2026年江苏南通中学创新班自主招生数学试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026通中创新班选拔考试真题——数学一、选择题1．一组不完全相等的数据，，，……，其平均数为，则在数据，，，……，，中，方差、平均数、众数、中位数一定改变的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．42．已知，．则（

）A． B． C． D．3．一枚质地均匀的硬币连续抛4次，其中没有两次连续正面向上的概率为（

）A． B． C． D．4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（

）A．1035 B．369 C．365 D．755．如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知的三条中线长分别为6，8，10，则的面积为（

）A．48 B．36 C．32 D．287．如图，与轴交于点，，与轴交于点，，点在圆上，且，点为圆上一动点，为弦上一点，且．若点的坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．我们定义：若（其中为整数），我们把叫做离实数最近的整数，记作．设函数，则当时，函数的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题9．．10．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为．11．若正实数满足，则．12．已知实数，，满足，，且，则的值为．13．如图，在扇形中，点，在弧AB上，将弧CD沿弦折叠后恰好与，相切于点，．已知，，则折痕的长为．14．如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，交于点，若，，则的周长为．

15．如图，已知反比例函数的图象与直线交于，两点，若，，则的值为．16．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为．三、解答题17．解下列方程：(1)；(2)．18．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量yt与第一小队工作时间x天的函数图像如图所示．（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是天．19．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于B、C两点，且与轴交于点，与轴交于点．

(1)若，，求的值；(2)若，①求的值；②求的值．20．如图，在中，，，点，在边上，，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)若，求的长．21．如图，是的外接圆，AB为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交AB延长线于点P.（1）求证：PC是的切线；（2）若，，求的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分，交AB于点E，连接BF，且，求线段PE的长.22．在平面直角坐标系中，记二次函数的图象的顶点为，其图象上存在，两点，使得，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．已知函数（m为实数）．(1)当时，随着的增大而增大，点，都在该函数图象上，求的最大值；(2)若，“垂动点函数”图象的顶点为，点在“垂动点函数”的图象上，点的“垂动点”是点．①求证：直线过定点；②求的外接圆的圆心到直线的距离的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】本题考查了平均数、众数、中位数及方差．掌握求一组数据的平均数、众数、中位数、方差的方法，是解决本题的关键．原数据平均数为m，加入m后新平均数不变；方差因分母增大而一定减小；众数和中位数可能改变也可能不变，不一定改变．【详解】解：原数据平均数为m，新数据总和为，个数为．新平均数，不变．方差分析：原数据方差为．由题干“不完全相等的数据”可知，．新数据方差为因此，方差一定改变．中位数分析：如数据∶1，2，4，5的平均数，中位数为3．加入后，新数据为∶1，2，3，4，5，中位数仍为3．众数分析：如数据∶1，1，2，2，的平均数，众数为1和2．加入后，新数据为1，1，，2，2，众数仍为1和2．故选∶A．2．A【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，掌握相关知识点是解题的关键．根据，可得，即可求解．【详解】解：，．故选：A．3．C【分析】本题主要考查了列举法求解概率，当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上，据此讨论第三次抛的结果，进而确定第四次抛的结果；当第一次抛的结果是反面向上时，那么第二次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，据此讨论第二次抛的结果，进而确定第三次，第四次抛的结果；最后根据概率公式求解即可．【详解】解：∵一枚质地均匀的硬币连续抛4次，每次抛的结果都有两种，∴抛4次一共有种结果，当第一次抛的结果是正面向上时，那么第二次抛的结果一定是反面向上，若第三次抛的结果为正面向上时，则第四次抛的结果一定是反面向上，若第三次抛的结果为反面向上时，则第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，∴当第一次抛的结果是正面向上，一共有3种结果；当第一次抛的结果是反面向上时，若第二次抛的结果是反面向上时，则同理可知此时有3种结果；若第二次抛的结果为正面向上时，则第三次抛的结果一定是反面向上，那么第四次抛的结果可以是反面向上，也可以是正面向上，即此时一共有2种结果；综上所述，没有两次连续正面向上的结果数有种，∴没有两次连续正面向上的概率为，故选：C．4．B【分析】本题考查进位制的转换，解题的关键在于理解满七进一的计数规则．将结绳计数的结果转换为十进制数，进行求解即可．【详解】解：从右到左，第一位的权重是1，第二位的权重是，第三位的权重是，第四位的权重是，最右边第一位有5个结，其对应的数值为，第二位有个结，其对应的数值为，第三位有0个结，其对应的数值为0，第四位有个结，其对应的数值为，将每一位对应的数值相加，可得孩子自出生后的天数为．故选：B．5．D【分析】由平行四边形的性质可求，过点作于，可证，由直角三角形的性质可求，，则，可证，已知，则题目可解．即可求解．【详解】解：如图，过点作于，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．6．C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，先构造图形，的三条中线，，，三条中线交于点，连接，延长至，使，连接，由中位线得到，，求出，，，，，即可根据中点和等底等高得到，再证明，得到，即可得到，推得，求出，最后根据求解即可．【详解】解：如图，的三条中线，，，三条中线交于点，连接，延长至，使，连接，∴是的中位线，∴，，∴，∴，∴，，，，同理可得，，，∴，，，，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故选：C．7．B【分析】连接，过点作交于点，证明，利用相似比得到，，，因为，所以，则可求长度，然后根据三角形三边的关系得到（当且仅当点在上时取等号），从而得到的最小值．【详解】解：连接，过点作交于点，∵点的坐标为，，，，∵，，，的运动轨迹为以为圆心为半径的圆；连接，作轴，∵，∴，∴，∴，，∴，连接，∵，∴三点共线时，最小，最小值为：．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆的基本知识，直角三角形的性质，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．8．D【分析】本题主要考查了实数的混合运算、带字母的绝对值化简，根据定义，离实数最近的整数取决于所在区间，因此将按的取值分段，计算在各段的最大值，并比较得到整体最大值．【详解】解：，当时，，；当时，，，，，即；当时，，；当时，，；比较各段，的最大值为．9．【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，特殊角的三角函数值，开方运算，再进行负整数指数幂和去绝对值运算，最后进行加减运算即可．【详解】解：原式；故答案为：．10．<a<【分析】本题考查了根的判别式的应用，正确理解根的判别式和方程的解的关系是解题的关键．方程有两个不相等的实数根，需满足判别式大于零，列式计算即可．【详解】解：因为关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，解得：，故答案为：．11．【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解．【详解】解：，，，，为正实数，，．故答案为：．12．【分析】本题考查完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代入求值，把三个式子相加得到，即可求出a，b，c的值，然后代入计算即可．【详解】解：把三个式子相加得到，即，整理得，∴∴，∴，，，解得，，，∴，故答案为：．13．【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作关于的对称点，则连接交于∵将沿弦折叠∴点都在以为圆心，半径为6的圆上∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点．∴∴∵∴四边形MEOF中即的度数为；∵，∴（）∴∴∴∴∵∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．14．【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论．【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．

平分，，，，，，∵是的中点，∴设，则，，，∴，，设，则，，，，的周长，故答案为：．15．##【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算方法，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键．如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，先证明，根据面积法或相似三角形或三角函数求得，表示出，进而根据列出方程，由此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，作于点，与交于点，连接，设，，∴，，，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，同理可得，，∴，如图所示，作于点，∵，∴，，∵，∴，∴，设,∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合题意，舍去），∴，故答案为：．16．2031【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解．【详解】解：∵，解方程组得，，∵，为整数，∴和均可以被41整除，设（m为整数），则；我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数：∴；代入上式：；∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数．设（t为整数），即．把代入：，得．∵，∴，∴，∵为整数，∴，∴．故答案为：2031．17．(1),(2)，，【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握换元法和整体思想是解题关键．（1）设，换元后运用公式法解方程，之后再转化为x即可；（2）设，换元后将原方程转化为关于的一元二次方程，求出的值后，进一步解关于x的方程，检验后得出结果．【详解】（1）解：设，则原方程转化为：，其中，，，判别式，∴方程有两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，；（2）解：设，则，原方程转化为：，化简，得，因式分解，得，解得，，，当时，，化简，得，因式分解，得，解得，，；当时，，化简，得，解得，；经检验，，，都是原方程的解，∴方程的解为，，．18．（1）①y＝－30x＋360．②点F的坐标为（8，120）．点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t．（2）9．【分析】（1）①用待定系数法求解即可；②根据第一小队的工作效率求出第二小队再次开工后的工作效率，即可得到点F的纵坐标，代入①中解析式即可求出点F坐标，由题意可知点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t；（2）根据工作效率以及点F的纵坐标，求出不检修设备的情况下还需要多少天完成任务，相加即可.【详解】解：（1）解：①设AC的函数表达式为y＝kx＋b，将（12，0），（0，360）代入y＝kx＋b，可得，即y＝－30x＋360．②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t／天），第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t／天），调运物资为60×2＝120（t），即点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120．将y＝120代入y＝－30x＋360，可得x＝8，即点F的坐标为（8，120）．点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t．（2）∵第二小队工作5天后，仓库剩余的物资为120t，∴120÷30＝4（天），4+5=9（天），∴如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是9天．【点睛】本题考查了函数图像的识别以及一次函数的应用，根据函数图像得到必要信息是解题关键.19．(1)(2)①；②【分析】（1）由题意可知，一次函数，反比例函数，则点坐标可求，利用勾股定理可求长，则可求；（2）①因为，由（1）可知，；②可证，则，求出，联立和得，，所以，则得方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴一次函数，反比例函数，将代入，得，，将代入，得，联立，解得或，∴，，过作，根据勾股定理得：，，

，，∴；（2）解：①∵，由（1）可知，；②将代入，得，，联立和得：，

，，，，，若，则和仅有一个交点，舍去，∴，则，过作轴，过作轴，

在和中，，∴，，∵，，(经检验，满足原方程)，综上．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一元二次方程的解法，三角形的面积比，掌握相关知识是解决问题的关键．20．(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”证明，利用相似三角形的性质即可得到；（2）过点A作，交的延长线于点G．证明和，推出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可证明结论成立；（3）由，可设，则，利用相似三角形的判定和性质求得，过点A作于点H，则，设，在中，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴．∵，∴，∵，∴，∴=，∴；（2）证明：如图，过点A作，交的延长线于点G．则，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵，∴．由，可设，则，，，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，如图，过点A作于点H，则，设，则，在中，，解得（舍去）或，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．21．：（1）详见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接OC，根据平行线的判定可得，从而得出，然后根据切线的判定定理即可证出PC是的切线；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等相等可得，然后根据锐角三角函数可得，，根据勾股定理可得：，结合已知条件即可求出BC，从而求出AB，即可求出圆的半径；（3）连接AF，OC，过C作，根据等腰三角形的判定及性质即可求出AB=10，从而求出BC、OC和AC，利用锐角三角函数即可求出CF，再根据相似三角形的判定及性质可求出EF和CE，从而求出CG、OG，根据射影定理可求出OP，然后根据勾股定理可求出EG，从而求出OE的长，即可求出线段PE的长.【详解】解析：（1）如图，连接OC∵，∴∴∴即PC为的切线；（2）∵AB为直径∴∠ACB=90°∵∠BCP＋∠ACD=180°－∠ACB=90°∵∠DAC＋∠ACD=90°∴∴则，根据勾股定理：∴又∵∴，解得：，∴，∴半径为（3）如图，连接AF，OC，过C作∵，∴∴又∵∴为等腰直角三角形∵∴，∴，，如下图，在中过B作∵∴又∵，，∴，∴又∵，∴∴∴即中，，解得：CG=4则在中，，，根据勾股定理可得：OG=由射影定理，∴又∵，∴，且∴∴【点睛】此题考查的是圆的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握圆的性质定理、切线的判定定理、用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形、相似三角形的判定定理及性质定理是解决此题的关键.22．(1)(2)①见解析．【分析】本题是关于二次函数的综合压轴题，涉及函数性质、几何图形（直角三角形、外接圆）、定点问题以及点到直线的距离等知识点。（1）根据抛物线解析式的对称轴和点，是关于抛物线对称轴的对称，由此得出，进而求出，再根据当时，随着的增大而增大，确定，把点代入函数解析式可得，由此求出，取得最大值.（2）①根据已知求出抛物线解析式，再