湖北省武汉市七一华源中学2025-2026学年九年级上学期1月数学试卷（含答案）

2026.01.192025-2026学年武汉市七一华源中学九年级（上）1月数学试卷2026.01.19（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．“投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”这个事件是（）A．不可能事件 B．随机事件 C．确定性事件 D．必然事件3．用配方法解方程x2-8x+1=0，A．x-42=7 B．x+42=74．设x₁，x₂是一元二次方程x2-2x-2=0的两个根，则x₁+x₂-x₁x₂A．0 B．−2 C．4 D．−45．平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．6 B．5 C．4 D．36．将抛物线y=-2x2向左平移2个单位，再向上平移3A．y=-2(x-2)²-3B．y=-2x+22+3C．y=-2(x-2)²+37．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'(点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C')，连接CC'．若∠CC'B'=3A．57° B．60° C．67° D．77° 第7题图第9题图第14题图第16题图8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A．19 B．13 C．49 9．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ABC=90°，过点O作斜边AC的平行线分别交BA、BC于M、N，若AM=4，CN=3，则⊙O的半径是（）A．72 B．52 C．125 D10．四位同学研究二次函数y=ax2+bx+3a≠0的图象与性质时，甲发现当x=2时，y=2；乙发现函数的最大值是4；丙发现x=−1是方程ax2+bx+3=0A．甲 B．乙 C．丙 D．丁第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）下列各题不需要解答过程，将结果直接填在答题卷指定位置．11．点(2，−4)关于原点对称的点的坐标是．12．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20501002005001000“射中9环以上”的次数154178158405801“射中9环以上”的频率0.750.820.780.790.810.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“命中9环以上”的概率为．(结果保留小数点后两位)13．两年前某药品的售价为每盒50元，随着新医保政策的支持价格逐步下调，现在该药品的售价为每盒30元．设药品售价的年平均下降率为x，依题意列方程为．14．如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是cm．15．已知抛物线y=x2①抛物线与x轴必有两个交点；②若抛物线经过(5−m，1)，(5+m，1)两点，则b=−10；③若抛物线与x轴两个交点的距离大于4，则b<−2；④若抛物线经过位于对称轴两侧的(−3，y₁)，(1，y₂)两点，且．y1<y2，，则2<b<6．其中一定正确的结论有16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AB=6，D是平面内一点，且CD=BC，点M是AD中点，点P在线段AB上，且PB=1，连PM，则线段PM的最大值为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．17．(8分)关于x的方程x2-mx-5=0有一个根是一1，求另一个根及m的值．18．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，△ECD是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点，连接AD，且点A、D、E在同一条直线上．(1)求∠BAE的度数；(2)若BC=2，求AE的长度．19．(8分)一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为；(2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．(请用画树状图或列表等方法说明理由)20．(8分)如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是AD上一点，且AB=AE，连接EB，EC分别交AD于点F，G(1)求证：AG=CG；(2)若AF=1，FG=3，求⊙O的半径．21．(8分)如图，由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且A、B、C是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中先作直径CE，再过点E作⊙O的切线；(2)在图2中，点D是⊙O与网格线的交点，先在AB上方作BF=2AD；再在AB下方作弦DG22．(10分)武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE=92米，OF=272米(1)求抛物线F→E→G的函数关系式；(2)在轨道距离地面496米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1．5米至K点，又进入下坡段K→H(K接口处轨道忽略不计，点H为最低点)．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB=2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低?最低造价为多少元?23．(10分)【问题背景】如图1，点D是等边△ABC内一点，连接AD、CD，将AD绕点A顺时针旋转60∘得到AE，连接BE、DE，求证：BE=【尝试应用】如图2，点D是等腰直角△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=90∘，连接AD、BD、CD，若AD=3，CD=1，BD=7，求【拓展创新】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，点D为平面内一点，且∠ADB=60∘，ADBD=32，24．(12分)抛物线y=-x2+bx-3经过点A(1(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是第四象限内抛物线上一点，满足∠DAC=3∠ACO，求点D坐标(3)如图2，G(t，2)是第一象限内一点，过点G的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为M、N，探究直线MN是否过定点，求这个定点的坐标．

2025-2026学年武汉市七一华源中学九年级（上）1月数学试卷参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABCCABDDCA二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）题号111213141516答案(−2，4)0.8052①②④4三、解答题（共8小题，共72分）17．解：将x=−1代入，(−1)2−m(−1)−5=0∴m=4∴x2−4x−5=0解得x1=−1，x2=​=5∴另一根是

x=5，m=418．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=60∘∴∠BAC=30∘由旋转得，△ECD≅△ACB∴AC=CE，∠BAC=∠E=30∘∴∠CAE=∠E=30∘∴∠BAE=30∘+30∘=60∘（2）∵∠B=∠CDE=60∘∴∠ACD=60∘−30∘=30∘=∠CAD∴AD=CD=BC=2在Rt△CDE中，∠E=30∘∴DE=2CD=4∴AE=4+2=619．解：（1）14（1）用树状图列出所有等可能的结果：∵在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为"春"，1张为"秋"出现了2次，∴P(抽取的书签恰好1张为"春"，1张为"秋")=16．20．（1）证明：∵AB=AE∴∠ACB=∠ACE在矩形ABCD中，BC//AD∴∠ACB=∠CAD∴∠ACE=∠CAD∴AG=CG（2）解：连AE,∵AB=AE，∴∠BEA=∠EBA在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90∘，AB=CD，∴AC是直径，∴∠AEC=90°=∠ABC∴∠CBE=∠CEB=∠GFE∴FG=EG=3∴AG=GC=3+1=4在△AGE和△CGD中∵∠AEG=∠CDG，∠AGE=∠CGD，AG=GC∴ΔAGE≅ΔCGD∴GD=GE=3∴AD=4+3=7∴CD=AE=∴AC=∴半径为14．21．22．解：(1)设抛物线解析式为y=a将F0∴y=(2)当y=496时，496∴x1=1PG=8-1=7，PK=7+1.5=8.5∴EH=PK=8．5∴OH=8.5+92=13(3)设A(t，0)，则B(3t，0)∴AM+CM+BN+DN=2=20∵203>0∴t=32时，支架最短，为此时，最低造价为600000元．23．（1）证明：在等边△ABC中，AB=AC，∠∵∠BAC=60°=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴ΔABE≅ΔACD，∴BE=CD（2）解：作AE⊥AD，且AE=AD，连BE、∴∠EAD=90°=∠BAC∴∠EAB=∠CAD又∵AB=AC，AE=AD∴△BAE≌△CAD∴CD=BE=1在Rt△ADE中，ED=∵BE²+DE²=BD²∴∠BED=90°∴∠AEB=∠ADC=13∵∠ADE+∠ADC=180°∴C、D、E三点共线∴SΔBCD（3）9113或24．（1）y=-（2）解：∵x=0时，y=-3，∴C0,-3,延长OA交y轴于F，在OC上取点E，使CE=AE令CE=AE=t，则OE=3-t∵1²+(3-t)²=t²∴t=53，∴OE=∵∠ACE+∠CAE=∠AEO，∠EAO=∠ECA．∴∠AEO=2∠ACO∵∠DAC=3∠ACO，∠DAC=∠ACO+∠AFO∴∠AFO=∠AEO∴OF=OE=43，∴F