【中考数学试卷+答案解析】等腰三角形

等腰三角形一、选择题1．东庄•3分）图由8全矩形等腰三角形一、选择题1．东庄•3分）图由8全矩形成大方，段AB端都在小形顶上如点P某小形顶连接PAB么△BP等直角三角点P个是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分】据腰角角形判即得结．【解】：图示使△AP等直三形点P个是，故选B．【点】题查等直角角的定正的找符条点P解题关．2东庄•3如在R△ABCCB=9C⊥A垂为DF∠CA，交CD点，交B于点F若A=3AB=，则E长（）A．B．C．D．【分根三角的角和理出CAF∠C=90FAD∠AE=9据平分线和对角等得∠CE=∠CFE即得出C=F，再利相三角的定与性得出答案．【解】：点F作⊥AB于点，∵∠AB=9°CDAB，∴∠CA=9°，∴∠CF+CFA90，AD+∠ED=0，∵AF平∠CA，∴∠CA=9°，∴∠CF+CFA90，AD+∠ED=0，∵AF平∠CA，∴∠CF=FA，∴∠CA=AED∠CF，∴CE=F，∵AF平∠CA，ACF∠AGF90，∴FC=G，∵∠B∠，∠GB∠AC90°，∴△BG△BA，∴=，∵AC=，A=5∠AB=9°，∴BC=，∴=，∵FC=G，∴=，解得FC=，即CE的为．故选A．【点本考查直三角性等腰角的性和三形内角定及相似角的定性等知，键推∠C=∠CF．3.（山淄•4如P为边角形BC的点且P三顶点BC的距分为，，5则△AC面为（）A．B．C．D．【考】R：转性；KK等三形性；KS勾定的定．A．B．C．D．【考】R：转性；KK等三形性；KS勾定的定．【分】△BC点B逆时转6°△BE，根旋的得BEP=4，E=P=，∠PBE60，△BE等边角，到E=P4，∠PE=0，△AP中，A=5长BP作A⊥BP点FP=3，E=，据股的逆理得△AE直角角，且∠AE=9°即得∠AB度，直△PF利三函得F和PF的，则在角ABF中用股定得AB的，求得形ABC的积．【解】：△AC等边角，∴BA=C，可将BPC绕点B时旋转0得△EA连E，且长P作A⊥BP于点．图，∴BE=P=，AEPC=，BE=6°，∴△BE等三形，∴PE=B=，∠PE=0，在△AP，A=5AP=，PE=，∴AE2PE2+A2，∴△AE直三形且∠AE=9°，∴∠AB=9°+0°15．∴∠AF=3°，∴在角APF中AF=A=，PF=AP=．∴在角ABF中AB2=2+AF2（4+）2+（）225+．•AB2=则△AC面是•25+12）=．故选A．【点本考查等三角的定性股定【点本考查等三角的定性股定的定以旋的性旋前后的个形等对点与转心连段夹角于转应到旋中的距离相．4.（苏州3分）图点A线段D上在BD的侧等腰t△AC腰R△AD，CD与E、E分别点PM对列结：①△BE△CA；MP•=MA•M；2CB=CPCM其中确是（）A．②③B．①C．②D．【分（）腰RABC等腰RtADE三份数系证；（2通等式推，证△PM△ED（3）CB2化为C2明△AP△MC，题证．【解】：已：A=AB，A=AE∴∵∠BC=EAD∴∠BE=CAD∴△BE△CAD所以正确∵△BE△CAD∴∠BA=CDA∵∠PE=AMD∴△PE△AMD∴∴MP•D=M•ME所以正确∵∠BA=CDA∠PME∠AD∴P、、、A四共圆∴∠AD=EAD90°∵∠CE=10﹣∠AC∠EAD90°∴△CP△CMA∵∠CE=10﹣∠AC∠EAD90°∴△CP△CMA∴AC2CP•∵AC=AB∴2CB=CPCM所以正确故选A．【点题查相三角的质判等积和例的明应注应倒推的方寻相三形行证，而到案．5湖南省常德3分图知D△AC的平线D是C垂直分，∠BAC90，A=3则E的长（）A．6B．5C．4D．3【分据段直分线性到DBDC据角分的义三形内和理求出C=DBC∠AD=3°，据角角的质解．【解】：ED是BC的垂平线，∴DB=C，∴∠C∠DC，∵BD是△BC角分，∴∠AD=DB，∴∠C∠DC=ABD30，∴BD=AD=，∴CE=D×osC=3故选D．，【点本考查是段垂平线性角三形性握段垂平上的点线两点距相等解的键．6.（湾分图，角形ACBC＞A＞A，、两想找点P，使得BPC与A补作法别下：（甲以A为心AC为半画交B于P则P为求；（过B点与B直的线作过C与AC垂的交l于P则P即为所求对于、两的法为所求对于、两的法下列述者确（）A．人正确B．人错误C．正，错误D．错，正确【分据图得ACA用边角APC∠A角的义知：∠BPC∠AC=10，等量换作断；乙：据边的角可得∠BC+A=10．【解】：：图，∵A=A，∴∠AC=AC，∵∠BC+APC18°∴∠BC+ACP18°，∴甲误；乙：图，ABPBC⊥P，∴∠AP=ACP90，∴∠BC+A=10，∴乙确，故选D．【点题查垂的定边的角定理等三形性正的解题意是题关．7（湖荆门3）如，腰RtABC，边B长为2O为7（湖荆门3）如，腰RtABC，边B长为2O为AB中，P为AC边的点O⊥P交BC于点QM为PQ的点点P从点A动点C点M所经的线为（）A．B．C．1D．2【分】接OC作PAB于E，M⊥AB于，Q⊥AB于F如，用腰直三形的性得ACBC=，∠=B=45，O⊥A，O=OAB=1∠OC=4°再明Rt△OP≌△CQ得到AP=Q接利用APE和△FQ为腰直三形到P= AP=CQ，QF=BQ以PEQF=BC=1然后明H梯形PEFQ的中线到H=即定点M到B距离为，而得点M的动线△AC中线最用三形位线性得点M所过路线．【解】：接C作PE⊥B于，M⊥B于，QFAB于F如，∵△AB到腰角角形，∴AC=C=AB=，∠A∠B=°，∵O为AB的点，∴OCABOC平∠AC，OC=A=O=1，∴∠OB=4°，∵∠PQ=9°∠CA=9°，∴∠AP=CO，在R△AOP和COQ中，∴RtAO≌△OQ，∴AP=Q，易得APE和BFQ都腰直三形，∴PE=AP=CQ，Q=BQ，∴PE+F=（CQ+Q）=BC=× =1，∵M为Q中，∴MH∴PE=AP=CQ，Q=BQ，∴PE+F=（CQ+Q）=BC=× =1，∵M为Q中，∴MH为形PEQ中线，∴MH=（PEQF=，即点M到B距为，而CO1，∴点M的动线△AC的位，∴点P点A运点C时点M所过路长=AB=1．故选C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．考了腰角角形性．8.（河•3分知：图，点P在段B外，且PAPB.求：点P在线段B的直分上在该结时需加助，则法正的（ ）A．作B的分线PC交B于点CB．点P作PCAB于点C且ACBCC.取B中点C，连接PCD．点P作PCAB，足为C9.2018四省阳)图，ACB和9.2018四省阳)图，ACB和ECD都腰直三形CA=B，=CD△ACB的顶点A在△CD的边DE上，若AE=，A=，则个角重部的面为（）A.B.C.D.【答】D【考】角的积全等角的定性，勾定，似角的判与，等腰角角形【解解】：接B，作H⊥E，∵△AB△ED是直角角，∴∠AB=ECD90,∠C=∠CB=4°,即∠AD+DCB∠AD+CE=9°，∴∠DB=AC，在△DB△EA,∴△DB△EC∵△AB△ED是直角角，∴∠AB=ECD90,∠C=∠CB=4°,即∠AD+DCB∠AD+CE=9°，∴∠DB=AC，在△DB△EA,∴△DB△EC，∴DB=A=,∠CB=E=4°,∴∠CB+ADC∠AB=9°，在R△ABD中，∴AB=在R△ABC中，∴2AC=AB28，∴AC=C=，在R△ECD中，=2，∴2CD=DE2=，∴CDCE=1，∵∠AO=DC，∠AOCDA，∴△CO△CD，∴：===4-2，又∵=CE=DE·C，∴CH==，∴=AD·H=××=，∴=（4-2）×=3-.即两三形叠分面为3-故答为D..【分解连接BD作C⊥DE根等直三的性可∠AB=ECD0°,ADC=∠CAB45,由角角相可∠DB=ACE由SAS∠CAB45,由角角相可∠DB=ACE由SAS得DC≌△CA根据等角形的知DBEA=,∠B=∠E45,而∠AD90°在t△BD中据勾定理得B=2，理得ABC=2CD=E=+1由三角的定△COCD，根据似角的质面积等相比平从而出个角重部分面.二.填空题1（218四省市3分）图等△AC底边BC=0面为10点F边BC上且BF3F，EG是腰C的直分，点D在EG上动则CDF长的小为18．【分图作H⊥C于连接AD由EG垂平段AC推出DA=C出DDC=ADDF，可当AD、F共时F+DC的最，小是段AF的；【解】：作ABC于，接D．∵EG垂平线段C，∴DA=C，∴DF+C=A+D，∴当、、F线，DDC值小最值线段F长，∵•BCAH=20，∴AH=2，∵AB=C，H⊥C，∴BH=H=1，∵BF=FC，∴CF=H=，∴AF===1，∴DF+C最值为13．∴△CF长最值为∴△CF长最值为3+5=1；故答为8．【点题查对最短题线的直线的质等三形质等识，解题关是会用对称解最问，于中常题．2.（广桂•3）如在ΔBC，=36°AB=C,D分∠C，图等腰三形个是 【答】3详解∵A=A，△AC是等三形．∵∠A36，∠C∠A=72．BD分∠BC交AC于，∴∠AD=DBC36，∵∠A∠AD=3°，∴△AD等三形．∠BDC∠A∠AD=3°+°=7°=C，∴△BC等三形．∴有3等三形．故答为3．点睛本考了腰角形判与质三形内和理求角度数正解答本题关．3.（疆产兵团5）图△ABC是⊙O的接三形⊙O半为2，图阴部面是．【分据边角性质圆角理得形对的心【分据边角性质圆角理得形对的心度根据形积公式计即．【解】：△AC等边角，∴∠C60，根据周定可∠A=2∠C12°，∴阴部的积是=π，故答为：【点题要查形面的算圆角理据边角性和圆角理求得圆角数解的键．4.（四川宾·3分）刘是国古卓的数学之，他《章算术中提出了割术用接或切多形步近圆近计圆面设圆O半径为，用圆O外六边的积近估圆O的积则= 2（结保留根号）【考】M：多形圆；1：学识．【分析根正多形定义可出△BO等三角形根等边角的性质合的长可出B长再利三形面公即可出S的．【解】：照意出图，图示．∵六形BCDF正形，∴△AO等三形，∵⊙O的径为1，∴OM=，∴BM=M= ，∴AB=，∴S=6△ABO=×××12．，，故答为2．【点本考查正边形角形面以及学，，故答为2．【点本考查正边形角形面以及学根等三角的求出正边的长解的关．5.（津3分图边为4的边中分为的点于点为 的中，接，则的为 ．【答】【解】析接D根据意得ΔDEG是角三形然根勾定理可解DG长.详解接D，∵DE别是B、C中点，∴DEACDE=∵ΔAC等三形且BC4∴∠DB=6°,E=2∵EFAC∠C60,EC2∴∠FC=3°EF=∴∠DG=10°60-3=90°∵G是EF的点，∴EG= .在RΔDG，DG=故答为：.点∵G是EF的点，∴EG= .在RΔDG，DG=故答为：.点题要考了边三形性股理以三形位性定住熟练运性是题关.6（湖北省武汉·3分图△AC中∠ACB60AC=D边AB的点，E是边BC上点若DE平分ABC的长则E的长是．【分】长C至M使CM=C，接A作C⊥M于，据意到MEB，据三角形位定到DE=M根等三形性求出AC根正的念出AN，计算可．【解】：长C至，使M=C，接A作CN⊥M于，∵DE平△ABC的长，∴ME=B又A=D，∴DE=AM，E∥M，∵∠AB=6°，∴∠AM=10，∵CM=A，∴∠AN=6°AN=N，∴AN=C•sn∠CN=，∴AM=，∴DE=，故答为：．【点题查是角形位定腰角形性直三形握角形中位定、确出助性解故答为：．【点题查是角形位定腰角形性直三形握角形中位定、确出助性解的键．7（北京2）图所的格正形格C E（“”，“”“”）【答】【解】下所，EBDEGBCADFCA△G是等直三形∴GC4，∴CE．另：题可接量到结．【考】腰角角形8.（江盐•3如直角中，，是等腰三角形且，、分别为边形，则、上的两个动点，若要使是直角三角．16.答】或【考】腰角的定与质相三形判定性质【解解】：BPQ直三【考】腰角的定与质相三形判定性质【解解】：BPQ直三形，两种况∠BQ=0∠BQP90度。在直角中，，，则B=1ABA=3::5(1)当∠BQ=0，△BP△BC，则PQBPBQ=：BCAB=:4:，设PQ3x则B=4，BQx，AQAB-Q=1-5，此时AQP为角则△APQ是腰角时只有Q=P，则105x=x解得=，则AQ10-x= ；（2）∠BQP=0则△BP~BC，则PQQ：BPACBCAB=:4:，设PQ3x则B=4，BPx，AQAB-Q=1-4，此时AQP为角则△APQ是腰角时只有Q=P，则104x=x解得=，则AQ10-x=；故答为：或【分析】要同时使是等腰三角形且是直角三角形，要先找突破口，可先确定当AQ等腰角时，讨△BQ直三角可的况或先确△BQ是直角角讨△APQ是等三形情题先定BPQ是角角形易些：△BQ直三角有种情，据似判和性可到BQP与CA似可得到△BP边比设未知表出边长，再论APQ是腰角形，哪两条相，造程出知数可最出A。9（四成都3等腰角的个角为【答】8°【考】角的积等腰角的质【解析【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为180°50×280°故答为80°则的角度为 ．∴它的顶角的度数为：【分】据腰角的两角等三形内角定，可得果。三.解答题1.（东博•9（1）作发三.解答题1.（东博•9（1）作发：图，小明了个等三形AB，其中AB=A在△BC外别以BAC为作两等腰角形ABC别取BD，CEBC的点MNG接GMGN小发现线段M与GN数关是M=NG；位置系M⊥NG．（2类思：如图小在此础进行深思等三形ABC换一的角三中AB＞A，它件变小明现上结还立吗请明由．（3深研：如图③小在（2的础上，作进一的究．向ABC的内分作等腰角三角形BDAC，它不变试断GMN的状，给证．【考】K：角综题．【分1利用SAS断出AC≌△E出D=B∠DC∠AB进判断∠BC+∠DBH90，：BHD0°最用角中定理可出论；（2同（）方即得出论；（3同（）方出MG=N，后用角位线理等代即得出论．【解】（）接，CD相于H，∵△AD△AE是直角角，∴AB=D，C=A，BAD∠CAE90°∴∠CD=BA，∴△AD△AE（SS∴CD=E∠AD=∠BE，∴∠BC+DBH∠BC+BD+∠BE∠BD+∠BDADC=ADB∠AD=9°，∴∠BD=9°，∴CDBE，∵点，G分是B，BC的中，∴MGCD，同理NGBE，∴MG=G，G⊥G，同理NGBE，∴MG=G，G⊥G，故答为MG=G，G⊥；（2连接CDBE相于H，同（）方得，G=N，MGNG；（3连接EBDC延线相于，同（）方得，G=N，同（）方得△AB≌△AC，∴∠AB=AC，∴∠CE+∠CH=∠AEH﹣∠AC+10°﹣∠CD﹣∠AE=∠CD﹣5°18°﹣∠AD﹣45°=0，∴∠DE=9°，同（）方得，G⊥．【点题三形题要查腰角形的质全三形定和质，平行的定性角形中线理正作出助用比思解决题解本题的键．2湖北省孝感7分如△BCA=C聪学用尺规完了如下操：①作BAC的分线AM交BC点D；②边AB的直分线F，EF与M交点P；③接P，P．请你察形答列题：（1线段PAPBPC间的量系P=PBC；（2若∠BC=0，BPC度．【分【分（）据段垂直分的质得A=PB=C；（2根等腰角的质得∠AC=∠CB=0由角的角得∠BAC18°﹣2×7°=4由平线定∠AD=CAD0°最利三形的性可结论．【解】（）图A=PB=C理是：∵AB=C，M分BA，∴AD是BC的直分，∴PB=C，∵EP是AB的直分，∴PA=B，∴PA=B=P；故答为PA=B=P；（2∵ABAC，∴∠AC=ACB70，∴∠BC=10﹣27040°，∵AM平∠BA，∴∠BD=CAD20，∵PA=B=P，∴∠AP=BAP∠AP=2°，∴∠BC=ABP∠BC+CP=2°+4°+0°80．【点本考了平线和段直分的本作等三形三合一性、三角的角质线的垂平线性，练掌线的直分的性．3（北•7）如，在正形CD中，E是边B上一动点不与点A，B重合连接E点A关于线E的对称为F连接F并长交C于点G连接G，过点E作HE交G的长于点H，连接H．（1求：FC；（2用式示段H与E数量系并明．CDGHAEB【解（）明连接F．∵A，F关于E对称．∴CDGHAEB【解（）明连接F．∵A，F关于E对称．∴DD．EE．在△E和△E中．DDCDEEEEG∴△E≌△E∴EE．∵四形CD是正形∴AC9．DCD∴EA9∴G18E9∴GC∵DF．DCD∴FCD在Rt△CG和Rt△G．CFHAEBGG∴Rt△CG≌Rt△