微专题8　电磁感应中的能量和动量问题

微专题8电磁感应中的能量和动量问题「定位·学习目标」1.通过对导体棒切割磁感线和线框进出磁场中的能量问题的分析,学会用动能定理和能量守恒定律解决电磁感应过程中有关能量的问题,培养科学思维核心素养。2.通过对电磁感应中动量问题的分析,学会用动量定理分析解决电磁感应中有关导体棒的位移、电荷量的问题和用动量守恒定律解决等长双棒有关问题,培养科学思维核心素养。突破·关键能力「要点归纳」1.能量转化的过程分析电磁感应的实质是不同形式能量的转化过程,而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能),克服安培力做功,则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。要点一电磁感应中的能量问题2.焦耳热的计算(1)感应电流恒定时,根据焦耳定律求解,即Q=I2Rt。(2)感应电流变化时,可用以下方法分析:①利用动能定理,求出克服安培力做的功W克安,即Q=W克安。②利用能量守恒定律,焦耳热等于其他形式能量的减少量。(3)导体棒克服安培力做的功等于整个电路产生的焦耳热Q。导体棒与定值电阻串联,产生的焦耳热与电阻成正比。[例1](水平面上的能量问题)如图所示,MN、PQ是固定在水平桌面上相距L=1.0m的光滑足够长平行金属导轨,M、P两点间接有R=3Ω的定值电阻,导轨电阻不计。质量为m=0.1kg、阻值为r=2Ω的导体棒ab垂直于导轨放置,并与导轨接触良好。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=1T,开始时棒处于静止状态,在恒定拉力F的作用下开始运动,经过x0=2m后,以v=5m/s的速度做匀速运动。求:「典例研习」(1)棒匀速运动时电路中的电流大小和方向;答案:(1)1A方向为b→a解析:(1)导体棒中的感应电动势E=BLv,回路中电流I=,解得I=1A,由右手定则知电流方向为b→a。(2)拉力F的大小;答案:(2)1N

解析:(2)棒匀速运动,有F=F安,导体棒所受安培力F安=BIL,解得F=1N。(3)棒经过x0=2m过程中,电阻R产生的焦耳热。答案:(3)0.45J[例2](竖直面上的能量问题)磁悬浮电梯是基于电磁原理和磁力驱动使电梯悬浮和运行的,从而实现高效、安全和舒适的电梯运输。某种磁悬浮电梯通过空间周期性磁场的运动而获得推进动力,其简化原理如图所示:在竖直面上相距为b的两根绝缘平行直导轨间,有等距离分布的、方向相反的匀强磁场,磁场方向垂直于导轨平面,磁感应强度大小均为B,每个磁场分布区间的长度都是a,相间排列。当这些磁场在竖直方向分别以速度v1、v2、v3向上匀速平动时,跨在两导轨间的宽为b、长为a的金属框MNPQ(固定在电梯轿厢上)在安培力作用下分别会悬停、向上运动、向下运动,金属框的总电阻为R。为最大限度减少电磁对人体及环境的影响,利用屏蔽材料过滤多余的磁感线,使得磁场只能作用在金属框所在区域。假设电梯负载不变(质量未知),忽略电梯运行时的其他阻力、金属框的电感,重力加速度为g。(1)求电梯悬停时,金属框中的电流大小I1;解析:(1)磁场以v1匀速运动时金属框处于静止状态,(2)求金属框、电梯轿厢及电梯负载的总质量M;解析:(2)由平衡关系得2BI1b=Mg,(3)求轿厢向上能达到的最大速度大小v上;解析:(3)当磁场以v2运动时,金属框向上运动,当金属框的加速度为零时,轿厢向上能达到最大速度,有答案:(3)v2-v1

解得v上=v2-v1。(4)在电梯悬停、向上匀速运动、向下匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量分别为E1、E2、E3,求E1∶E2∶E3。解析:(4)电梯悬停时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热,答案:(4)v1∶v2∶v3电梯向上匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热与重力势能增加量之和,即同理,电梯向下匀速运动的速度为v下=v1-v3,电梯向下匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热与重力势能减少量之差,即则E1∶E2∶E3=v1∶v2∶v3。[例3](斜面上的能量问题)如图所示,两根光滑金属导轨ABD和ACE固定在倾角为θ的绝缘斜面上,导轨关于中轴线AO对称,导轨BAC部分单位长度的电阻为k,整个空间存在着方向垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、阻值不计的导体棒在沿斜面向上的力F的作用下以一定的速度v0从A点开始匀速下滑。已知导体棒始终垂直于AO且与导轨接触良好,AB=AC=L,∠A=60°,导轨BD和CE的电阻均不计,且均与AO平行,求导体棒从A点运动至BC位置的过程中,回路中产生的焦耳热。解析:设导体棒从A点运动任意一小段位移大小为x,则导体棒接入回路的长度L′=2xtan30°,故导体棒从A点运动至BC位置的过程中,感应电流并不随时间变化,安培力F安=BIL′会随位移均匀增大,平均作用力「要点归纳」1.在单导体棒切割磁感线做非匀变速运动时,若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题,可运用动量定理求解。导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时:要点二电磁感应中的动量问题磁通量变化量为ΔΦ=BΔS=BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合力,则I安=mv2-mv1。当题目涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。2.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力为系统内力,如果两安培力等大反向,且它们受到的外力的合力为零,则满足动量守恒条件,运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析。(1)动力学观点:通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,最终两金属棒以共同的速度匀速运动。(2)动量观点:如果光滑导轨间距恒定,则两个金属棒的安培力大小相等,通常情况下系统的动量守恒。(3)能量观点:其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。[例4](单棒模型中动量定理的应用)如图所示,宽度L=1m的足够长的U形金属框架水平放置并固定,框架处在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度B=1T,U形框架两平行导轨上放一根质量为m=0.2kg、接入导轨间电阻R=1.0Ω的金属棒ab,棒ab与导轨间的动摩擦因数μ=0.5。现用大小变化的牵引力F使棒从静止开始运动,当金属棒ab的电阻R产生的热量Q=5.8J时获得稳定速度,此时牵引力的大小为F=3N,此过程中通过金属棒ab的电荷量q=2.8C,框架电阻不计,重力加速度g取

10m/s2,在金属棒ab从静止开始运动到刚好达到稳定速度这一过程中:「典例研习」(1)求棒ab稳定速度大小v;答案:(1)2m/s解析:(1)棒稳定时,受到的安培力为FA=BIL,根据平衡条件可知F=FA+μmg,根据法拉第电磁感应定律有E=BLv,根据闭合电路欧姆定律有I=,代入数据解得v=2m/s。(2)若牵引力的功率恒为P=6W,求棒ab经历这个过程的时间t;答案:(2)1.5s解析:(2)设此过程中金属棒ab的位移为x,根据功能关系有(3)求牵引力F的冲量大小IF。解析:(3)设该过程安培力的冲量为I安,则有答案:(3)4.7N·s规定向右为正方向,根据动量定理有IF-I安-μmgt=mv,解得IF=4.7N·s。[例5](导体框模型中动量定理的应用)如图所示,空间存在有水平边界、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场边界上方l处有一个质量为m、电阻为R、边长为l的正方形线框,将线框由静止释放,从线框下边框进磁场经时间Δt后,线框上边框进磁场,不计空气阻力,重力加速度为g。求:(1)线框下边框进入磁场时的速度大小v1;解析:(1)线框下边框进磁场前自由下落,有(2)线框上边框进入磁场时的速度大小v2。[例6](双棒模型中动量守恒定律的应用)如图所示,两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上,左端向上弯曲,导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B。导体棒a和b的质量分别为m和2m,接入电路的电阻分别为Ra=2R,Rb=R;b棒放置在水平导轨上足够远处,a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直,重力加速度为g。求:(1)最终稳定时两棒的速度大小;(2)从a棒开始下落到最终稳定的过程中,b棒上产生的焦耳热;(3)全过程通过a棒的电荷量。检测·学习效果12341.(多选)如图所示,两根光滑的金属导轨平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上,导轨的左端接有电阻R,导轨自身的电阻可忽略不计。斜面处在一匀强磁场中,磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑,且上升的高度为h,重力加速度为g。在这一过程中(

)A.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零B.作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和C.恒力F与安培力的合力所做的功等于零D.恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热√√1234解析:金属棒匀速上滑的过程中,对金属棒受力分析可知,有三个力对金属棒做功,即恒力F做正功,重力做负功,安培力阻碍相对运动,沿导轨平面向下,做负功,匀速运动时,金属棒所受合力为零,故合力做功为零,A正确,B错误;克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能,电能又等于电阻R上产生的焦耳热,故恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热,C错误,D正确。2.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨,导轨间距为L且电阻不计,质量为m、接入电路电阻为R的金属杆ab与导轨垂直且始终与导轨接触良好,开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落时间t1后闭合开关S,再经一段时间t2后匀速下落。不计空气阻力,重力加速度为g,在金属杆运动t1+t2时间内,下列说法正确的是(

)A.闭合开关后流过杆的感应电流方向为从b到aB.闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动C.杆所受安培力的冲量大小为mg(t1+t2)-D.杆下落的高度为1234√解析:根据右手定则,闭合开关后流过杆的感应电流方向为从a到b,故A错误;闭合开关时,杆的速度v1=gt1,12343.(多选)如图所示,倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上,两导体棒ab、cd垂直于导轨放置,空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动,已知两导体棒质量均为m,电阻相等,两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为