2025年高三数学期末巧夺天工卷二

2025年高三数学期末巧夺天工卷二考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学期末巧夺天工卷二

一、选择题

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

A.3

B.1

C.0

D.-1

2.若复数z=1+i，则|z|^2等于

A.1

B.2

C.3

D.4

3.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2等于

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_2=5，则a_5等于

A.8

B.10

C.12

D.15

6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是

A.1

B.√2

C.√3

D.2

7.若函数g(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a等于

A.3

B.2

C.1

D.0

8.圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为

A.15π

B.20π

C.25π

D.30π

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与b的夹角余弦值是

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

10.某校高三年级有1000名学生，随机抽取100名学生进行调查，其中85名学生的数学成绩优良，则估计该校高三年级数学成绩优良的学生比例是

A.85%

B.90%

C.95%

D.98%

11.函数f(x)=e^x-x在区间(-1,1)上的零点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

12.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点到准线的距离是

A.2

B.3

C.4

D.5

13.函数f(x)=log_2(x+1)在区间(0,1)上的值域是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.(1,3)

14.已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值是

A.3/4

B.4/5

C.1/2

D.5/4

15.函数f(x)=x^4-4x^2+3的极值点是

A.x=-2,x=2

B.x=-1,x=1

C.x=0

D.无极值点

二、填空题

16.函数f(x)=sin(x)cos(x)在区间[0,π/2]上的最大值是_______.

17.已知复数z=2+3i，则z^2的虚部是_______.

18.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法有_______种.

19.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则b+c的值是_______.

20.圆柱的底面半径为2，高为3，则其体积是_______.

21.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，则向量a+b的模长是_______.

22.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的积分值是_______.

23.若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，公比为q，且S_3=7，S_6=63，则q等于_______.

24.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2,π/2)上的值域是_______.

25.已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，则其面积是_______.

三、多选题

26.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=1/x

C.f(x)=e^x

D.f(x)=log_3(x)

27.下列命题中，正确的是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b，则|a|>|b|

28.下列函数中，在区间[-π,π]上是以2π为周期的函数是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=cot(x)

29.下列不等式中，成立的是

A.e^2>2^e

B.2^3>3^2

C.log_2(3)>log_3(2)

D.sin(π/3)>cos(π/4)

30.下列命题中，正确的是

A.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0

B.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)不存在

C.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f''(a)>0

D.若函数f(x)在x=a处取得极值，则f''(a)<0

四、判断题

31.函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的平均值是1.

32.若复数z满足z^2=-1，则z一定是纯虚数.

33.从n个不同元素中取出m个元素的组合数记作C(n,m)，则C(n,m)=C(n,n-m).

34.若函数f(x)在x=a处取得极大值，则f'(a)=0.

35.圆x^2+y^2=1的面积是π.

36.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数.

37.若向量a与向量b共线，则必有|a|=|b|.

38.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上必有零点.

39.椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点在x轴上.

40.函数f(x)=e^x在定义域内处处单调递增.

五、问答题

41.已知函数f(x)=x^3-ax+1，若f(x)在x=1处取得极值，求a的值并判断该极值是极大值还是极小值.

42.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品成本增加5元，售价为每件10元.若销售量x件时，利润为L(x)元，求利润函数L(x)的表达式，并求该工厂至少销售多少件产品才能盈利.

43.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，求圆C的圆心和半径，并写出圆C的标准方程.

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段讨论：

当x≤-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；

当-2<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；

当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。

最小值出现在x=1时，f(1)=3。

2.B

解析：|z|^2=|1+i|^2=(1+i)(1-i)=1^2+1^2=2。

3.A

解析：抛掷两个骰子，总共有36种可能的组合。点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。概率为6/36=1/6。

4.A

解析：直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则距离公式d=|b|/√(k^2+1)=1，即k^2+b^2=1^2=1。

5.C

解析：等差数列{a_n}的公差d=a_2-a_1=5-2=3。a_5=a_1+4d=2+4×3=14。这里原答案有误，正确答案应为14。

6.B

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。最大值为√2。

7.B

解析：g'(x)=3x^2-a。令g'(1)=0，得3-a=0，即a=3。需要验证g''(1)=6x|_{x=1}=6>0，所以是极小值。

8.A

解析：侧面积S=πrl=π×3×5=15π。

9.B

解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=3-8/√5×√25=-5/5=1/5。

10.A

解析：85/100=0.85，即85%。

11.B

解析：f'(-1)=e^-1-1<0，f'(1)=e^1-1>0。f(x)在(-1,1)上单调递增，且f(-1)=e^-1-(-1)>0，f(1)=e^1-1<0。由介值定理，零点唯一。

12.B

解析：c=√(a^2-b^2)=√(9-4)=√5。焦点到准线的距离为a^2/c=9/√5=3√5/5。这里原答案有误，正确答案应为3√5/5。

13.B

解析：x+1∈(1,2)。log_2(x+1)∈(log_2(1),log_2(2))=(0,1)。

14.C

解析：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4+25-9)/(2×4×5)=20/40=1/2。

15.B

解析：f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)。令f'(x)=0，得x=-√2,0,√2。f(-√2)=15，f(√2)=15，f(0)=3。极值点为x=-√2,√2。

二、填空题

16.√2/2

解析：f(x)=sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)。在[0,π/2]上，2x∈[0,π]。sin(2x)最大值为1，当2x=π/2，即x=π/4时取得。最大值为√2/2。

17.9

解析：z^2=(2+3i)^2=4+12i+9i^2=4+12i-9=-5+12i。虚部为12。

18.40

解析：至少有1名女生，可分为1名女生2名男生和2名女生1名男生两种情况。C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)=4×10+6×5=40+30=70。这里原答案有误，正确答案应为70。

19.0

解析：f'(x)=2ax+b。f'(1)=2a+b=0，得b=-2a。f(0)=c=1。b+c=-2a+1。需要a的值。f''(x)=2a。极小值处f''(x)>0，即2a>0，a>0。所以b+c=-2a+1<1。这里原答案有误，无法确定具体值。

20.12π

解析：V=πr^2h=π×2^2×3=12π。

21.√2

解析：|a+b|=|(1,0)+(0,1)|=|(1,1)|=√(1^2+1^2)=√2。

22.3

解析：∫[0,2]|x-1|dx=∫[0,1](1-x)dx+∫[1,2](x-1)dx=[(x-x^2/2)|_0^1]+[(x^2/2-x)|_1^2]=(1-1/2-0)+(2^2/2-2-(1^2/2-1))=(1/2)+(2-2-1/2+1)=1/2+1/2=1。这里原答案有误，正确答案应为1。

23.3

解析：S_3=a(1-q^3)/(1-q)=7。S_6=a(1-q^6)/(1-q)=63。S_6/S_3=(1-q^6)/(1-q^3)=9。1+q^3=9。q^3=8。q=2。

24.R=(0,+∞)

解析：tan(x)在(-π/2,π/2)上单调递增，值域为(-∞,+∞)，但由于定义域限制，实际上输出值都在(0,+∞)范围内。

25.21√3/4

解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/(2×7×8)=88/112=11/14。sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(121/196))=√(75/196)=5√3/14。面积S=(1/2)bcsinA=(1/2)×7×8×(5√3/14)=20√3/4。

三、多选题

26.A,C,D

解析：f(x)=x^3在(0,+∞)上单调递增。f(x)=e^x在(0,+∞)上单调递增。f(x)=log_3(x)在(0,+∞)上单调递增。f(x)=1/x在(0,+∞)上单调递减。

27.C,D

解析：若a>b>0，则a^2>b^2。反之不一定，如a=-2,b=-1。若a>b，且a,b同号，则1/a<1/b。若a>b，且a,b异号，则1/a<1/b不一定，如a=1,b=-2。若a>b>0，则|a|>|b|。若a>b<0，则|a|<|b|。所以A,B,D错误，C正确。

28.A,B

解析：f(x)=sin(x)的周期是2π。f(x)=cos(x)的周期是2π。f(x)=tan(x)的周期是π。f(x)=cot(x)的周期是π。

29.B,C,D

解析：e^2≈7.389，2^e≈7.389，所以e^2≈2^e，e^2>2^e不一定成立。2^3=8，3^2=9，所以2^3<3^2。log_2(3)≈1.585，log_3(2)≈0.631，所以log_2(3)>log_3(2)。sin(π/3)=√3/2≈0.866，cos(π/4)=√2/2≈0.707，所以sin(π/3)>cos(π/4)。

30.A

解析：函数在某点取得极值，该点处导数可能为零，也可能导数不存在。若导数存在，则必为零。若导数不存在，不一定取得极值。极值点的二阶导数符号与极值类型有关，不是绝对判断条件。A正确，B,C,D错误。

四、判断题

31.错误

解析：平均值=(f(1)^2+f(-1)^2)/2=(1^2+(-1)^2)/2=(1+1)/2=1。这里原答案正确。

32.正确

解析：若z^2=-1，则z=±i。纯虚数的实部为零，±i的实部为零，所以是纯虚数。这里原答案正确。

33.正确

解析：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，C(n,n-m)=n!/((n-m)!(n-(n-m))!)=n!/((n-m)!(m)!)=C(n,m)。这里原答案正确。

34.错误

解析：若函数f(x)在x=a处取得极大值，则f'(a)=0或f'(a)不存在。这里只说了f'(a)=0，没有考虑不存在的情况。例如f(x)=-x^3在x=0处取得极大值，但f'(0)=0。更准确的表述是“若可导函数在x=a处取得极值，则f'(a)=0”。题目中未说明可导，所以错误。

35.正确

解析：圆的面积公式为S=πr^2。这里r=1，所以S=π×1^2=π。这里原答案正确。

36.错误

解析：等差数列{a_n}的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2=n(2a_1+(n-1)d)/2=(n/2)(2a_1+nd-d)=an+(n^2-n)d/2。当d≠0时，S_n是关于n的二次函数。当d=0时，S_n=na_1是关于n的一次函数。所以不一定是二次函数。这里原答案正确。

37.错误

解析：向量a与向量b共线，即存在实数k使得a=kb。|a|=|kb|=|k||b|。只有当k=±1时，才有|a|=|b|。这里原答案错误。

38.正确

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。零点满足√2sin(x+π/4)=0，即sin(x+π/4)=0。x