河北省七校2026届高三上学期高考模拟联考数学检测试卷 附答案

/河北省七校2026届高三上学期高考模拟联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．设复数，则（

）A． B．C． D．3．已知向量，则（

）A． B．C． D．4．若函数与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B．1C．ln3 D．5．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（

）A． B．C． D．6．若函数（且）的最大值为3，则（

）A． B． C．2 D．37．在等比数列中，若，则（

）A． B． C． D．8．已知是函数的两个零点，则的值不可能为（

）A． B．0 C． D．二、多选题9．在的展开式中，下列说法正确的是（

）A．二项式系数最大的项是第4项B．所有项的系数之和为1C．含的项的系数为D．常数项为10．如图，在正四棱柱中，分别是的中点，则（

）A．平面B．C．平面D．平面11．已知抛物线的准线的方程为，过点的直线与交于两点（点在第一象限），直线为坐标原点）分别交于两点，分别为线段的中点，则（

）A．B．以为直径的圆恒过定点C．D．的面积不超过四边形的面积的三、填空题12．若椭圆（且）的焦距为6，则．13．已知函数，其导函数的图象如图所示，则，．14．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则．四、解答题15．已知数列的首项，且．（1）证明：数列是等差数列．（2）令，求数列的前项和．16．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图．模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为；模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有．（1）根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程；（2）已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好．参考公式与数据：．17．如图，四棱锥的底面是菱形，是的中点，是的中点，．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）若，求与平面所成角的正弦值．18．已知双曲线的离心率为，焦距为4．（1）求双曲线的标准方程．（2）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交于两点，的中点为，点的轨迹为曲线．（i）求的方程．（ii）已知点在曲线上，点在轴的右侧，点在轴的左侧，为坐标原点，直线与直线分别交于点．求证：.19．已知函数．（1）当时，求在上的最大值．（2）当时，证明：在上单调递增．（3）证明：，使得．

参考答案1．【答案】C【详解】不等式，得，则，而，所以.故选C2．【答案】C【详解】因为复数,所以，则故选C.3．【答案】B【详解】由，得，而，因此，所以.故选B4．【答案】D【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得，求导得，所以.故选D5．【答案】D【详解】延长交于，依题意，，在中，，由正弦定理得，则，在中，，，所以.故选D6．【答案】B【详解】函数中，，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，当，，其值域为，而函数在上单调递增，因此函数的值域为，当时，函数在上单调递减，值域为，无最大值，不符合题意；当时，函数在上单调递增，当时，，解得，符合题意，所以.故选B7．【答案】B【详解】由，得所以，即，所以；所以，得到；故选B.8．【答案】C【详解】由是函数的两个零点，得，，则，而，则，当时，，，解得，而，则；当时，，，解得，而，则；当时，，，解得，而，则，因此的值可能是，ABD均可能，C不可能.故选C9．【答案】BC【详解】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项，所以二项式系数最大的项为第项，故A错误；对于B，令，则，所以所有项的系数之和为，故B正确；对于CD，由，则其展开式的通项，令，解得，则含的项的系数为，故C正确；令，该方程无整数解，则展开式中无常数项，故D错误.故选BC.10．【答案】AB【详解】在正四棱柱中，令，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面、平面的法向量分别为，则，取，得；，取，得，对于A，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，即，因此，B正确；对于C，，即向量不垂直，因此与平面不平行，C错误；对于D，，而，向量与不共线，因此与平面不垂直，D错误.故选AB11．【答案】ABD【详解】对于A，由抛物线准线的方程为，得，A正确；设，由消去并整理得，设，则，，因此，即，以为直径的圆恒过定点，B正确；对于C，取的中点，连接，则且，且，C错误；对于D，取的中点，连接，，由图知点到直线的距离不大于点到直线的距离，则，由，得，，因此的面积不超过四边形面积的，D正确.故选ABD12．【答案】【详解】由焦距为6，结合椭圆方程可得，，解得或，因为，所以.13．【答案】【详解】求导得到，由导函数图象可知，，即，得到，所以，所以是方程的两个根由韦达定理得到，所以14．【答案】/【详解】依题意，的可能值为0，1，2，的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，因此；的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件，与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和，因此，，，所以.15．【答案】（1）见详解；（2）【详解】（1）因为，，所以，由，两边同时除以可得：，两边再同时乘以可得：，又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得：，则，即，所以.16．【答案】（1）；（2）模型②.【详解】（1）由，得，则，，所以模型②中关于的经验回归方程为.（2）模型①，，当时，年利润增量，模型②，，当时，，因此年利润增量，而，所以模型②的预报效果更好.17．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【详解】（1）设,连接,所以,因为，所以,所以为中点；又因为是的中点，所以是三角形的中位线；所以,又因为平面，平面，所以平面．（2）因为底面是菱形，所以;又因为，,平面,所以平面,因为平面,所以又因为，,平面,所以平面.（3）在平面内，过点作,所以因为平面，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设因为在菱形中，，所以都是等边三角形，所以所以,因为是的中点，所以,则,设平面的法向量为则，即，令，得到设与平面所成角为，则.18．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）【详解】（1）由双曲线的离心率为，焦距为4，得半焦距，，则，所以双曲线的标准方程为.（2）（i），当直线不垂直于时，设其方程为，，由消去得，，设，则，，于是，，整理得，当直线垂直于时，由对称性不妨令，则，其坐标满足，所以的方程为.（ii）设直线的方程为，，由消去得，，，，直线，直线，则，，，所以.19．【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解.【详解】（1）当时，