湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试题（解析版）

第第页湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=xx2<9，A．x−3<x<1 B．xx>1 C．x1<x<3【答案】D【解析】【解答】解：因为A=xx2所以A∪B=x故答案为：D.【分析】由一元二次不等式求解方法，从而得出集合A，再利用一元一次不等式求解方法得出集合B，再利用并集的运算法则，从而得出集合A∪B.2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是2,−1，则z=A．1+2i B．2+i C．2−i【答案】B【解析】【解答】解：因为复数z在复平面内对应的点的坐标是2,−1，

所以z=2−i，

则z故答案为：B.【分析】先利用复数的几何意义得出复数z，从而得出复数z的共轭复数.3．命题“∀x>1，exA．∀x≤1，ex−2>0 B．∀x>1C．∃x≤1，ex−2>0 D．∃x>1【答案】D【解析】【解答】解：因为命题“∀x>1，ex−2>0”是全称量词命题，其否定是特称量词，所以命题“∀x>1，ex−2>0”的否定为“∃x>1，故答案为：D.【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词，从而改量词否定结论，则得出命题“∀x>1，ex4．定义在R上的函数fx满足fx−f2−x=0，且fx在1,+∞A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】A【解析】【解答】解：因为定义在R上的函数fx满足f所以fx=f2−x即f所以a=f−9=f11又因为fx在1,+∞上单调递增，

所以故答案为：A.【分析】先判断出函数图象关于直线x=1对称，再利用函数的单调性比较出a，b，c的大小.5．已知函数fx=3x3−A．1,+∞ B．−∞,1 C．2,+【答案】C【解析】【解答】解：因为fx=3x所以f−x又因为f'x=9x2−cos所以fx+f4−3x<0，所以，x的取值范围是2,+∞故答案为：C.【分析】利用函数的单调性和奇偶性结合已知条件，从而得出满足fx+f4−3x6．过抛物线x=2y2的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交抛物线的准线于点C．若AB=3A．34 B．1 C．98 【答案】C【解析】【解答】解：因为抛物线y2=12x的焦点为F18,0，若直线AB与x轴重合，此时，直线AB与抛物线y2设直线AB的方程为x=my+18，

联立x=my+18y因为AB=3AF，

则所以，y2−y1=−3所以，y1+y2=−则y1y2所以，y12=14m2=132，y22=4y1所以BC=故答案为：C.

【分析】设点Ax1,y1、Bx2,y2，利用已知条件可得直线AB不与x轴重合，设直线AB的方程为7．有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为6%、5%、3%，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、A．2147 B．2047 C．1847【答案】C【解析】【解答】解：记事件A1:取到的零件为甲车床加工的，事件事件A3:取到的零件为丙车床加工的，事件则PBA1=6PA1=310由贝叶斯公式，可得：PA因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为1847故答案为：C.

【分析】记事件A1:取到的零件为甲车床加工的，事件A2:取到的零件为乙车床加工的，事件A38．已知向量a,b满足a=3，A．2,4 B．0,8 C．3,8 D．【答案】A【解析】【解答】解：取F1F2=4a，O为线段F1F∴4又因为F1∴点P的轨迹是以F1,F∴长半轴的长为4，短半轴的长为42所以，2a故答案为：A.

【分析】令F1F2=4a，F2P=b，利用向量加法的三角形法则得到4a+b=F1P，则将二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列说法正确的是（）A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11B．若随机变量ξ，η满足η=3ξ−2，Dξ=3C．一组数据xi,yi1≤i≤15,i∈ND．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为X，则X服从超几何分布【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15，计算第60百分位数为：位置计算为n×p%=7×0.6=4.2，因为随机变量η=3ξ−2，又因为Dξ=3，

根据方差线性变换公式为D(η)=32×D(ξ)=9×3=27因为线性回归方程y=3x+2必经过样本均值点x,y，

当x=2时，代入方程得从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12，7，5)，

故选项D正确.故答案为：ACD.

【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义计算，则可判断选项A；根据方差的线性性质计算可判断选项B；根据线性回归方程必经过样本中心点，计算可判断选项C；根据超几何分布的定义可判断选项D，从而找出说法正确的选项.10．已知双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点分别为F1、FA．直线y=52x−1B．双曲线C的离心率为3C．当∠F1AFD．当直线AB的斜率为k1，过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，由题意，联立y=52x−1x2所以，直线y=52x−1对于B，对于双曲线C，则a=2，b=5，c=所以，双曲线C的离心率为e=c对于C，设F1A=m，F2A由余弦定理，可得：F可得mn=20，

则S△对于D，设点Ax1,y1、Bx2则k1=y1−y2由题意，可得x124−y125=1故答案为：BC.

【分析】将直线方程与双曲线方程联立，从而得出交点坐标，则可判断选项A；利用双曲线的离心率公式求出双曲线C的离心率，则可判断选项B；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式，则可判断选项C；利用中点坐标公式和两点求斜率公式以及点差法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.11．设函数Fx的导函数为fx，即F'x=fx．当fx≥0，函数fx在区间a,b上的图象连续不断时，直线x=a，x=bA．1B．当t>1时，2C．存在实数a>1，使得1a1xdxD．直线x=0，x=π，y=0和曲线y=sin【答案】B,D【解析】【解答】解：对于选项A，因为12x2dx对于选项B，因为1t1+1即要证2lnt<t−1设gt=2lnt−t+1t，则gt在1,+∞上单调递减，

所以对于选项C，∵1a1xd要使1a1xdx则ln2a+1=ln∴loga+2∵当a>1时，loga+1又因为loga+1∴loga+1a⋅∴①不成立，所以C错误；对于选项D，因为0πsinxdx所以D正确．故答案为：BD.

【分析】利用题中定义和定积分求面积的方法，则可判断选项A和选项D；先计算出1t1+1x2dx三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．3x+1n的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为1:128，则n的值为【答案】7【解析】【解答】解：根据题意，(3x+1)n的展开式中，各二项式系数的和为2令x=1，可得其展开式中各项系数的和为4n依题意，则2n4n=(故答案为：7.【分析】先根据各二项式系数的和为2n，令x=113．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若2A=B+C，asinA=b【答案】6【解析】【解答】解：由2A=B+CA+B+C=由asinA=bcosB结合正弦定理asin所以C=π所以sinC=故答案为：6+【分析】由已知条件和正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式，从而得出角C的正弦值.14．已知正六棱锥的高为3，它的外接球的表面积是163π．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为【答案】5【解析】【解答】解：设外接球的半径为R，

则S球=4πR设正六棱锥的底面边长为x，

则3−R2+则正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，∴正六棱锥的底面积S1所以，侧面面积S2∴正六棱锥的体积V=1设正六棱锥的内切球的半径为r，则V=1∴r=3设正方体的棱长为a，则3a≤2r，

∴a≤∴正方体的棱长的最大值为5−1故答案为：5−1【分析】设正六棱锥的外接球的半径为R、内切球的半径为r，由题意和正六棱锥的性质，从而求出R的值以及正六棱锥的底面积和侧面面积，再利用等体积法得出r的值，设正方体的最大棱长为a，此时正六棱锥的内切球是正方体的外接球，由此得出正方体的棱长的最大值.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知向量a=sinx,3cos（1）求函数fx（2）当x∈0,π2时，t【答案】（1）解：∵f∴函数fx的最小正周期T=由π2+2kπ得π3+kπ∴fx的单调递减区间为π3+k（2）解：∵当0≤x≤π2时，∴结合y=sinx的图像，

当2x−π∵当x∈0,π2∴t2−52t≤0，

解得0≤t≤52【解析】【分析】（1）先由数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，从而化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，从而得出函数fx的最小正周期，利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数f（2）先根据x的取值范围得出−π6≤2x−π6（1）∵fx∴函数fx的最小正周期T=由π2+2kπ得π3+kπ∴fx的单调递减区间为π3+k（2）∵当0≤x≤π2时，∴结合y=sinx的图像，当2x−π∵当x∈0,π2∴t2−52t≤0，解得0≤t≤516．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2（1）证明：A1C⊥平面（2）是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为45【答案】（1）证明：∵AB=AC=2，BC=22，

∴AB2+AC又∵面AA1C1C⊥面ABC，面AA1C∴AB⊥面AA∵A1C⊂面AA又因为A1C⊥BC1，AB,BC1⊂面ABC（2）解：∵A1C⊥面ABC1，

∴A取A1C1的中点为E，连接AE，

∵∠ACC1=60°，∴∆AA1C又因为AB⊥平面AA1C∴如图所示，以点A为坐标原点，

分别以AB,AC,AE所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系A−xyz，则A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,−1,3，C10,1,3设n=x,y,z为平面则n⋅BP=−2x−λy+3λz=0,n设d为点C到面BPC则d=BC∴28λ2−16λ+1=0，

则λ=所以，存在λ=12或【解析】【分析】（1）先由勾股定理证出AB⊥AC，再由面面垂直的性质定理得到AB⊥面AA1C1C（2）由线面垂直的定义得出线线垂直，从而得出四边形AA1C1C为菱形，再利用等边三角形三线合一和平行的传递性，从而得出线线垂直，则建立如图所示空间直角坐标系，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面BPC1的一个法向量，再利用数量积求点到平面的距离公式和已知条件，从而得出存在实数λ（1）证明：∵AB=AC=2，BC=22，∴AB2又∵面AA1C1C⊥面ABC，面AA1∴AB⊥面AA∵A1C⊂面A又A1C⊥BC1，AB,BC1⊂面AB（2）∵A1C⊥面ABC1，∴取A1C1的中点为E，连接AE，∵∠AC∴AE⊥A1C1．又又AB⊥平面AA1C∴如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB,AC,AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz．则A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,−1,BP=BA+AP=设n=x,y,z为面则n⋅BP=−2x−λy+3λz=0,设d为点C到面BPC则d=BC∴28λ2−16λ+1=0，即λ=故存在λ=12或17．已知等差数列an的前n项和为Sn，a2a3=45，S3（1）求数列an（2）证明：数列bn（3）求数列an+2anan+1【答案】（1）解：∵an是等差数列，

∴S3又∵a2a3∴等差数列an的公差d=∴a（2）证明：∵2bn−b又∵b1−15=1，

∴b∴b（3）解：由（2）得，bn记c∴T=11×【解析】【分析】（1）由等差数列前n项和公式和等差数列的性质以及已知条件，从而求出a2的值，再由等差数列的性质得出公差的值，再结合等差数列性质得出数列a（2）由递推关系和等比数列定义，从而证出数列bn（3）由（2）结合等比数列的通项公式得出数列bn的通项公式，从而得出数列an+2anan+1b（1）∵an是等差数列，∴S又∵a2a∴等差数列an的公差d=∴a（2）∵2bn−又∵b1−15=1，∴∴b（3）由（2）得bn记cn∴T=11×18．已知椭圆C:x2a2+（1）求C的方程；（2）过C的右焦点F的直线交⊙O:x2+y2=a2于①证明：四边形AMBN的面积为定值，并求出该定值；②若直线AB的斜率存在且不为0，设线段AB的中点为E，记△AEN，△BEM的面积分别为S1,S2．当【答案】（1）解：根据题意，得ca=63b=1所以，椭圆C的方程为x2（2）①证明：设四边形AMBN的面积为S，由（1）得，⊙O:x2+因为直线MN的垂直平分线段AB，

所以S=1当直线AB与x轴重合时，此时AB=23，∴S=1由圆的性质知直线MN过坐标原点O，

由椭圆的对称性知OM=当直线AB与x轴不重合时，设直线AB方程为x=ty+2∵OE2=∴AB∵MN⊥AB，

则直线MN的方程为y=−tx，

联立椭圆方程，得y=−txx23+y∴MN∴MN∴S=12综上所述，四边形AMBN的面积为定值23②解：易知S1=12AE⋅EN，S∴=1−2由（ⅰ）知ONOE设3t2+1=m∴当且仅当m=4m时，即当m=2时，等号成立，此时所以S1S2【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆的离心率公式、点代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.（2）（ⅰ）从直线AB与x轴重合这一特殊入手，此时得出四边形AMBN的面积为S=23；当直线AB与x轴不重合时，设直线AB方程为x=ty+2，通过几何图形的对称性和椭圆的性质，从而计算得出AB=23t2+11+t2，MN=23t2+13（1）根据题意，得ca=6所以椭圆C的方程为x2（2）（ⅰ）证明：设四边形AMBN的面积为S，由（1）得⊙O:x2+因为直线MN的垂直平分线段AB，所以S=1当直线AB与x轴重合时，此时AB=23，∴S=1由圆的性质知直线MN过坐标原点O，由椭圆的对称性知OM=当直线AB与x轴不重合时，设直线AB方程为x=ty+2∵OE2=∴AB∵MN⊥AB，则直线MN的方程为y=−tx，联立椭圆方程，得y=−txx2∴MN∴MN∴