安徽省安庆市部分学校2025-2026学年高二上学期12月教学质量数学检测试卷 附答案

/安徽省安庆市部分学校2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷一、单选题1．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（

）A．11 B．13 C．15 D．172．若直线始终平分圆的周长，则的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（

）A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m4．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（

）A． B． C． D．5．入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（

）A． B．C． D．6．已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．当变动时，动直线与定圆相切，则圆的面积为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米10．下列给出的命题中正确的有（）A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底B．点P为平面ABC上的一点，点O是平面ABC外一点，且，则C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线D．已知，则在上的投影向量为11．伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（

）A．若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则B．双纽线C上满足的点有1个C．的面积的最大值为D．的周长的取值范围为三、填空题12．用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有个．（用数字作答）13．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为．14．阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体中，点是BC的中点，点是正方体表面上一动点（包括边界），且满足，则三棱锥体积的最大值为．四、解答题15．已知两条直线．（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求．16．已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程．17．已知椭圆的离心率为，长轴的长为8．（1）求椭圆的方程；（2），分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积．18．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距．（1）求的方程；（2）双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且．（i）求证：直线过定点；（ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系．

参考答案1．【答案】B【详解】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况，若脱落2个，则有共6种情况，若脱落3个，则有共4种情况，若脱落4个，则有共1种情况，由分类加法计数原理，情况种数共有种．故选B．2．【答案】D【详解】由圆，即，则圆心为，由题意知，圆心在直线上，则，即.故选D．3．【答案】A【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，接收天线的口径（直径）为，深度为，，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程，可得解得，∴抛物线的方程为，焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m．故选A．4．【答案】C【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为，所以所以.故选C.5．【答案】C【详解】因为关于y轴的对称点，所以直线因此入射光线l所在直线的方程为，故选C．6．【答案】B【详解】因为，可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），即圆心为，半径的圆，且圆：的圆心为，半径，由题意可知：圆与圆有公共点，则，即，且，解得，所以实数的取值范围是.故选B.7．【答案】C【详解】直线，即，，当变动时，点到直线的距离为常数，因此动直线与圆相切，由动直线与定圆相切，得圆的圆心为，半径，所以圆的面积为.故选C8．【答案】C【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，由椭圆的定义可得，，所以的周长为，又，所以，当且仅当在线段上时取等号，所以当直线过点时，的周长最大，又直线的斜率为，所以直线的方程为，联立，消可得，所以或，所以，所以当的周长最大时，，故选C.

9．【答案】CD【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则解得,所以，故椭圆的短轴长为千米，A错误，B错误；，故C正确，D正确,故选CD.10．【答案】AB【详解】对于A，设，展开：，由于线性无关，得方程组：，解得，因此它们线性无关，仍是基底，A正确；对于B，由，点在平面ABC上，得，解得，B正确；对于C，由，得，则或，C错误；对于D，，所以在上的投影向量为，D错误.故选AB11．【答案】ABC【详解】对于A，由双纽线的定义得：，即，化简得：，当时，点P的轨迹方程为，令，解得或，所以，A正确；对于B，，由，得点P在y轴上，在方程中，令，解得，则满足的点P为，只有一个，B正确；对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，的周长为，设，则，当且仅当时取等号，当时，，而点P不能在x轴上，则，于是即，则，，因此的周长的取值范围为，D错误．故选ABC12．【答案】60【详解】若四位数中没有1，共有个，若四位数中有1个1，共有个，若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法，其余两位各有2种选择（2或3），故共有个.因此共有60个．13．【答案】【详解】设双曲线的焦距为，由双曲线的方程可得：，解得：，所以双曲线的焦点坐标为：，因为抛物线的准线方程为：，且，所以，故双曲线的焦点在抛物线的准线上，由题意可得，解得：，所以抛物线的方程为：.14．【答案】【详解】解：在棱长为的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，，，即，在平面中作，设，，，化简得，，所以当时，取得最大值为，所以，在正方体中平面，又，三棱锥的体积最大值．15．【答案】（1）见详解，（2）或．【详解】（1）由直线变形得：，对任意实数，当，即时，恒有，所以直线过定点，该定点的坐标为.（2）由，不重合，且垂直于同一条直线，得，因此，解得或，当时，，则；当，即，，则，所以等于或．16．【答案】（1）（2）或．【详解】（1）设圆心为，依题意，所以解得（满足）．故圆的标准方程为．（2）由的长度为，则，①若l斜率不存在，则，代入圆C得解得或，满足．②若l斜率存在，设斜率为k，则直线，即，由圆心C到直线l的距离为，即，所以所以．综上，所求直线方程为或．17．【答案】（1）（2）【详解】（1）设椭圆的焦距为，则的离心率为，又长轴的长为8，即，则，，，所以椭圆的方程为．（2），设，，又，则为锐角，且，在中，，即，即①，又，即②，由①②解得，，所以的面积为．

18．【答案】（1）见详解（2）（3）存在，或【详解】（1）因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为.此时的长度为或.19．【答案】（1）（2）（i）见详解；（ii），见详解【详解】（1）设双曲线的焦距为