2026届福州市八县协作校高二上数学期末学业质量监测试题含解析

2026届福州市八县协作校高二上数学期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.102．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.4．命题“若，则”为真命题，那么不可能是（）A. B.C. D.5．一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）A. B.C. D.16．命题；命题．则A.“或”为假 B.“且”为真C.真假 D.假真7．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－138．与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.9．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.10．已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（）A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列11．设函数在定义域内可导，的图像如图所示，则导函数的图象可能为（）A. B.C. D.12．数列，，，，，中，有序实数对是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，则的外接圆E的方程是________14．已知是双曲线的左、右焦点，点M是双曲线E上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为N，O是坐标原点．若，则双曲线E的渐近线方程为__________15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.16．若过点和的直线与直线平行，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.18．（12分）如图，正方体的棱长为2，点为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.19．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，（1）求，；（2）已知，，试比较，的大小20．（12分）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：存在最大值，且恒成立.21．（12分）已知函数在处的切线与直线平行（1）求值，并求此切线方程；（2）证明：22．（10分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由已知设双曲线方程为：，代入求得，计算即可得出离心率.【详解】双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，设双曲线方程为：，代入得：，.所以双曲线方程为：..双曲线C的离心率为故选：A2、D【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是故选：D3、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.4、D【解析】根据命题真假的判断，对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：若，则必成立；对于B：若，则必成立；对于C：若，则必成立；对于D：由不能得出，所以不可能是.故选：D5、B【解析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为，宽为，则由题意得：，解得：，而长方体体积为，当且仅当时等号成立，故选：B6、D【解析】命题：可能为0，不为0，假命题，命题：，为真命题，所以“或”为真命题，“且”为假命题．选D.7、A【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.8、D【解析】点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解.【详解】设(x，y)是与直线关于轴对称的直线上任意一点，则(x，－y)在上，故，∴与直线关于轴对称的直线的方程为.故选：D.9、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D10、B【解析】分析的单调性，即可判断和选择.【详解】因为，显然随着的增大，是递增的，故是递减的，则数列是递减数列.故选：B.11、D【解析】根据函数的单调性得到导数的正负，从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知，当时，单调递增，则，所以A选项和C选项错误；当时，先增，再减，然后再增，则先正，再负，然后再正，所以B选项错误.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.一般地，函数在某个区间可导，，则在这个区间是增函数；函数在某个区间可导，，则在这个区间是减函数.12、A【解析】根据数列的概念，找到其中的规律即可求解.【详解】由数列，，，，，可知，，，，，则，解得，故有序实数对是，故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求.【详解】令，得或，则，∴外接圆的圆心的横坐标为2，设，半径为r，由，得，则，即，得，.∴的外接圆的方程为.故答案为：.14、【解析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用，及渐近线方程即可求得结果.【详解】延长交于点，∵是的平分线，，，又是中点，所以，且，又，，，又，双曲线E的渐近线方程为故答案为：.15、16【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.【详解】由椭圆定义知：，所以△的周长为.故答案为：16.16、【解析】根据两直线的位置关系求解.【详解】因为过点和的直线与直线平行，所以，解得，故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析，定点和.【解析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.【小问1详解】因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.【小问2详解】由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式18、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小问1详解】解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，0，，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，又，设直线与平面的夹角为，则，直线与平面的正弦值为；【小问2详解】解：因为所以点到平面的距离为，点到平面的距离为19、（1），；（2）.【解析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，整理得：，解得，所以，.【小问2详解】由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，，，则，用数学归纳法证明，，①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立，综合①②知，，成立，因此，，即，所以.20、（1）的单增区间为，；单减区间为，，；（2）证明见解析.【解析】（1）先求出函数的定义域，求出，由，结合函数的定义域可得出函数的单调区间.(2)当时，定义域R,求出，从而得出单调区间，由当时，，当时，，以及极值点与2的大小关系可得出当时，函数有最大值，然后再证明即可.【详解】解：（1）定义域，可得且且，，可得且3无0无0减无减增无增减所以，的单增区间为，；单减区间为，，.（2）当时，定义域R因为，当时，，当时，，所以的最大值在时取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.当时，，且，由所以当时，函数有最大值.所以，因为，所以,设，则所以化为由，则，则，所以所以21、（1）；；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.【小问1详解】，，在处的切线与直线平行，即切线斜率为，，解得：，，，所求切线方程为：，即；【小问2详解】要证，即证；①当时，，，，即