吉林省延边市白山一中2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

吉林省延边市白山一中2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A.3 B.4C.5 D.62．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.3．圆上到直线的距离为的点共有A.个 B.个C.个 D.个4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里5．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A.底面边长为6米 B.体积为立方米C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为6．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.47．已知动点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则线段的长度的最小值为（）A. B.4C. D.8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.9．数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.10．双曲线的焦距是（）A.4 B.C.8 D.11．已知直线和互相垂直，则实数的值为（）A. B.C.或 D.12．已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点作圆的切线l，直线与l平行，则直线l过定点_________，与l间的距离为____________14．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.15．已知等差数列的前n项和为，，则___________.16．已知点P是抛物线上一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)18．（12分）已知直线过点（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程19．（12分）已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.21．（12分）已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.22．（10分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及前项的和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出图象，过点M作准线的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，求解即可【详解】过点M作准线的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，其最小值为.故选：B2、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D3、C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.4、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B5、D【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D6、A【解析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.7、A【解析】求出的最小值，由切线长公式可结论【详解】解：由，得最小时，最小，而，所以故选：A.8、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A9、A【解析】根据规律，总结通项公式，即可得答案.【详解】根据规律可知数列的前三项为，所以该数列一个通项公式为故选：A10、C【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.【详解】解：由题意可得，，∴，故选：C【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.11、B【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，求解即可.【详解】由已知可得，解得.故选：B.12、A【解析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论【详解】设的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）所以故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.##2.4【解析】利用直线与平行，结合切线的性质求出切线的方程，即可确定定点坐标，再利用两条平行线间的距离公式求两线距离.【详解】由题意，直线斜率，设直线的方程为，即∴直线l过定点，由与圆相切，得，解得，∴的方程为，的方程为，则两直线间的距离为故答案为：；.14、【解析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以，故答案为：15、36【解析】根据等比数列下标和性质得到，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因，所以，所以；故答案为：16、【解析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.【详解】如图所示：，由抛物线的定义得：，所以，由图象知：当三点共线时，最小，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、每年至少要还6.17万元.【解析】根据贷款总额和还款总额相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【详解】50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，从而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.18、（1）（2）或【解析】(1)由两条直线垂直可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可；(2)当直线过原点时，根据直线的点斜式方程即可得出结果；当直线不过原点时可设直线的方程为，将点的坐标代入计算即可.【小问1详解】解：因为直线与直线垂直所以，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线的方程为【小问2详解】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是，即当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入方程得，所以直线的方程是综上，所求直线的方程为或19、（1）；（2）证明见解析【解析】(1)根据题意列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c即可得椭圆方程；(2)设直线的方程为，，，，，联立直线方程利用韦达定理即可求为定值【小问1详解】；【小问2详解】由椭圆方程可知，，，设直线的方程为，，，，，联立得，∴，，则，∵，，∴，把及代入可得：﹒20、（1）的递增区间为，递减区间为（2）【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；(2)将不等式转化为，令，利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，又当时，，当时，故的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】，即，令，有，，若，在上恒成立.则在上为减函数，所以有若，由，可得，则在上增，所以在上存在使得，与题意不符合综上所述，.21、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由点斜式得切线方程；（2）由函数在上是减函数，可得在上恒成立，，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当时，所以，所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为函数在上是减函数，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.实数的取值范围为做法二：即在上恒成立，则在上恒成立，令，显然在上单调递减，则，得实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值