安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（

）A． B． C． D．2．若首项为2的数列满足，则（

）A． B． C． D．13．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．4．在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（

）A． B．C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知数列满足，且，则（

）A．60 B．62 C．64 D．667．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列的前项和为，若，则（

）A．是等差数列 B．不是等差数列C．是等差数列 D．不是等差数列10．已知动点满足，则（

）A．点的轨迹长度为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（

）A．直线的斜率为 B．点到轴的距离为6C．的面积为 D．直线的倾斜角为或三、填空题12．已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为．13．在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为．14．已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为.四、解答题15．已知等差数列的前项和为，其中，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求满足条件的的值构成的集合.16．已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称.（1）若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积；（2）若直线的方程为，求的值.17．已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为.（1）求圆、的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围.18．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.

（1）求证：为线段的中点；（2）已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点.（i）求证：；（为坐标原点）（ii）求的最小值，并求出此时，的方程.

参考答案1．【答案】A【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线，因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误.故选A.2．【答案】B【详解】因为，.当，当，当.故选B.3．【答案】C【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为，直线过点且斜率为，则直线，则原点到直线的距离为.故选C.4．【答案】A【详解】，分别是线段，上靠近，的三等分点，，，，，又，，，即，故A正确．故选A．5．【答案】D【详解】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得，点位于第二象限内，，则，故，又，，，，即，，解得，，故D正确．故选D．6．【答案】A【详解】因为，所以，两式作差得，故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列，又，，得，故为偶数时，故.故选A7．【答案】C【详解】已知双曲线，则，因为，即，所以点在双曲线左支上，因为直线为内切圆的一条切线，而也是内切圆的一条切线，所以可设内切圆的圆心为，半径为，设与轴的切点为，由内切圆切线长性质可知，，而，即，解得.故选C8．【答案】D【详解】圆的标准形式为，圆心，半径，满足，即，点在直线上，设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，在圆外，，四点共圆，圆的直径为，方程为，圆，联立两圆方程得出圆的切点弦方程，展开整理得，代入得，，解得，即直线恒过．故选D．9．【答案】AC【详解】对于A：，因此是等差数列，故A正确；对于B：，故是等差数列，故B错误；对于C：，故是等差数列，故C正确；对于D：，，故，易知是等差数列，故D错误.故选AC.10．【答案】ACD【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆.对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确；对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离.易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离，即的最小值为，故的最小值为，故B错误；对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率.设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大，易知此时，又由相切可知，，故，故，，因此的最大值为，故C正确；对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离.易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即，因此的最小值为，故的最小值为，故D正确.故选ACD.11．【答案】ABC【详解】由题可知，，得，故抛物线.设，由对称性，不妨设直线与抛物线交于第一象限.连接并延长，与抛物线交于点，连接并延长，与抛物线交于点.直线，将直线与抛物线方程联立，得，由韦达定理可知，，得.直线，将直线与抛物线方程联立，得，由韦达定理可知，，得.故，又因为均在抛物线上，故与关于轴对称，则.同理可得，与关于轴对称，故.由与关于轴对称可知平分，故有，又易知（对顶角相等），且，故，又因为，可得，，因此直线.与抛物线联立，得，结合图象以及，可知，故，将代入抛物线，可得，即.对于A：，由对称性可知，也符合题意，故A正确；对于B：由前分析可知，由对称性可知也符合题意，两种情况下点到轴的距离均为，故B正确；对于C：由前分析可知，，故，故C正确；对于D：由前分析可知，直线的倾斜角，由对称性可知，直线的倾斜角为时（即位于时，此时），也符合题意，故D错误.故选ABC.12．【答案】【详解】圆，圆心为，半径，圆，圆心，半径，又两圆有且仅有2条公切线，两圆相交，即，，，即，由恒成立，只需解不等式，即，解得，实数的取值范围为．13．【答案】【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，，若点为线段上靠近的三等分点，，，，设平面的法向量为，，令，则，点到平面的距离．14．【答案】【详解】由题意得，当时，，由双勾函数性质可知，随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；当时，，，由双勾函数性质可知，随着的增大而增大，而，满足题意；当时，，此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；当时，，随着的增大而增大，而，满足题意；当时，，，由双勾函数性质可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，而，所以当，即，符合题意；当时，，此时数列的最小项为或，由题意可得，解得，所以，当时，即时，必有，不符合题意舍去；综上，实数的取值范围为，即最小值为.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由可知，，，联立两式，解得，故，因此数列的通项公式为；（2）因为，故即，解得，故，即满足条件的的值构成的集合为.16．【答案】（1）（2）【详解】（1）设，则，由题易知，即..因为点均在椭圆上，故有，两式相减得，整理得，因此.（2）联立直线与椭圆方程，，消去，整理得：，由韦达定理得，，由弦长公式，.17．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）设圆的方程为，由题意可得，解得，所以圆的方程为，即，因为点在直线上，设，圆的半径为，则圆的方程为，即，因为圆与圆交于，两点，故两圆相交即得相交弦所在直线方程，即，因为直线的方程为，即，故系数比例相同，即，解得，，所以圆的方程为；（2）如图，作出符合题意的图形，因为，所以点在圆内，因为，所以，圆心，半径为，若直线斜率不存在，则，圆心到直线的距离为，，圆心到直线的距离为，，此时，若直线斜率存在，设斜率为，则直线的斜率为，则直线，直线，圆心到直线的距离为，故，圆心到直线的距离为，故，所以，化简可得，,令，当且仅当时，即时等号成立，所以，即，综上，四边形面积的取值范围为.18．【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）由题意得，令，则，连接，作，则由矩形性质得，因为平面平面，面，所以面，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为等边三角形，所以由勾股定理得，，则，得到，，，设面的法向量为，，则，令，解得，则面的法向量为，由题意得在线段上，则，可得，而，则，解得，则，得到，因为平面，所以，则，解得，此时，故为线段的中点.（2）由题意得在线段上，则，由已知得，则，设，则，可得，解得，可得，由已知得，则，而，，设面的法向量为，则，令，解得，则面的法向量为，设直线与平面所成角为，，则，则，令，可将化为，令，由二次函数性质得在上单调递增，则最小值为，此时取得最大值，，结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值，则最大值为.19．【答案】（1）（2）（i）见详解；（ii）最小值为：3，直线，直线【详解】（1）设双曲线的方