数学试卷+答案重庆市复旦中学教共体2025-2026学年高二上学期12月定时作业暨月考（12.26-12.27）

重庆复旦中学教共体2025～2025学年度上期高二定时作业检测天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线y=tan2()9的倾斜角为()2.已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为()A.(0,3)B.(0,-3)C.(4,0)D.(-4,0)3.方程表示的轨迹图形是()A.抛物线B.半个圆C.半个椭圆D.双曲线的—⽀4.已知圆M—只蚂蚁从点pl-2,2)出发，爬到X轴后又爬到圆M上，则它爬5.已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是专，则点1的A.B.7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，E是中点，AE=3、后，AB=5，AD=3，,LDAB=90'，则dA,的长为()8.如图：r.，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线c的左右两支分别交于M，N两点，且丽=3可，则双曲线的离心率为()二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下面说法正确的是()A.双曲线的渐近线方程为B.点p在离心率为的椭圆上—点，r.、r.是椭圆c的焦点，则的最大值为60eC.已知实数、满足，则的最小值为D.直线到点(I,-1)的距离是，到点(-2,3)的距离是4，这样的直线有3条10.直线l:,y=ko+l(keR)过抛物线c:x'=2pylp>0)的焦点F，若点0为坐标原点，与c交于B.u01a重心纵坐标的最小值为C.以线段AB为直径的圆被X轴截得的弦长最小值为25D.若直线交准线于点D，且，则．11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,CD中，E，F分别为棱B,C，的中点，G为线段A.三棱锥F-EGB1体积为定值B.存点G，使平面EFG1l平面dcD1C.设直线与平面所成角为，则sin8最大值为D.平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面的面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(l,2,3)，则点A到平面u的距离为___________．13.设A,B是双曲线上的两点，且线段AB的中点是M(1,4)，则直线AB的斜率为______．14.已知椭圆的左右焦点分别为、r.，过r.作直线交椭圆C于、B两点，其中点B在x轴下方，内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线l:2x-y-3=0,LY:3x+2y-8=0．（2）求经过直线与ly的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．16.已知直线与直线l:x-3y+l=0相交于点c，以c为圆心的圆过点A(0,1).17.在三棱柱ABC-ABC中，四边形ACCA是菱形，M是AC的中点，平面ACG4L平面ABC，.lBC，求二面角A-AB-C的正弦值．18.已知—动圆与直线相切且过定点.（2）A、B是C的轨迹上异于原点0的两点；（i）若，求AOB面积最小值；定点坐标；若不是，说明理由.19.已知椭圆左，右焦点分别为r.，，离心率为，经过点且倾斜角为直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方的周长为.（2）如图，将平面xoy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF,F:）与y轴负半轴和①若，求三棱锥的体积；②是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求tan8的值；若不存在，请说明理由.重庆复旦中学教共体2025～2025学年度上期高二定时作业检测天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱．本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线y=tan2()9的倾斜角为()【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】y=tan2)'，由于tan2('为常数，则直线y=tan2)'的倾斜角为90°.故选：C2.已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为()A.(0,3)B.(0,-3)C.(4,0)D.(-4,0)【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，【详解】由题已知点p(-1,2)到抛物线：x'=2py(p>0)的准线的距离为5,则抛物线准线方程为y=-3，故选：A．3.方程表示的轨迹图形是()A.抛物线B.半个圆C.半个椭圆D.双曲线的—⽀【分析】先对给定方程进行变形，然后根据变形后的方程与常见曲线的标准方程的关系来判断其表示的轨迹图形即可.·方程表示的轨迹图形是双曲线的—支.故选：D.4.已知圆M—只蚂蚁从点pl-2,2)出发，爬到X轴后又爬到圆M上，则它爬【分析】根据“将军饮马”模型，求得对称点，利用两点距离公式结【详解】如图，设爬到X轴上的点E，再到圆M上点F处，要求它爬行的最短路程，即求的最小值，圆心M(1,2)，半径r=2，设点P(-2,2)关于X轴的对称点为P,则P坐标为(-2,-2，且[PEl=IPEl，又点P'-2,-2)到圆M上点的最短距离（当P',F,M三点共线时取等号所以(IPE+IEFl。,=3,即该蚂蚁爬行的最短路程为3．故选：C．5.已知直线与圆相交于A，B两点，且为等边三角形，则【分析】根据已知，只需保证圆心到直线距离为，应用点线距离公式列方程求参数值.【详解】由题设，如下图示，圆心C(1,-2)，半径，要使ABC为等边三角形，则圆心到直线的距离为，故选：A的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是专，则点1的A.B.【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得.·设M(X,Y)，因为A(-2,0),B(2,0)，所以，故选：B．7.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，E是CC的中点，AE=3、后，AB=$，AD=3，LBAA=LDAA=60"，LDAB=90'，则AA的长为(),接着解方程即可．【详解】在平行六面体ABCD-AB,CD中，设AA=a，因为AE=3、后，AB=$，AD=3，LDAB=90，LB44=LD4A=60"，E是CG的中点，,所以，，，，，,,所以，解得a=4或u=-20（舍去所以的长为4．故选：D．8.如图：r.，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线c的左右两支分别交于M，N两点，且丽=3可，则双曲线的离心率为()【分析】设圆的半径为R，由条件结合双曲线的定义证明R=3a，结合双曲线定义及余弦定理列方程确定a,c关系，由此可得结论.因为丽=3丽，所以，由双曲线定义可得，所以R=3a，故lFMI=a，MF=3a，EN=3a，FN=3a+2a=sa，在surr中，由余弦定理可得，在,rLMFF+LNFF=，所以COSLMF凡+COSLNFF=0，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下面说法正确的是()A.双曲线的渐近线方程为B.点p在离心率为的椭圆上—点，r.、r.是椭圆c的焦点，则的最大值为60eC.已知实数、满足，则的最小值为D.直线到点(I,-1)的距离是，到点(-2,3)的距离是4，这样的直线有3条【分析】对A，由双曲线方程求出渐近线判断；对B，由题可得a=2C，当点P为短轴顶点时，LFPF最大，运算得解；对C，由题点(x,y)在圆上，表示点到原点ouo的斜率，数形结合求解判断；对D，根据题意直线是以点(1,-1)为圆心，1为半径的圆的切线，也是以点(-2,3)为圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线，判断两圆位置关系得解.当点为短轴顶点时，最大，此时，所以为正三角形，所以LFPR=60"，故B正确；在圆上，表示点到原点ouo的斜率，，，在Rt达0FE中，易得LEOF=30"，所以切线or的斜率，由对称性知另—条切线的斜率为,所以的取值范围为，故C错误；对于D，由直线到点(1,-I)的距离同理，直线是以点(-2,3)为圆心，4为半径的圆的切线，即直线是两圆的公切线.又两圆的圆心距，故两圆外切，所以两圆的公切线只有3条，即直线有3条，故D正确.故选：BD.10.直线l:,y=ko+l(keR)过抛物线c:x'=2pylp>0)的焦点F，若点0为坐标原点，与c交于A,B两点，则()B.u01a重心纵坐标的最小值为C.以线段AB为直径的圆被X轴截得的弦长最小值为25D.若直线交准线于点D，且，则．根据重心坐标公式即可求解；对C，求出AB为直径的圆的方程，令Y=0，得，即可根据弦长公式求解；对D，根据向量的坐标关系，结合韦达定理，即可根据弦长公式求解．【详解】对于A，由于直线l:y=k+I(keR)恒过定点(0,1)，即抛物线焦点为F(0,1，对于B，由p=2可得c:x2=4y,设，，，所以uoun重心的纵坐标为，当且仅当K=I等号成立，故B正确；,所以线段为直径的圆的方程为，设该圆与轴的交点为，令y=0，则，故，当且仅当k=0时等号成立，故C正确；对于D，设nl's,-l，由可得，,故选：BCD.A.三棱锥体积为定值C.设直线与平面所成角为，则最大值为D.平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面的面积为【分析】选项A，等体积变换可得，可判断；选,根据空间向量由面面平行可得，可判断；选项C，根据空间向量法表示线面角，可得，进而可得；选项D：先作出平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面，根据线面关系可得截面的面积．，，对于选项B，如图建立空间直角坐标系，,设平面dcDi的法向量为7=(x,JY,3)，则，令，则，则7=(1,1,1)，因为D网=(6,0,6)，设(0S入S1)，故G(6A,0,62)，，对于选项C，易知平面的法向量为DC=(0,6,0)，所以，所以sin8有最大值为，故C正确；对于选项D，如图，直线EF分别交CB,CG的延长线于点Q,P，连接DP交C,D于G，连接交AB于，连接GE,HF，由题意可知五边形DHFEG即为平面DEF截正方体ABCD-AB,CD所得截面，由正方体性质可知，S.rcz=srgr，故所求截面面积为，由选项C可知，P(0,6,9)，G(0,4,6)，故死=(0,-2,-3)，死=(3,0,-3)，，，,故所求截面面积为，故D正确，故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面a的—个法向量为i-(l,2,3)，则点A到平面的距离为___________．【分析】根据条件，利用点面距的向量法，即可又由题知研=(1,2,3)，故答案为：.13.设A,B是双曲线上的两点，且线段AB的中点是M(1,4)，则直线AB的斜率为______．【分析】设A(x,y)B(x,,2)，通过点差法即可求解；【详解】设A(X,Y),B(X3,)，则AB的中点:as在双曲线上两式相减得，此时B:y-4=x-l，即，联立方程，消去y得，此时△=(-6)2+4x3x13>0，故直线AB与双曲线有两个交点.故答案为：114.已知椭圆的左右焦点分别为、r.，过r.作直线交椭圆C于、B两点，其中点B在x轴下方，内切圆交边AB于点N，则线段AN的长度取值范围为______.【分析】根据内切圆的有关性质知结合椭圆的定义可推出，注意到点B在x下方，所以，.又因为在椭圆中，,所以，而1SBFRS3等号取不到）因此.故答案：(1,3).四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线l:2x-y-3=0,l2:3x+2y-8=0．（2）或x-y-I=0【分析】（1）根据直线垂直关系求出直线的斜率，代入经过的点坐标求解；（2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线方程．设直线方程为，根据垂直关系得，:，又直线经过点A(2,5)，所求直线方程为，整理得2x-3y+Il=I．联立直线解得，当直线经过坐标原点时，满足题意，设直线方程为y=kx，当直线的截距都不为0时，设直线方程为，，此时直线方程为x-y-l=0，所求直线方程为x-2y=0)或x-y-I=0．16.已知直线与直线l2:x-3y+l=0相交于点c，以c为圆心的圆过点A(0,1).（2）求过点814,51的圆C的切线方程.（2）x=4，3x-4y+=l进而可得.由题意圆c的半径为Aci=2，当切线的斜率不存在时，方程为x=4，与圆相切，符合题意.当切线的斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为：y-5=k(x-4)，即kx-y-4t+5=I，两边分别平方得，得，故切线方程为，即，综上过点B(4,5)的圆C的切线方程为X-4，.17.在三棱柱ABC-ABC中，四边形ACGA是菱形，M是AC的中点，平面ACGAL平面ABC，.lBC，求二面角A-AB-C的正弦值．【分析】（1）推导出AMLAC，利用面面垂直的性质可得出A,ML面ABC，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）推导出BM上AC，以点M为坐标原点，MA、MB、MA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角A-AB-C的正弦值．在中，由A4=AC，M是AC的中点，所以AM上AC，又平面A4CCL平面ABC，平面d,C,CTl平面ABC=AC，AMC面A4CC，所以AM上面ABC，连接B.M，在ABC中，由AB=BC，M是AC的中点，所以BM上AC，又A,ML面ABC，BM、ACC平面ABC，所以，AM山BM，AMLAC，在直角三角形AA,M中，AC=AA,=2，AM=MC=1，,以点M为坐标原点，MA、MB、MA,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，所以、A1,0,0)、B(0,1,0)、CI-1,0,0)，·设平面AAB的—个法向量7=(X,Y,3)，，，则，取i=l，可得，设平面ABC的—个法向量为，B=(1,1,0)，则，取-所以因此，二面角A-AB-C的正弦值为.18.已知—动圆与直线相切且过定点.（2）A、B是C的轨迹上异于原点0的两点；（i）若，求AOB面积最小值；定点坐标；若不是，说明理由.（2i）设AB:x=ny+n，A(x,y),而有直线AB:x=ny+3恒过点(3,0)，根据求最小值；及差角正切公式得，代入直线整理求定点即可；法二：设直线的方程为：y=kx+b，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据两角和的正切公式再代入韦达定理式即可得到,则得其所过定点.设，由题意有，则y=6x；（i）设，A(x,y),B(x,,y2)，联立抛物线有y2-6my-6n=0，由页·形=x,x,+yy,=n2-6n=-9，可得n=3，即AB:x=ny+3，所以直线AB:x=ny+3恒过点(3,0)，则所以AOB面积最小值为9JE；,所以，所以直线AB过定点(-6,-2、F).法二：由题，AB斜率必存在，设直线AB的方程为：y=kx+b，联立y=6x，消x有：ky2-6y+6b=0,A=36-24kb>0，,,,代入韦达定理式得，直线AB的方程为：y=k(x