极化恒等式与等和线【解析版】

-|a-b|2[2②P—.P—=P2-N—2(三角形形式).P立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.A.B.C.1D.2【分析】设AD=m,BD=n，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得.【详解】设AD=m,BD=n，B.C=(B+D(.(C+D(=B.C+B.D+C.D+D2=A—2-=4=m2-n2．同理B.C=(B+D(.(C+D(=F2-B2=m2-n2=-1，所以联立得m所以B.C=(B+D(.(C+D(=E2-B2=m2-n2=．规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤：AD边上的中点，则EF.FG+GH.HE=A.B.-C.D.-【详解】取HF中点O，则E.F=E.E—=E2-O—2=2=,G—.H=G—.G= G2-O2=2=，因此E.F+G.H=，选A.【详解】BF=BA+AE+EF=-A+A—+E=-A+A—+(A—-A(=-A+A—+=-3A+1A—D=-A+A—，所以B.D=(-A+A—((-A+A—(=A2-A.A—+A—2知在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则ABA.-16B.16C.-8D.8(=×(36-100(=-16．5.(安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题)在等腰梯形ABCD中，A.B.C.D.0(∵AB=2BC=2CD=2,∴∠DAB=60°,则A(0,0(,B(2,0(，∴P.P=(-a((2-aa2-2a A.22+1B.22+2C.4+2D.4+22—→—→最后利用向量的运算和圆的性质求出MA.MB的最大值.设AB的中点为D，则MA=MD+DA，MB=MD+DB，因为D=-D，所以M—.M—=(M—+D(.(M—+D(=(M—+D(.(M—-D(max=d+r=1+2，所以M.M的最大值为(1+2(2-12=22+2.—→—→从而得PR.PS的取值范围．因为RS是圆N的直径，所以NS=-NR，所以P.P=(P—+N).(P—+N)=(P—+N).(P—-N)=P—2-N2=|P—|2-4，2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+12-x2=x2-2x+13，所以P.P=x2-2x+9，【分析】由条件式2c=asinC+ccosA，利用正弦定理结合三角恒等变换求得A=，进而得到A=B【详解】由2c=asinC+ccosA和正弦定理，得2sinC=sinAsinC+sinCcosA，则sinA+cosA=1，即sin(A+=1，取AB的中点M，则E.E===所以E.E的最小值为. =λBA+μBD(λ,μ∈R(，则λ+A.1B.C.D.∴B=B，又E为线段AO的中点，∴B=B+B=B+×B=B+B=λB+μB，规律方法利用等和线求基底系数和的步骤：10.(23-24高一下广东潮州月考)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD=AB，BE=BC，AE与CD相交于点F.(2)若A=λ3A+λ4A—(λ33+λ4的值.AD=AB，BE=BC，则D=D+B=A+B=A+(A—-A(=-A+A—，λ1=-，λ2=，1+λ2=；(2)A=A—+D=A-A+A—=A+A—，因为A、F、E三点共线，设A=mA，则A=mA+mA—，因为C、F、D三点共线，设C=nC，即A-A—=n(A—-A—(，所以，A=nA—+(1-n(A—=nA+(1-n(A—，1m=1nm=31m=1nm=3所以，A=λ3A+λ4A—=A+A—，则λ3=，λ4=,3+λ4=.11.(23-24高三福建课后作业)设D，E分别是ΔABC的边AB，BC上的点,AD=AB,BE=BC,若A.1B.C.D.【详解】易知D=A+B=A+(A—-A(=-A+A—，所以λ1+λ2=.选C.关于基底{OA,OB}的分析式为O=(1-t)O—+tO反之，若O=(1-t)O—+tO则A，P，B三点共线(特别地令t=,O=O—+O称为向量A.B.C.D.1【分析】设B—=tB，可根据向量关系得出A—=(1-t(A+tA—， 则A—=A+B—=A+tB=A+t(A—-A(=(1-t(A+tA—，“N为AM中点，:A—=A—=(1-t(A+tA—,又A—=λA+μA—，:λ=(1-t(,μ=t，:λ+μ=.A=λA+μA—，则λ+μ的最大值为().A.3B.22C.5D.2答案A因为动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r.因为BC=2，CD=1，所以BD=22+12=5.所以BC.CDBD.r，所以r设点P的坐标为cosθ+1,sinθ+2(.所以cossinθ+2=2μ.所以λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+ϕ)+2，其中tanϕ=2.因为-1≤sin(θ+ϕ)≤1，所以1≤λ+μ≤3.=3.一分析.⌢动.若O=xO+yO,其中x,y∈ℝ,则x+y的最大值是().A.2B.2C.3D.3答案B如图,以O为原点,OA所在直线为x轴,过点O且垂直于OA的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A设∠AOC=θ,0°≤θ≤120°,所以C(cosθ,sinθ).因为O=xO+yO,所以O=x(1,0)+y(-,=(x-,=(cosθ,sinθ).所以x+y=3sinθ+cosθ=2sin(θ+30°).因为0°≤θ≤120°,所以30°≤θ+30°≤150°.当θ+30°=90°,即θ=60°时,x+y取得最大值2,故选B. ⌢如图,过AB的中点作圆的切线,使其与等和线值为1的直线AB平行.当点C运动至AB的中点时,x+y有最大值,为=2.ABCD答案:B将4λ2-2λμ+μ2变形为：4λ2-2λμ+μ2=(2λ+μ)2-6λμ.(2λ+μ)2-6λμ≥(2λ+μ)2-(2λ+μ)2=(2λ+μ)2故5≥(2λ+μ)22≤20设E为AB的中点，则A=2λ.A+μA—=2λA+μA—.答案为B.其内部的动点.设向量A=mA+nA(m,n∈ℝ)，则m+n的取值范围是().n=.因为AB=2，所以m+n=.问题转化为求AG的取值范围，其中点P在圆心在线段CD详解:由等和线结论，m+n=，其中G为过点P且平行于BF的直线与AB的交点.因为AB=2，所以m+n=.AG=2AB)，AG的最大值为10(此时等和线过点D且与圆相切，AG=5AB).且AG可以取到4到10之间的所有值.所以m+n=的取值范围是,|=[2,5].所以选C.则NP.QP=(—→—→∴M=M+M，两边平方可得：36=M2+M2+M.M，2+M2=200．又NQ=MQ-MN=PQ-PN， 2+M2-2M.M=N2+Q2-2N.Q，即N2+Q2-2N.Q=256，②ABC.2D.2PC=x2-2x+2，配方便可求出最小值．【解答】解：如图，PD=AD-AP，PC=BC-BP；∴P.P=(A—-A).(B-B)=AD.BC-AP.BC-AD.BP+AP.BP=2-0-0-AP=2-AP.∴P.P=2-x(2-x)=x2-2x+2=x-2+；()A.-B.-C.-D.-【分析】由B=2F及B+F=B，可计算出向量F的模；再利用向量的加法法则可得：F=FO+OD，FE=FO+OE，根据数量积的运算法则即可计算出．∴F.F=(F+O—)•(F+O)=F2+F•(O+O—)+O—.O=2+0-r2=-．A.4B.8C.D.5，A.1B.C.D. 结合A—=，A=+μ，可得A=λA—+μA—，A.1B.C.2D.-由OC=xOA+yOB，所以3sinθ=y，所以x+y=cosθ+3sinθ=2cosθ+sinθ(=2sin(θ+，因为0≤θ≤,所以≤θ+≤,所以≤sin(θ+≤1，所以1≤2sin(θ+≤2，2-x2+b2M.M=(x-a，y-b)•(-x-a，-y-b)=a2-x2+b2-y2，因为点M为圆x2+(y-2)2=1上的动点，所以x2+y2的最小值为16，所以MA.MB的最大值为9-16=-7，2+b2如图∠BAX=-θ,