湖北省孝感市2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含答案）

孝感市2026届高三年级第一次统一考试数学试卷考试时长：120分钟试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷、草稿纸上无效.2.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷、草稿纸上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列选项中，与复数103−A.3+i B.3−iC.−3+iD2.设全集U={x∈ℕ|A.4 B.5 C.6 D.73.已知点M（2，4）在抛物线C：y2A.2 B.2C.4 D.64.设数列{an}满足an+1A.−15 C.−1D5.若点(α,0)是函数y=3A.12 B.C.32 D.6.在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB→·A.11 B.14C.6 D.107.已知正实数x，y满足2x·8A.6 B.8 C.12 D.168.已知圆C:x2+y2=25，直线lA.存在m∈RB.存在m∈R，使得l1C.l1⊥l2，且l1，lD.设圆心O(0,0)到l1，l2的距离分别为d1，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于定义域为R的函数f(xA.存在函数f(x)，使得B.存在函数f(x)，使得C.存在函数f(x)，使得D.存在函数f(x)，使得10.若三棱锥P−ABC的所有棱长均为1，M，N分别为棱BC，A.PAB.该三棱锥的表面积为2C.该三棱锥外接球的体积为6D.异面直线PM，AN所成角的余弦值为111.曲线C:x2A.若点(x0,y0)在曲线B.若曲线C表示双曲线，则其离心率eC.若α∈(0,π2)，则曲线D.不论α为何值，直线y=12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=x3−3x213.已知数列{an}为等比数列，a1=4096，公比q=12，Tn是数列{14.某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6。活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖。现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立。记中奖人数为X，则X的数学期望为

¯四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题13分）已知函数f(x)=cos(2x（1）求y=f(x)（2）将函数y=f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数y=16.（本小题15分）2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时燃战。湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能。组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下：（1）从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(（2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数。附：线性回归方程y^b^=∑17.（本小题15分）如图①，在圆C:x2+y2=1上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PI，I为垂足.点M在IP的延长线上，且|IM|=2|IP|.当点P在圆上运动时，点M的轨迹为曲线Γ（1）求曲线Γ的方程；（2）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2.E、F、（Ⅰ）如图②，已知点R是线段OF上靠近原点O的4等分点，直线ER与曲线Γ交于E、T两点，与圆C:x2+y2=1（Ⅱ）如图③，已知点R1，R2，⋯，Rn−1是线段OF的n(n≥2)等分点，点S1，S2，⋯，Sn−1是线段CF18.（本小题17分）已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=A1A=3，AD=6，点M（1）求证：D1P∥（2）求平面ADD1A（3）平面BMN把长方体ABCD−19.（本小题17分）已知定义在R上的函数f(xf(1)=2；当x>0时，f(对∀x,y∈R（1）用f(x)表示（2）判断f(x（3）已知数列{an}满足f(an)=3数学参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.B8.D9.BC10.ACD11.ABD1.A【解析】因为103−2.C【解析】因为U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中有10个元素，而A中有4个元素，所以∁3.C【解析】因为M(2,4)代入y2=2px，得p=4，M4.A因为a1=1，a2=−15，5.D【解析】因为α所以2α6.B【解析】∆ABC中，由余弦定理得122=b2+c2−2bccosA，联立7.B【解析】因为2所以3x+y8.D【解析】A：若l1∥lB：直线l1:m(x−y+3)+(x+1)=0，令{x−y+3=0xC：若两弦长相等，则d1=d2=D：直线l2:m(x+y−1)+(y−2)=0，令9.BC【解析】因为f(x)+f(−x)为偶函数，f(x10.ACD【解析】A：BC⊥平面PAM，所以PAB：表面积为3，所以B错误C：半径为64，体积为6D：|cos⟨PM故本题选ACD11.ABD【解析】A：曲线C关于原点对称，所以A正确B：e=C：焦点在y轴上，所以C错误D：当曲线表示圆，椭圆，双曲线，双直线时，都有两个交点，所以D正确故本题选ABD12.2【解析】因为f'(x)=3x13.26【解析】由题意an=4096×12n−1=213−n，所以Tn=a1·14.4372【解析】由题意，三次抽奖的所有情况共有6和为5的倍数的情况有：①三个编号均不相同1，3，6;1，4，5;2，3，5;4，5，6共4×A②恰有两个编号相同1，1，3;2，2，1;2，2，6;3，3，4;4，4，2;6，6，3共6×3=18种③三个编号都相同5，5，5共1种所以P=24+18+1所以X的数学期望E(X15.【答案】（1）y=−3【解析】（1）因为f(0)=cosφ=12且0⩽φ所以f(所以f所以k=所以切线方程为：y=−（2）因为g(∵∴cos所以，函数y=g(x)16.【答案】（1）分布列如下：ξ123P361所以E（2）回归方程为y^【解析】（1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以ξ的可能取值为1，2，3……………………1分P(ξ=1)=310所以分布列如下：ξ123P361…5分所以E(（2）由题意x¯=∑∑i=1所以b^a所以y关于x的线性回归方程为y^当x=8时，y故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人.…………15分17.【答案】（1）x24+【解析】（1）设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(由|IM|=2|IP|得x=2x0因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以（2）（ⅰ）由题意，点F(2,0)，E(0,−1)，R所以直线ER方程为y=2x−1由{y=2x−1x由{y=2x−1x由相似得|ET（ⅱ）证明：由题知：E(0,−1)，Ri2ikERi直线ERi直线GSi方程：联立直线ERi方程和直线GSi方程，得代入直线GSi所以L4所以x所以，点L在椭圆x2备注：第（2）（ⅱ）问中用交轨法证明也行，请阅卷老师酌情给分。18.【答案】（1）证明（见解析）（2）1919（3）【解析】（1）取A1D1中点Q，连接AQ，A因为QD1所以四边形APD1则D1且D1PMN⊂平面所以D1P∥（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为X轴，Y轴，B(6,3,0)，A(6,0,0)，A1(6,0,3)，B1(6,3,3)，CBM→=(0,−3,1)，设平面BMN的法向量为n由{BM→⋅n=0BN所以平面BMN的一个法向量为n=(3,1,3)又平面ADD1A平面ADD1A1则cosθ=|cos⟨即平面ADD1A1与平面（3）取B1C1中点R，由（1）知BR∥MN，所以B，M所以四边形BMNR为梯形⋯⋯11分设BM则S∈平面A1B1所以S∈平面A1所以S∈直线B1A1，所以直线B1A所以以A1MN−S∆A1MN其体积为V=13备注：第（1）问用空间坐标系做也行，请阅卷老师酌情给分。19.【答案】（1）f(−x)=−f(x)（3）S【解析】（1）对③式，令x=1，y=0又∵f(1)>0，∴f(0)=0⋯⋯1分对③式，令y=−x