专题05古典概型概率的基本性质（举一反三讲义）（原卷版）

专题10.5古典概型、概率的基本性质（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1古典概型】 3【题型2有放回与无放回问题的概率】 3【题型3根据古典概型的概率求参数】 4【题型4几何概型】 5【题型5概率基本性质的应用】 6【题型6古典概型与统计综合】 6【题型7古典概型与数列的交汇问题】 8【题型8古典概型与其他知识的交汇问题】 101、古典概型、概率的基本性质考点要求真题统计考情分析(1)掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率(2)了解概率的基本性质，能计算简单随机事件的概率2023年全国乙卷（文数）：第9题，5分2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分2024年新高考I卷：第14题，5分2024年全国甲卷（文数）：第4题，5分2024年全国甲卷（理数）：第16题，5分2025年上海卷：第17题（2），4分古典概型、概率的基本性质是概率的基础内容，从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查古典概型及其计算、概率的基本性质等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；在解答题中出现时，往往古典概型会与统计等知识结合考查，作为解答题中的一小问考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，学会灵活求解.知识点1古典概型及其解题策略1．古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能；②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.2．古典概型的概率计算公式3．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x,y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.4．古典概型与统计结合有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.知识点2概率的基本性质1．概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0.性质3性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1P(A)，P(A)=1P(B).性质5性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).2．复杂事件概率的求解策略(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.【方法技巧与总结】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.【题型1古典概型】【例1】（2025·河南新乡·模拟预测）某校高三年级编制的数学模拟卷，其多项选择题中的四个选项A、B、C、D中至少有两个选项正确，规定：只要选择了错误项一律得0分，部分选对的得2分，若某题的正确答案是A，C，D，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（

）A．34 B．310 C．16【变式11】（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有7位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.若要求获得一等奖的人数不少于1人，获得二等奖的人数不少于2人，获得三等奖的人数不少于3人，则恰有2人获得二等奖的概率为（

）A．613 B．313 C．413【变式12】（2025·甘肃白银·模拟预测）某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（

）A．215 B．13 C．25【变式13】（2025·江西·模拟预测）老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵，规定至少能背出其中2篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3篇，则他能及格的概率为（

）A．1335 B．1235 C．1370【题型2有放回与无放回问题的概率】【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（

）A．1325 B．1225 C．35【变式21】（2025·山东潍坊·模拟预测）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（

）A．332 B．764 C．532【变式22】（2025·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（

）A．310 B．13 C．35【变式23】（2025·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母a,2个标有字母b.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母a的球的概率分别为p1,pA．p1=pC．p1=3p【题型3根据古典概型的概率求参数】【例3】（2425高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（

）A．25 B．30 C．35 D．40【变式31】（2025·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（

）A．40个 B．45个 C．50个 D．55个【变式32】（2425高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为13，则n的值为（

A．4 B．5 C．12 D．15【变式33】（2425高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（

）个．A．10 B．15 C．25 D．40【题型4几何概型】【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（

）

A．18 B．38 C．516【变式41】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O是正三角形ABC的内切圆，则在△ABC内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（

）A．3π9−14 B．3π【变式42】（2025·陕西安康·模拟预测）将长度为1的线段随机剪成两段，则两段长度都不小于13的概率是（

A．16 B．14 C．13【变式43】（2025·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形ABC，在圆O内任取一点，则该点落在扇形ABC内的概率为（

）A．14 B．34 C．12【题型5概率基本性质的应用】【例5】（2425高二下·上海·期中）已知事件A与事件B相互独立，且PA=0.3, PBA．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7【变式51】（2025·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为45，随机事件B发生的概率为23，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（A．815,23 B．715,【变式52】（2425高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=5A．116 B．18 C．316【变式53】（2425高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，A、B分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（

）A．P(A∪B)=P(A)P(B) B．P(A∪B)=P(A)+P(B)C．PAB=P(A)P【题型6古典概型与统计综合】【例6】（2425高一下·北京·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；(2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；(3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.【变式61】（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.(1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；(2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为a（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为b（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中a=b的概率；(3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.【变式62】（2025·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人.(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？(2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中x<10,n是正整数）日均睡眠时间（小时）x8.599.510学生数量n3213114求该样本的第40百分位数.(3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率.【变式63】（2025·上海·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)已知甲型芯片指标在80,100为航天级芯片，乙型芯片指标在60,70为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在70,90内取2件，乙型芯片指标在50,70内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．【题型7古典概型与数列的交汇问题】【例7】（2025·江西·一模）从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（

）A．13 B．112 C．14【变式71】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）从−2，−1，1，2，3，4，5，6这8个数中随机选取3个不同的数，则这3个数可以构成等差或等比数列的概率是（

）A．956 B．528 C．1156【变式72】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）对n∈N，通过抛掷一枚均匀硬币n次后生成有序数对an,bn，具体生成规则如下：①规定a0,b0=0,0；②当第nn≥1次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若an−1<bn−1，则a(1)写出a2,b2的所有可能结果，并求(2)证明：数列Pn−1(3)设Fn=e【变式73】（2025·山东泰安·二模）抛掷一枚质地均匀的骰子n次，n∈N∗，记ai为第i(1)求a1(2)若前m次点数之和为7的概率为Pm,m=2,3,⋯,7，且m=27Pm=（ⅰ）求b的值；（ⅱ）已知正项数列cn的前n项和为Sn,【题型8古典概型与其他知识的交汇问题】【例8】（2025·江西新余·模拟预测）从正方体ABCD−A1BA．12 B．14 C．13【变式81】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知3x+3A．89 B．79 C．23【变式82】（2025·浙江宁波·三模）在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2）.求随机变量X的分布列及其数学期望EX【变式83】（2025·湖南·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：等级不及格及格良优分数1234人数3953(1)若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.（ⅰ）若n=3，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）若n=20，当k为何值时，PX=k一、单选题1．（2425高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件A和B，其中PA=12，PB=3A．14 B．13 C．122．（2025·吉林白城·模拟预测）6个数字1，2，2，2，3，5排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶数的概率为（

）A．12 B．23 C．4153．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（

）A．115 B．9125 C．181254．（2425高二上·浙江杭州·期中）设A,B是一个随机试验中的两个事件，记A,B为事件A,B的对立事件，且P(A)=25,P(B)=A．1115 B．815 C．14155．（2025·陕西铜川·三模）如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为（

）A．316 B．116 C．186．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合A=x∈Nx2−5x<0，从集合A的非空子集中任取两个集合BA．57 B．1021 C．5217．（2025·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（

）A．14 B．12 C．7128．（2025·甘肃白银·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为P1，有放回地选取且和为6的概率为P2，则P1A．2 B．1 C．23 D．二、多选题9．（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（

）A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件C．白色与红色粉笔都用到的概率为2D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为910．（2025·甘肃白银·三模）定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1至9共9个数中，选取3个不同的数排成三位数M，则（

）A．排成的“三位凹数”共有168个B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等C．从所有的M中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为1D．从所有的M中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为211．（2025·湖北十堰·模拟预测）高考来临之际，某校食堂的午饭针对高三学生推出了多种营养套餐，其中10元套餐是从A、B、C、D、E五道菜中任选三道菜，甲、乙两位同学午饭都选择了此套餐，假设甲、乙两人选择每道菜品都是等可能的且两人选择菜品互不影响，则（

）A．甲选了A的概率为3B．甲选了A且乙不选B的概率为6C．甲乙两人所选的菜品完全相同的概率为1D．甲乙两人选的菜品恰有一个相同的概率为3三、填空题12．（2025·湖南·三模）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为34，45，则目标至少被击中1次的概率为13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得2分，点数小的得0分，点数相同时各得1分，三轮比赛结束后，甲得4分的概率为.14．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为.

四、解答题15．（2425高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为35，乙猜对的概率为p，甲、乙都猜不对的概率为2(1)求p；(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率.16．（2025·河北秦皇岛·三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，