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）.【解析】（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；（2）不等式化为，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集【详解】（1）（2）不等式可化为，不等式对应方程的两根为，，且（其中）；所以原不等式的解集为18、，2，.【解析】先对函数进行化简，然后结合性质可求.【详解】；最小正周期为；当，即时，取到最大值；当，即时，取到最小值；【点睛】本题主要考查三角函数的性质，一般是把目标式化简为标准型，然后结合性质求解，侧重考查数学抽象的核心素养.19、（1）；（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.【小问1详解】由题意可知，当时，，当时，，故有；【小问2详解】当时，，即时，，当时，有，当且仅当时，,因为，所以时，，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.20、（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意得，结合不等式恒成立，建立m的不等式组，从而得到实数的取值范围；（2）)令得：即，对m分类讨论即可得到函数的零点情况.【详解】（1）由题意得，，当时，∴，又恒成立，则解得：(2)令得：得：,则.由图知：当或，即或时，0个零点；当或，即或时，1个零点；当或，即或时，2个零点；当，即时，3个零点.综上：或时，0个零点；或时，1个零点；或时，2