2025年应用统计学考试试题及答案

2025年应用统计学考试试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.以下统计量中，不依赖总体分布具体形式的是（）。A.样本均值B.样本方差（无偏）C.样本分位数D.样本矩2.某超市记录了100天的日销售额（单位：万元），数据显示均值为12.5，标准差为2.8，中位数为11.2。据此可判断该数据分布（）。A.左偏B.右偏C.对称D.无法判断3.设随机变量X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则统计量T=(X̄-μ)/(S/√n)服从（）。A.正态分布N(0,1)B.t分布，自由度nC.t分布，自由度n-1D.F分布，自由度(n-1,1)4.若事件A与B互斥，则以下结论正确的是（）。A.P(A∪B)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A|B)=P(A)D.P(A∪B)=15.中心极限定理的核心意义是（）。A.样本均值的分布趋近于正态分布B.总体方差可以用样本方差估计C.大样本下参数估计更准确D.独立同分布变量的和趋近于正态分布6.对某总体均值进行假设检验，H₀:μ=μ₀，H₁:μ≠μ₀，若样本量固定，增大显著性水平α会导致（）。A.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大B.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小C.两类错误概率均减小D.两类错误概率均增大7.单因素方差分析中，组间平方和（SSB）反映的是（）。A.随机误差的影响B.不同水平对观测值的影响C.全部数据的离散程度D.样本量差异的影响8.一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，ε的期望E(ε)=0，方差Var(ε)=σ²，则β₁的最小二乘估计量是（）。A.(∑(Xᵢ-μₓ)(Yᵢ-μᵧ))/∑(Xᵢ-μₓ)²B.(∑XᵢYᵢ-nX̄Ȳ)/∑(Xᵢ-X̄)²C.(∑Yᵢ-β₀n)/∑XᵢD.(∑(Yᵢ-Ȳ)²)/∑(Xᵢ-X̄)²9.若时间序列的长期趋势为线性增长，季节变动明显且季节长度为4，则乘法模型可表示为（）。A.Yₜ=Tₜ+Sₜ+Cₜ+IₜB.Yₜ=Tₜ×Sₜ×Cₜ×IₜC.Yₜ=Tₜ×Sₜ+Cₜ+IₜD.Yₜ=Tₜ+Sₜ×Cₜ×Iₜ10.相关系数r=0.8表示（）。A.两个变量完全正相关B.两个变量高度正相关C.一个变量的变化80%由另一个变量解释D.回归模型的拟合优度为0.8二、填空题（每题2分，共20分）1.样本方差的无偏估计公式为__________（用样本数据X₁,X₂,…,Xₙ表示）。2.设X~χ²(n)，Y~χ²(m)，且X与Y独立，则(X/n)/(Y/m)服从__________分布。3.对总体均值μ进行区间估计时，若样本量n增大，置信区间的宽度会__________（填“增大”“减小”或“不变”）。4.假设检验中，当原假设为真但被拒绝时，犯的是__________错误。5.单因素方差分析中，总平方和（SST）=组间平方和（SSB）+__________。6.一元线性回归模型中，判定系数R²=__________（用回归平方和SSR与总平方和SST表示）。7.时间序列的季节指数大于1，表示该季节的观测值__________（填“高于”“低于”或“等于”）趋势值。8.若随机变量X~P(λ)（泊松分布），则E(X)=__________，Var(X)=__________。9.分层抽样中，为提高估计效率，应使层内方差__________（填“大”或“小”），层间方差__________（填“大”或“小”）。10.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=(1/√(2πσ²))e^(-(x-μ)²/(2σ²))，则X的偏度为__________。三、简答题（每题8分，共40分）1.简述中心极限定理的内容及其在统计学中的作用。2.解释假设检验中显著性水平α与p值的区别和联系。3.单因素方差分析需要满足哪些基本假设？4.时间序列分解的常用模型有哪些？各模型的适用条件是什么？5.简述一元线性回归中“最小二乘法”的原理，并写出其参数估计的计算公式。四、计算题（共60分）1.（15分）某企业生产的零件长度服从正态分布，标准差σ=0.5mm。现随机抽取25个零件，测得样本均值X̄=12.3mm。（1）求总体均值μ的95%置信区间；（2）若要求置信区间宽度不超过0.4mm，至少需要抽取多少个样本？（Z₀.₀₂₅=1.96）2.（15分）某学校为比较两种教学方法的效果，分别在A班（30人）和B班（35人）采用方法1和方法2，期末数学成绩如下：A班均值82分，标准差5分；B班均值78分，标准差6分。假设两总体方差相等，检验两种教学方法的效果是否有显著差异（α=0.05，t₀.₀₂₅(63)=1.998）。3.（15分）某公司为研究广告投入对销售额的影响，收集了8个月的广告费用（X，万元）和销售额（Y，万元）数据，计算得：∑X=40，∑Y=320，∑XY=1800，∑X²=220，∑Y²=13600。（1）建立一元线性回归方程Ŷ=β₀+β₁X；（2）计算判定系数R²，并解释其意义；（3）预测当广告费用为8万元时的销售额。4.（15分）某超市2023年各季度的销售额（万元）如下：第一季度120，第二季度150，第三季度90，第四季度180。假设该时间序列的长期趋势不明显，季节变动稳定。（1）计算各季度的季节指数；（2）若2024年第一季度实际销售额为130万元，利用季节指数预测2024年第二季度的销售额（假设无趋势影响）。答案一、单项选择题1.C2.B3.C4.A5.A6.B7.B8.B9.B10.B二、填空题1.S²=[1/(n-1)]∑(Xᵢ-X̄)²2.F(n,m)3.减小4.第一类（α）5.组内平方和（SSW）6.SSR/SST7.高于8.λ；λ9.小；大10.0三、简答题1.中心极限定理内容：在独立同分布且方差有限的条件下，当样本量n增大时，样本均值X̄的分布趋近于正态分布N(μ,σ²/n)，无论总体原分布如何。作用：为大样本统计推断（如参数估计、假设检验）提供了理论基础，使非正态总体的问题可通过正态分布近似解决。2.区别：α是预先设定的拒绝原假设的最大风险概率（犯第一类错误的上限）；p值是根据样本数据计算的实际拒绝原假设的概率（观测到更极端结果的概率）。联系：当p值≤α时，拒绝原假设；p值越小，拒绝原假设的证据越强。3.基本假设：（1）各总体服从正态分布；（2）各总体方差相等（方差齐性）；（3）样本独立随机抽取。4.常用模型：加法模型（Yₜ=Tₜ+Sₜ+Cₜ+Iₜ）和乘法模型（Yₜ=Tₜ×Sₜ×Cₜ×Iₜ）。适用条件：加法模型适用于各成分对序列的影响独立且大小相近；乘法模型适用于季节变动和循环变动的幅度随趋势变化（如趋势增长时，季节波动幅度也增大）。5.最小二乘法原理：通过最小化实际观测值Yᵢ与回归估计值Ŷᵢ的离差平方和∑(Yᵢ-Ŷᵢ)²，确定β₀和β₁的最优估计。计算公式：β₁=(n∑XᵢYᵢ-∑Xᵢ∑Yᵢ)/[n∑Xᵢ²-(∑Xᵢ)²]，β₀=Ȳ-β₁X̄。四、计算题1.（1）置信区间=X̄±Z_(α/2)(σ/√n)=12.3±1.96×(0.5/√25)=12.3±0.196，即(12.104,12.496)。（2）宽度=2×Z_(α/2)(σ/√n)≤0.4→√n≥2×1.96×0.5/0.4=4.9→n≥24.01，故至少需要25个样本。2.检验假设H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂。合并方差S_p²=[(n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²]/(n₁+n₂-2)=[(29×25)+(34×36)]/63=(725+1224)/63=1949/63≈30.94。检验统计量t=(X̄₁-X̄₂)/[S_p√(1/n₁+1/n₂)]=(82-78)/[√30.94×√(1/30+1/35)]≈4/[5.56×0.244]≈4/1.357≈2.95。|t|=2.95>1.998，拒绝H₀，认为两种教学方法效果有显著差异。3.（1）n=8，X̄=40/8=5，Ȳ=320/8=40。β₁=(8×1800-40×320)/(8×220-40²)=(14400-12800)/(1760-1600)=1600/160=10。β₀=40-10×5=-10。回归方程：Ŷ=-10+10X。（2）SSR=β₁²∑(Xᵢ-X̄)²=10²×[∑Xᵢ²-nX̄²]=100×(220-8×25)=100×20=2000。SST=∑(Yᵢ-Ȳ)²=∑Yᵢ²-nȲ²=13600-8×1600=13600-12800=800。R²=SSR/SST=2000/800=2.5？（注：此处数据可能存在矛盾，实际应为SST=∑(Yᵢ-Ȳ)²=∑Yᵢ²-(∑Yᵢ)²/n=13600-(320)²/8=13600-12800=800；SSR=β₁²×[∑Xᵢ²-(∑Xᵢ)²/n]=10²×(220-1600/8)=100×(220-200)=2000，此时R²=2000/800=2.5，显然不合理，说明数据假设错误。正确数据应调整为∑Y²=13600改为∑Y²=16800，则SST=16800-12800=4000，R²=2000/4000=0.5。）（3）当X=8时，Ŷ=-10+10×8=70万元。4.（1）计算同季平均：各季度均值分别为120,150,90,180（因仅1年数据，直接