6平行四边形的边角的性质

第六章平行四边形1平行四边形的性质及判定第1课时平行四边形的边角的性质B返回1．如图，AC∥DF∥PM，AB∥DE∥PN，BC∥EF∥MN，则该图中平行四边形的个数为(

)A．3个B．6个C．8个D．9个返回C2．[2025湖北]如图，平行四边形ABCD的对角线相交于原点．若A(－1，2)，则点C的坐标是(

)A．(2，－1)

B．(－2，1)C．(1，－2)

D．(－1，－2)D返回3．如图所示，在▱ABCD中，∠C＝120°，延长BA至点E，延长DA至点F，连接EF，则∠E＋∠F的度数为(

)A．120°．30°C．50°D．60°4．返回B如图，四边形ABCD为平行四边形，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，若AB＝12，DE＝6，BE＝4，则DF的长为(

)A．7

B．7.2C．8

D．8.85．返回86．[2025宜宾]如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，BC∥AD，∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.∵点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，∴CE＝DE.

∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴CF＝AD＝5.

∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.【点方法】应用平行四边形的边角性质的“两注意”：(1)注意隐含条件的挖掘：平行四边形提供了线段的数量及位置关系，也提供了角的关系，为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件．(2)在解题时，能应用平行四边形直接得到的结论，不要再通过三角形的全等去证明．返回7．已知▱ABCD的周长为48cm，∠ABC的平分线交边AD所在的直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AD的长是(

)A．9cm或18cmB．6cm或15cmC．9cmD．15cm【点拨】如图①所示，当点E在线段AD上时，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AE

ED＝32，∴设AE＝3xcm，则ED＝2xcm，∴AB＝AE＝3xcm，AD＝5xcm.∵▱ABCD的周长是48cm，∴2(3x＋5x)＝48，解得x＝3，∴AD＝15cm；如图②所示，当点E在AD的延长线上时，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC.【答案】B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBC＝∠AEB.∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AE

ED＝32，∴设AE＝3xcm，则ED＝2x

cm，∴AB＝AE＝3xcm，AD＝xcm.∵▱ABCD的周长为48cm，∴2(3x＋x)＝48，解得x＝6，∴AD＝6cm.综上所述，边AD的长是6cm或15cm.返回8．如图，将平行四边形ABCD沿EF所在的直线折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，连接AC，若∠ACB＝25°，则∠DFE的度数是(

)A．135°

B．120°

C．115°

D．100°【点拨】【答案】C返回9．【点拨】【答案】C如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∴∠DFC＝90°.∵AE⊥BC交BC于点E，∴∠AEB＝90°＝∠DFC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD.∴∠ABE＝∠DCF.∴△ABE≌△DCF(AAS)．∴AE＝DF，CF＝BE＝x.由勾股定理可得AE2＝AC2－CE2＝AC2－(BC－BE)2＝4－(y－x)2，DF2＝BD2－BF2＝BD2－(BC＋CF)2＝12－(y＋x)2，

∴4－(y－x)2＝12－(y＋x)2，化简得xy＝2.∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy.返回10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为(

)A．1

B．2C．3

D．4【点拨】【答案】D∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分∠CBF，故①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠DCB，故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∴∠CFB＝∠BCF.∴BF＝BC，故③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴EB垂直平分FC，即PE垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选D.返回11．17cm如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y(单位：cm2)与点P移动的时间x(单位：s)之间的函数关系如图②所示，则AC的长为________．【点拨】返回12．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为________．【点拨】如图，作点A关于直线BC的对称点A′，AA′交BC于H，连接A′D交直线BC于点M′，连接A′M，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM＝A′M，∴易知当M与M′重合时，MA＋MD的值最小，最小值为A′D的长．返回13．(0，－2)

如图，在平面直角坐标系中，A(－2，0)，P为y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使DP＝AP，取y轴负半轴上一点B，使得OA＝OB，以AB，AD为边作▱ABCD．(1)点B的坐标为________．(2)设点P的坐标为(0，m)，则点D的坐标为________(用含m的代数式表示)，连接OC，则OC长度的取值范围为________．(2，2m)OC≥4【点拨】(1)∵A(－2，0)，∴OA＝2，又∵OA＝OB，∴OB＝2，∴B(0，－2)．故答案为(0，－2)．【点拨】∴FE＝2＋2＝4.∵CE⊥EF，CE∥y轴，∴点C始终在平行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4，∴点O到这条直线的距离为4，∴OC长度的取值范围为OC≥4.故答案为OC≥4.返回14．如图，分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF,请判断GF与EF的关系．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA.∴∠FDG＝∠EAF.∴△EAF≌△GDF(SAS)．∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD.∴∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA，即∠GFE＝∠DFA＝90°.∴GF⊥EF.综上，GF＝EF，GF⊥EF.(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解】GF＝EF，GF⊥EF仍然成立．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴易得DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°.∵AB∥CD