四川省多校联考2025-2026学年高二上学期12月考试数学检测试卷 附答案

/四川省多校联考2025−2026学年高二上学期12月考试数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．直线被圆截得的弦的长度为（

）A． B． C． D．4．已知分别是椭圆的左､右焦点，是上的一个点，且的周长为，则的离心率为（

）A． B． C． D．5．已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（

）A． B． C． D．6．2025年8月27日，中国艺术体操队在艺术体操世锦赛收获1金1铜.如图，艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花的图案，它可看作是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后得到的三条曲线与C组合而成的图形，其中，分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形ABDE的周长为64，则（

）A．8 B．6 C．4 D．27．在正方体中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．8．已知是轴正半轴上一点，点，若圆上存在点，使得，则点的纵坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知双曲线与双曲线，则（

）A．的实轴长等于的虚轴长B．的渐近线与的渐近线重合C．的离心率等于的离心率D．的焦距等于的焦距10．在平行六面体中，，，且，则的值可能为（

）A．2 B．4 C．5 D．611．在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（

）A．B．异面直线与所成角的余弦值是C．的最小值是D．正方体被平面截得的五边形的周长为三、填空题12．甲、乙、丙三名毕业生到三个公司实习,假设每名毕业生都要去实习,且每名毕业生到三个公司中任一公司实习的概率均相等,则恰有两名毕业生到A公司实习的概率是.13．已知点在平面内，点均在外，且，则P到的距离为.14．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是.四、解答题15．已知圆经过点.（1）求圆的半径和圆心的坐标；（2）若圆与圆相切，求.16．12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（3）从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率.17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，.（1）证明：平面平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．已知动点到点的距离比到直线的距离小，设的轨迹为曲线.（1）求的标准方程；（2）若点的坐标为，求的最小值;（3）若过点的直线与交于，两点，点，且，判断的条数，并说明理由.19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于，（异于点）两点，分别记直线，的斜率为，.①当直线的斜率为时，求的面积;②求的最小值.

参考答案1．【答案】C【详解】点关于平面对称的点的坐标为.故选C.2．【答案】A【详解】直线的方程为，该直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.故选A.3．【答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦的长度为.故选D.4．【答案】C【详解】设的焦距为，由题意得的周长为，化简得：，所以得的离心率为.故选C5．【答案】A【详解】设圆柱和圆锥的高分别为，底面半径分别为，因为圆柱和圆锥的体积之比为，则，所以，故选A.6．【答案】C【详解】由题意知，“四角花瓣”图形是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后，得到的三条曲线与组合而成的图形，其中分别是这四条曲线两两相交的交点，且四边形的周长为，根据“四角花瓣”图形的对称性，可得四边形为正方形，所以正方形边长为，则点的坐标为，将代入抛物线的方程，可得，解得.故选C.7．【答案】B【详解】因为在正方体中，,所以正三角形，过点作，垂足为.则，所以向量在上的投影向量为.故选B8．【答案】D【详解】设点，，又圆，即，设圆上一点，，又，且存在点满足，则，由，，则有解，即，其中，化简可得方程有解，又，所以不等式，又，所以恒成立，即不等式为，解得，又，所以，故选D.9．【答案】ABD【详解】由题意得的实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，焦距为，离心率为的实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为，焦距为，离心率为，所以的实轴长等于的虚轴长，的渐近线与的渐近线重合，的焦距等于的焦距，的离心率不一定等于的离心率.故选ABD.10．【答案】BC【详解】如图，设，则，所以，，，又，，所以，因为，所以的值可能为4和5.故选BC.11．【答案】ABD【详解】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，选项A：因为，所以，即，故A正确；选项B：，因为异面直线与所成角范围是，所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确；选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示，当A、H、E三点共线时，有最小值，且最小值为，故C错误；选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H，连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE，则五边形AMFEN的周长即为所求，因为分别是棱的中点，，所以，则，在中，，因为，所以，所以，所以，则，所以在中，，在中，，同理，，所以五边形AMFEN的周长为，故D正确.故选ABD12．【答案】【详解】对于甲乙丙三人来说，去公司实习的概率均为，不去公司实习的概率均为，且彼此之间相互独立.“恰有两名毕业生到A公司实习”代表有2人去公司实习，有1人不去公司实习，而不去公司实习的人，可能是甲或乙或丙，共有3种情况.综上所述，恰有两名毕业生到A公司实习的概率.13．【答案】【详解】因为平面的法向量可取为，向量，所以.14．【答案】【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为.过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与.由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点.15．【答案】（1）圆的半径为2，圆心的坐标为.（2）或.【详解】（1）设圆.由题意得，解得，所以圆，配方得圆.故圆的半径为2，圆心的坐标为.（2）由题意得圆的半径为，圆心的坐标为，由两点间距离公式可得，当圆与圆内切时，，解得，当圆与圆外切时，，解得，所以或.16．【答案】（1）（2）分（3）.【详解】（1）由图可得，得.（2）估计这名群众的分数的平均数为分.（3）由题意得抽取的分数在内的群众人数为人，编号为，抽取的分数在内的群众人数为人，编号为，则该试验的样本空间为，共个样本点，事件“这名群众的分数均在内”包含的样本点为，所以这名群众的分数均在内的概率为.17．【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）因为四边形是矩形，所以，，因为，，平面，所以平面，平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，是直角三角形，所以，在中，，所以是直角三角形，即，因为，平面，所以平面，即两两互相垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量可以为，设平面与平面夹角，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】（1）（2）；（3）直线的条数为3条，理由见详解.【详解】（1）由题意可得点到点的距离比到直线的距离小，即点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的标准方程为；（2）设，则，令，则，由二次函数性质可知，当时，有最小值为；（3）因为，所以在线段的垂直平分线上，设，直线的方程为，则，则，，所以，则，，所以线段的中点坐标为，若直线斜率不存在，则线段的垂直平分线为轴，此时不在线段的垂直平分线上，不满足题意；若直线的斜率存在，则线段的垂直平分线的斜率为，此时垂直平分线为，因为点在垂直平分线上，代入可得，化简可得，即，解得或；经检验，均符合题意.综上，直线的条数为3条.19．【答案】（1）（2）①；②【详解】（1）由已知椭圆的离心