湖北省荆门市高三上学期元月考试数学试题【含答案详解】

荆门市2026年高三年级元月考试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．全卷共150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知等差数列前n项和为，若，则（）A.9 B.5 C.1 D.103.的展开式中，常数项为（）A.15 B.－15 C.20 D.－204.“圆柱容球”是阿基米德最欣赏的几何体．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，球与圆柱的体积之比为，表面积之比为，则（）A.， B. C.， D.5.如图，在空间四边形中，分别为中点，点分别在边上且满足，，则以下命题正确的个数为（）①四边形为梯形②③平面④若直线相交于点，则点必在直线上A1 B.2 C.3 D.46.设函数，若，则满足的关系式为（）A. B. C. D.7.如图，用M、、三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M、、正常工作的概率依次是、、，则在系统正常工作的前提下，只有M和正常工作的概率是（）A B. C. D.8.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，记与的内切圆半径分别为，若，则的离心率为（）A. B. C.3 D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（）A. B.C. D.这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.7510.关于函数，，以下结论正确的是（）A.有8个零点B.的最大值为1C.是轴对称图形D.函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，611.如图，已知等腰梯形中，，，点，分别为线段，上的动点且，点、为线段、的中点，则以下结论正确的是（）A. B.C.若为的外心，则 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．13.圆被直线所截得的最短弦长为______．14.已知函数，若恒成立，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角三角形ABC所对边分别为a、b、c，．（1）求A；（2）若，H为的垂心，求的面积S的最大值．16.如图，在三棱锥中，，，，分别为的中点．（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角．17.已知函数，、为大于0的常数，．（1）求在的极小值点；（2）求证：．18.现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为．甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏．（1）甲将游戏币向上抛出4次，用X表示落下时正面朝上的次数，求X的期望；（2）甲将游戏币，，抛出，用Y表示落下时正面朝上游戏币个数，求Y的分布列及其期望；（3）将这n枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜.请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由．19.设两个非零向量，，，，将方向逆时针旋转到方向所成的角记为，定义伪叉积：，规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的，，及，满足：