福建省福州恒一高级中学2025~2026学年高三上册12月资优生阶段检测数学试卷【附答案】

/福建省福州恒一高级中学2025−2026学年高三上学期12月资优生阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则集合中所有元素之和为（

）A．0 B．2 C． D．2．设为复数的共轭复数，且，则（

）A． B． C． D．3．函数的定义域为，且，则可以是（

）A． B． C． D．4．若点绕着坐标原点按逆时针方向旋转角到达点，则（

）A． B．0 C． D．5．已知为坐标原点，直线与圆交于，两点，若为的中点，则的最大值为（

）A． B． C．11 D．126．为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（

）A．2 B．4 C．6 D．87．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数满足，，，下列说法不正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是10．在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（

）A．平面B．平面C．三棱锥的体积不变D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是11．过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知向量，，则．13．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，与相交于点，为中点．若，则的准线方程为．14．对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“数列”．如果数列为函数的“数列”，，且，则．四、解答题15．在四边形中，，，，平分，与相交于点．（1）若，求的面积；（2）若，求的面积．16．如图，棱锥中，平面平面，和都是等边三角形，四边形是等腰梯形，．（1）证明：平面；（2）若，求；（3）当变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由．17．已知数列满足：，．（1）求，并判断是否恒成立；（2）设，证明：是等差数列；（3）数列的前项和为，求．18．已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点.（1）求证：；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值；（3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标.19．已知函数，．（1）若为增函数，求的取值范围；（2）若，求最大值的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．

答案1．【正确答案】A【详解】由解得：，由解得，所以，，，即，区间关于原点对称，所以集合中所有元素之和为0．故选A．2．【正确答案】D【详解】由方程得，对于A：显然不对，A错误；对于B：若，则；若，则；B错误；对于C：法1，若，，则；若，，则；C错误；法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误；对于D：法1，若，，则；若，，则；D正确；法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确；故选D．3．【正确答案】B【详解】由知，为偶函数，由知，则，即，的周期为2，由知，为的一个对称中心．对于A：，所以是奇函数，A错误；对于B：，是偶函数；，周期为；，，即，为的一个对称中心，B正确；对于C：，是周期为的奇函数，C错误；对于D：，是周期为的偶函数，D错误；故选B．4．【正确答案】C【详解】设，则，由三角函数的定义可知，故：，，由二倍角公式可得：．故选C．5．【正确答案】A【详解】由题意可得圆心为，半径为2，直线过定点．因为为的中点，所以，点(或点)即点，故点在以为直径的圆上（去掉点），而，且圆的半径为1，故圆的方程为，由图知，，即的最大值为．故选A．6．【正确答案】D【详解】连接，,因为，关于点对称，所以,由于，关于直线对称，则为的中垂线，则,,所以四边形的周长为,由椭圆的定义可得：,所以，即四边形的周长为故选D7．【正确答案】B【详解】当，时，由得，，令，则．令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的，使得，即，即，所以，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以，故，．故选B8．【正确答案】B【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以，在中，设其外接圆的半径为，可得，所以，可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆交弦，设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，取的中点，连接，可得，在直角中，可得,所以外接球的表面积是．故选B.9．【正确答案】ABC【详解】因为，所以，因为，所以，，因为，，所以，，又，所以，所以．当时，，选项A错误．当时，，选项B错误．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，选项C错误．当时，，，，函数在上的图象如下：由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确．故选ABC．10．【正确答案】BCD【详解】对于选项A：在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，所以，同理可证，因为平面，平面，则平面，因为平面，平面，则平面，因为，且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A错误；对于选项B：由选项A可知：，且平面，平面，则平面，在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，则平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于选项C：因为平面，且点在线段上运动，可知点到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，故C正确；对于选项D：不妨设正方体的边长为2，因为是边长为的等边三角形，则，设点到平面的距离为，则，解得，设直线与平面所成角为，则，当点与点重合时，取最小值，此时取最大值；当点与点重合时，取最大值，此时取最小值；且正弦值具有连续性，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确；故选BCD.11．【正确答案】AD【详解】，设切点为，则切线方程为：，因为切线经过点，将点代入得，化简得，故方程有一个根．令，，转化为直线与曲线只有一个交点，，当时，；当时，．故在和上单调递增，在上单调递减，，．根据直线与只有一个交点，则有或．故选AD．12．【正确答案】【详解】，，．13．【正确答案】【详解】过，作准线的垂线，垂足为，，过作的垂线，垂足为，与轴相交于．因为为中点，所以，所以，设，，，又，所以，．由三角形的相似，可得，即，故，的准线方程为．14．【正确答案】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，即，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.15．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）在中，，，，，故，；在中，，，，，；在中，，，由余弦定理得：，，解得，．，．（2）在中，，，，，．由正弦定理，得：，，解得，．16．【正确答案】（1）见详解（2）（3）余弦值都为定值【详解】（1）因为，所以，且平面，平面，所以平面.（2）把平面与平面展开成平面图形，使得在的位置，则菱形，，在边，上，如图．取中点，中点，连接，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，则，，，，可得，，因为直线与垂直，则，解得（舍）或，可知，，所以.（3）设二面角的平面角为，则为钝角．可得，，设平面的法向量，则，取，，可得，又因为平面的法向量，可得，且为钝角，可得，所以平面与平面的夹角的余弦值为所以当变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值17．【正确答案】（1），不恒成立（2）见详解（3）【详解】（1）因为，所以，，；

又，，故不恒成立．（2）当，，；

当，，；

两式相加，可得，故，由，可得是等差数列．（3）当时，，又，

所以，则在偶数项的和中，每对，均满足此条件．

又由（2）可得，

则

18．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3），，，【详解】（1）由双曲线的离心率，可知，即，所以双曲线，设，，，，，所以；（2）设，，，即，所以为定值；（3）根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为，则的最大内角为最大，此时，则，设直线，联立双曲线方程，，得，得或（舍），时，，即，根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为，所以满足条件的点坐标为，，，.19．【正确答案】（1）（2）（3）【详解】（1），

因为为增函数，故，即，

又因为，所以，

所以（2）若时，因为在单调递减，所以存在唯一使得，即

又因为，故，．当，，单调递增；当，，单调递减；

所以最大值为．令，

则，所以在单调递增，

故的取值范围为，故最大值的取值范围（3）由，得．设，，则，

，