广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高三上学期期中数学检测试卷 附答案

/2025-2026学年度第一学期棉城中学高三级期中考试数学科试题（满分150分）考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（其中i为虚数单位），则（）A. B. C. D.3.2024年10月30日中国神舟十九号载人飞船成功发射，为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行了一次航天知识竞赛，随机抽取获得了6名同学的分数（满分30分）分别为：22，24，26，26，28，30，关于这组数据，下列说法错误的是（）A.极差为8 B.平均数为26 C.众数为26 D.分位数为274.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.5.如图，平行四边形是由斜二测画法得到的水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（）A. B. C. D.6.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（）A. B. C. D.7.已知向量满足，，与的夹角为，则（）A.2 B.4 C. D.8．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算正确的是（）A. B. C. D.10.下列说法中正确的是（）A.函数的值域为B.函数的零点所在区间为C.函数与互为反函数D.函数与函数为同一函数11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（）A.B.三棱锥的体积为C.三棱锥的外接球的表面积为D.由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数，则______．13.在的展开式中，含的项的系数是______．（请用具体数字作答）14.若动点到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么？某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．”并由此判断动点的轨迹是抛物线．请问该学生的判断是否正确？______（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，且，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．16.设函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用单调性定义证明：函数在上单调递增．17.如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：6891223456（1）若学科知识整合能力指标的平均值，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；（附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为），（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量；乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量；若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．19.已知双曲线的左顶点为，离心率为3，、是上的两点．（1）求的标准方程；（2）若线段的中点为，求直线的方程；（3）若（不在直线上），证明：直线过定点．

2025－2026学年度第一学期棉城中学高三级数学科期中考试题参考答案与评分标准题号1234567891011答案CBDACBCDACDABCACD1.C【详解】由，又，．选：C．2.B【详解】，，．选：B．3.D【详解】极差为，众数为26，A，C正确；平均数为，B正确；又，分位数为第5位数，即为28，D错误；选：D．4.A【详解】由题意得角的终边经过点，结合任意角三角函数的定义得，，由二倍角公式得，A正确．∴选：A．5.C【详解】∵四边形是平行四边形，且，，∴平行四边形面积．根据直观图与原图面积关系，．选：C．6.B【详解】设公差为，则，，．选：B．7.C【详解】法一：，即；法二：由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，若，，，，，则，，．选：C．8.D【详解】∵函数有3个零点，有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．∴选：D．9.ACD【详解】对于A：，A选项正确；对于B：，B选项错误；对于C：，C选项正确；对于D：，D选项正确；∴选：ACD．10.ABC【详解】A选项：函数，当时，取最小值为1，函数的值域为，A选项正确；B选项：∵函数在R上单调递增，∴函数至多有一个零点，且，，其零点所在区间为，B选项正确；C选项：，即，可得，函数与函数互为反函数，C选项正确；D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；∴选：ABC．11.ACD【详解】对于A，，，，平面，平面，平面，又平面，，A正确；对于B：三棱锥的体积，B错误；对于C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为，其直径等于正方体体对角线长：，则所求外接球的表面积为，C正确．对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形，为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确．∴选：ACD．12.【详解】，，．答案为：．13.24【详解】展开式的通项为，展开式中含的项为，展开式中的系数为24，∴答案为：24．14.错误【详解】空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线．题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误．空二：法一：设点，由题意得：，两边平方整理得，即：，，∴点的轨迹是一条直线，该直线方程为．法二：作出图形可知，直线过点，∴可得点的轨迹是一条经过且与垂直的一条，直线．的轨迹为，化简，得．15.【详解】（1），中，由余弦定理得．，．（2），由正弦定理得．【定理1分＋结果1分】且，代入得．解得，，．【关键步骤结果正确，步骤少量缺失不扣分】的面积．【列式1分＋结果1分】16.【详解】（1）为奇函数【不写要扣分】证明：易知的定义域，关于原点对称，【不写对称不扣分】且，为奇函数．（2）证明：任取且，则，．．．∴函数在上单调递增．17.【详解】（1）平面，平面，则．，即．，平面，平面，平面．（2）平面，，、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，【不作图扣分】，，，、、、、，，，，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，，取，可得．，取，可得．设所求夹角为，则．∴平面与平面夹角的余弦值为．18.【详解】（1）（ⅰ）由表格数据可得，解得．（ⅱ），．．．∴所求经验回归方程为．当时，，∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；（2）该考生通过甲高校的考试科目数为，则．则．设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为．，，，．【每个概率1分】．∴该考生更应报考乙高校．19.【详解】（1），．，的标准方