《正余弦函数的图象与性质（第2课时）》参考教案1

6/7三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx，x∈R①当且仅当x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.(3)周期性由(k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y＝sinx，x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］的图象上可看出：当x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝eq\f(π,2)＋2kπ，得x＝eq\f(π,4)＋kπ即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z｝.函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y＝1＋eq\f(1,sinx)(2)y＝eq\r(cosx)解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为｛x｜x≠eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z｝(2)由cosx≥0得－eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ］(k∈Z)［例3］求下列函数的单调递增区间：①y＝cos(2x＋eq\f(π,6))；②y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))解：①设u＝2x＋eq\f(π,6)，则y＝cosu当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大又∵u＝2x＋eq\f(π,6)随x∈R增大而增大∴y＝cos(2x＋eq\f(π,6))当2kπ－π≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)即kπ－eq\f(7π,12)≤x≤kπ－eq\f(π,12)时，y随x增大而增大∴y＝cos(2x＋eq\f(π,6))的单调递增区间为：［kπ－eq\f(7π,12)π，kπ－eq\f(π,12)］(k∈Z)②设u＝eq\f(π,3)－eq\f(x,2)，则y＝3sinu当2kπ＋eq\f(π,2)≤u≤2kπ＋eq\f(3π,2)时，y＝3sinu随x增大在减小，又∵u＝eq\f(π,3)－eq\f(x,2)随x∈R增大在减小∴y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))当2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(π,3)－eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)即－4kπ－eq\f(7π,3)≤x≤－4kπ－eq\f(π,3)时，y随x增大而增大∴y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))的单调递增区间为［4kπ－eq\f(7π,3)，4kπ－eq\f(π,3)］(k∈Z)Ⅲ.课堂练习课本P331～7Ⅳ.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业课本P46习题2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y＝sinx在第一象限是增函数；②α是锐角，则y＝sin(α＋eq\f(π,4))的值域是［－1，1］；③y＝sin｜x｜的周期是2π；④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；其中正确的命题的序号是_____.分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：令x1＝eq\f(π,3)，x2＝eq\f(π,6)＋2π，此时x1＜x2而sineq\f(π,3)＞sin(eq\f(π,6)＋2π)∴①错误；②当α为锐角时，eq\f(π,4)＜α＋eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)＋eq\f(π,4)由图象可知eq\f(\r(2),2)＜sin(α＋eq\f(π,4))≤1∴②错误；③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.∴③错误；④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1∴④正确.答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝lg(sinx－eq\f(\r(3),2))(2)y＝2eq\r(2cos3x－1)分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sinx－eq\f(\r(3),2))有意义，必须且只须sinx＞eq\f(\r(3),2)，解之得：2kπ＋eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z又∵0＜sinx－eq\f(\r(3),2)≤1－eq\f(\r(3),2)∴lg(sinx－eq\f(\r(3),2))≤lg(1－eq\f(\r(3),2))∴定义域为(2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3))，(k∈Z)值域为(－∞，lg(1－eq\f(\r(3),2))］.(2)要使2eq\r(2cos3x－1)有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥eq\f(1,2)，解之得2kπ－eq\f(π,3)≤3x≤2kπ＋eq\f(π,3)即eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)≤x≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)，k∈Z.又0≤2cos3x－1≤1故0≤2eq\r(2cos3x－1)≤2∴定义域为［eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)，eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)］，k∈Z值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195°与cos170°;(2)coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)(3)sin(sineq\f(3π,8))，sin(eq\f(3π,8)).分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，∴sin15°＜sin80°∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sineq\f(1,10)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))－coseq\f(7,4)＝cos(π－eq\f(7,4))又∵eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＝1.47＜1.5＝eq\f(3,2)π－eq\f(7,4)＝1.39＜1.4＜eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＜eq\f(3,2)而y＝cosx在［0，π］上是减函数，由π－eq\f(7,4)＜eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＜eq\f(3,2)＜π得coseq\f(3,2)＜cos(