湖南省2024-2025学年高三下学期第三次适应性考试数学试题（含答案）

第第页湖南省2024-2025学年高三下学期第三次适应性考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=0,1,2，B=x∈NA．A=B B．A⊆B C．A∩B=C D．A∪B=C2．设复数z满足z1+i2025A．32 B．32i C．−3．已知事件A，B是相互独立事件，且PA=23，A．112 B．12 C．5124．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若3bsinC=2cA．π6 B．π3 C．2π5．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为413A．4133π B．4π C．6．已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1A．23 B．32 C．37．若P是△ABC所在平面内一点，则“PA−A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知y=fx是定义在1,+∞上连续可导函数，其导函数为y=f'x，若xA．1,3 B．3,e2 C．1,e二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移π6A．fB．函数fx的最小正周期为C．函数fx的图象关于点5D．函数fx在区间0,10．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1−c,0A．椭圆C的方程为xB．△MNFC．定点P的坐标为PD．当MN⊥x轴时，△PMN的内切圆圆心坐标为1+311．若函数fx满足：对任意x,y∈R，恒有fx+y+fx−y=2fxfy，则称函数fA．fB．若f2=C．函数fxD．若有理数x1，x2满足x三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数fx=lnx−2x−x13．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE=2EC14．某无人机爱好者在2025年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为A,B,C,D,E,F六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，B区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.年份代码i12345678科研经费xi2361013151821市场规模yi1122.53.53.54.56参考数据：i=18xiyi=347，参考公式：相关系数r=i=1（1）根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当r越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当r越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；（2）已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（p∈0,1），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若P16．在如图所示的多面体ABC−EFD中，已知四边形ACDE为菱形，其对角线AD和CE相交于H点，G是棱BD的中点，EF//AB，且EF=1（1）求证：FG//平面ACDE；（2）若AB⊥平面ACDE，AB=AC=AD=2，求平面ABC与平面BFD所成角的余弦值.17．已知函数fx=x−2（1）当a=4时，讨论函数fx（2）若x0是函数gx=f18．在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y（y≥0）到点F0,1的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为（1）求轨迹Γ的方程；（2）过直线l：x−2y−2=0上一点Q作轨迹Γ的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；（3）过点R0,4的动直线l'与轨迹Γ交于C，D两点，直线CF交轨迹Γ于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为S1，S19．已知an是等差数列，且a2=3，a3+a5=14，数列（1）当λ=1时，求数列an与数列b（2）在（1）的条件下，设数列cn的前n项和为Tn，已知cn（3）当λ=−43时，若数列dn满足d1=μ（μ>0），且dn+1−

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式x2−3x=xx-3<0，可得0<x<3，即集合B=1,2，

则集合A=故B=C，A∩B=C.故答案为：C.【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的关系、运算判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：易知i2025=i4×506+1=i故答案为：A.【分析】易知i2025=i3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知：事件A，B相互独立事件，因为PA=23，PB则PA故答案为：A.【分析】易知事件A，B也是相互独立事件，再根据独立事件的概率乘法公式计算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：3bsinC=2c因为C∈0,π，sinC≠0，所以3又因为B∈0,π，B2∈0,π2，所以cosB2故答案为：B.【分析】由题意，利用正弦定理可得3sin5．【答案】B【解析】【解答】解：设圆锥的高PO=h>0，母线长为l，

由底面半径为2，可得母线l=h2+4，

由题意可得：2则圆锥的体积V=1故答案为：B.【分析】设圆锥的高PO=h>0，母线长为l，先表示母线长，再根据题意列关于h的方程，求出h，最后利用圆锥体积公式求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：易知2c=33，

因为AF1=3，所以2a=6−3=3，则e=2c故答案为：C.【分析】易知2c=33，由勾股定理求出AF27．【答案】A【解析】【解答】解：由PA−PB=PA+PB−2PC，可得|AB|=|CA+CB|，但由△ABC是直角三角形，推不出CB⊥CA，即必要性不成立，故“PA−PB=故答案为：A.【分析】利用向量的线性运算化简PA−PB=8．【答案】D【解析】【解答】解：构造函数gx=f因为xf'x<fx则函数gx=f又因为f3=6，flnx>2lnx，所以flnxlnx故答案为：D.【分析】构造函数gx=fxxx>1，求导，利用导数判断函数9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移π6B、由A选项可知：函数fx的最小正周期为T=C、f5π12=sin2×D、由−π2+2k所以fx的增区间为−π12+kπ,5π12故答案为：ABD.【分析】根据三角函数图象的平移变换求得fx=sin2x−π3即可判断A；利用函数最小正周期的计算公式计算即可判断B；计算10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、由|F1F2|=2c=2，可得c=1，由离心率e=12，可得a=2，

B、由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|=|NFC、F2(1,0)，设P(t,0)，M(x设l方程x=my+1，联立x24+y23=1x=my+1，消元整理可得因为△PMN内心在x轴上，所以∠MPF2=∠NP即y1x1经化简得2my1y2+(1−t)(y1+yD、MN⊥x轴时，直线MN方程x=1，代入椭圆方程得y=±3设内切圆圆心(n,0)，不妨设直线MP:x+2y−4=0，

根据点到直线距离公式|n−4|5=n−1，解得n=1+3故答案为：ACD.

【分析】由焦距|F1F2|=2c=2求出c，再根据离心率e=ca求出a，最后根据b2=a2−c2求得b2，得到椭圆方程即可判断A；根据椭圆定义，求△MN11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令x=1,y=0，得到f1又因为对任意非零实数x，fx>1，所以B、令x=y=1，得f2+f0又f2=178，C、令x=0，得到fy+f−y=2f0D、因为x≠0时，fx>1，则fx+y令y=kxk∈N∗，即对任意的正整数k则fk+1所以，对于任意正整数k，fk+1对任意的m、n∈N∗且m>n，则有因为x1、x2为有理数，所以可设x1=q1p1，x2=q2p令x=1p1p2，t=q1因为x1<x2，所以t<s，所以由选项C知，函数y=fx为偶函数，fx1=fx1，故答案为：ACD.【分析】根据条件，令x=1,y=0，求解即可判断A；令x=y=1，结合选项A中结果，求解即可判断B；令x=0，得到f−y=fy，求解即可判断C；令y=kx k∈N∗，证明出fk+1x>fkx，即可说明对任意m、n∈N∗且m>n，有f12．【答案】2x-y-5=0【解析】【解答】解：函数fx=lnx−2x−x定义域为0，+∞，f'(x)=1x+2x2故答案为：2x−y−5=0.【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可.13．【答案】5【解析】【解答】解：取AB,A1B1的中点F,G，因为AA1⊥所以AA1⊥FB,AA1⊥FC，因为三角形ABC是等边三角形，点F是AB中点，

所以FB⊥FC，即CE=2EC1，AB=2，则B1,0,0A1设平面BDE的法向量为n=x,y,z，则DB⋅n=32x−3则点A1到平面BDE的距离为A故答案为：5.【分析】以点F为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.14．【答案】156【解析】【解答】解：先给C区域选，有C41=4种选法，再给D①若E区域和C区域无人机颜色相同，且F区域和D区域无人机颜色相同，则A有C3若E区域和C区域无人机颜色相同，且F区域和D区域无人机颜色不相同，则F有C21=2种选法，A所以E区域和C区域无人机颜色相同时，共有C4②若E区域和C区域无人机颜色不相同，且F区域和D区域无人机颜色相同，则E区域有C21=2种，A若E区域和C区域无人机颜色不相同，且F区域和D区域无人机颜色不相同，则E区域有C21=2种，F和A所以E区域和C区域无人机颜色不相同时，共有C4因此，不同的呈现方式共有84+72=156种.故答案为：156.【分析】由题意，利用分类、分步计数原理结合组合数公式，求解即可.15．【答案】（1）解：x=y=i=18i=18i=18则r=i=1因为7140=4×1785≈2×42.25=84.5因为|r|≈0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强；（2）解：随机变量X~B(5,p)，根据二项分布的概率公式P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k，

由P(X=5)=P(X=4)，可得：C55p5再根据二项分布的数学期望公式E(X)=np和方差公式D(X)=np(1−p)，将n=5，p=56代入可得：E(X)=5×5【解析】【分析】（1）根据参考数据，结合样本相关系数公式计算，再依据相关系数与线性相关程度的关系进行判断即可；（2）易知随机变量X服从二项分布，根据P(X=5)=P(X=4)求出p的值，再利用二项分布的数学期望和方差公式求E(X)和D(X)即可.（1）x=y=然后计算i=18将i=18xiyi=347，i=18接着计算i=18(xi−x)i=18再计算i=18(yi−y)i=18最后计算相关系数r：根据公式r=i=18(i=18(xr=83340×21=由于|r|≈0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强.（2）已知随机变量X~B(5,p)（因为从国内新能源车主中随机抽取5人，每个人购买该品牌汽车的概率为p，符合二项分布的定义），根据二项分布的概率公式P(X=k)=CnkC55p5(1−p)0=解方程p=5−5p，得p=5再根据二项分布的数学期望公式E(X)=np和方差公式D(X)=np(1−p)，将n=5，p=56代入可得：E(X)=5×516．【答案】（1）证明：因为四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相平分，所以H为AD的中点，又因为G为线段BD的中点，所以HG//AB，且HG=1又因为EF//AB且EF=12AB，所以EF//HG且EF=HG，

则四边形GHEF又因为FG⊂平面ACDE，EH⊂平面ACDE，所以FG//平面ACDE（2）解：在菱形ACDE中，因为AC=AD，且菱形的邻边相等，所以△ACD和△ADE都是正三角形，取ED的中点为K，连接AK，根据正三角形三线合一的性质，可得AK⊥ED，又因为AC//ED，所以AK⊥AC，又因为AB⊥平面ACDE，AC,AK⊂平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AK，即AB,AC,AK两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,AC,AK为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

AB=AC=AD=2，则B(2,0,0)，D(0,1,3)，因为AB⊥AC，AB⊥AK，AC⊥AK，所以平面ABC的法向量可取为m=(0,0,1)又BF=(1−2,−1−0,3−0)=(−1,−1,设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)，则由n取y=1，则x=2，z=3，即n设平面ABC与平面BFD所成角为α，

则cosα=|cos〈m,n〉|=|m⋅【解析】【分析】（1）利用中位线得到线线平行，构造平行四边形得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）以A为坐标原点，分别以AB,AC,AK为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BFD的法向量，最后利用向量的夹角公式求面面角的余弦值即可.（1）因为四边形ACDE为菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相平分，所以H为AD的中点.又因为G为线段BD的中点，在△ABD中，根据三角形中位线定理可得HG//AB，且HG=1已知EF//AB且EF=12AB，所以EF//HG且EF=HG由于平行四边形的对边平行，所以FG//EH.又因为FG⊂平面ACDE，EH⊂平面ACDE，所以FG//平面ACDE（2）在菱形ACDE中，因为AC=AD，且菱形的邻边相等，所以△ACD和△ADE都是正三角形.取ED的中点为K，连接AK，根据正三角形三线合一的性质，可得AK⊥ED，又因为AC//ED，所以AK⊥AC.又因为AB⊥平面ACDE，AC,AK⊂平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AK，即AB,AC,AK两两垂直.以A为坐标原点，分别以AB,AC,AK为x,y,z轴建立空间直角坐标系.已知AB=AC=AD=2，则可得B(2,0,0)，D(0,1,3)，因为AB⊥AC，AB⊥AK，AC⊥AK，所以平面ABC的法向量可取为m=(0,0,1)又BF=(1−2,−1−0,3−0)=(−1,−1,设平面BFD的法向量为n=(x,y,z)，则由n由−x+2y=0可得x=2y，取y=1，则x=2，将x=2，y=1代入−x−y+3z=0，可得−2−1+3z=0，解得设平面ABC与平面BFD所成角为α，根据向量的夹角公式，cosα=|17．【答案】（1）解：当a=4时，函数fx=x−2f'令f'x>0，解得0<x<1或x>2，令f则函数fx的单调递增区间为0,1，2,+∞；单调递减区间为（2）解：函数gx=x−22−a令g'x=0，得2x2当Δ=16−8a≤0，即a≥2时，ux=2此时，gx在0,+∞上单调递增，当Δ=16−8a>0，即a<2当a≤0时，u0≤0，此时g'x=0当x∈0,x3时，g'x则0<a<2，则u0>0，所以2x2−4x+a=0有两根x当x∈0,x1时，g'x>0，当x∈所以x=x1是gx的极大值点，由题知x要证gx0>x0，即证x0−2令hx=x−2令mx=−4x−1易知m'x=−4lnx+所以mx在区间0,1上单调递增，则m所以hx=x−22−所以x0−22+aln【解析】【分析】（1）将a=4代入，求函数的定义域，再求导，利用导数求函数的单调区间即可；（2）对gx求导，根据条件得到2x02−4x0+a=0，且0<x（1）当a=4时，fx易知x>0，又f'由f'x>0，得到0<x<1或x>2，由f所以函数fx的增区间为0,1，2,+∞，减区间为（2）因为gx易知gx的定义域0,+∞，则令g'x=0，得到2x2当Δ=16−8a≤0，即a≥2时，ux=2此时，gx在0,+∞上单调递增，当Δ=16−8a>0，即a<2当a≤0时，u0≤0，此时g'x=0当x∈0,x3时，g'x则0<a<2，则u0>0，所以2x2−4x+a=0当x∈0,x1时，g'x>0，当x∈所以x=x1是gx的极大值点，由题知x要证gx0>x0，即证x令hx=x−2令mx=−4x−1易知m'x=−4lnx+所以mx在区间0,1上单调递增，则m所以hx=x−22−所以x0−22+aln18．【答案】（1）解：由题意可得：x−02化简得x2+y−12=y+12（2）解：因为点Q在直线l:x−2y−2=0上，设Qx0,设Ax1,则在点A处的切线方程为：y−y1=12x1因为点Q在切线上，所以y0=同理，在点B处的切线方程为：y=1因为点Q在切线上，所以y0=由①②可知x1,x2是方程Δ=根据韦达定理：x1直线AB的方程为y−y又因为y2−y则直线AB的方程为y−14x将x1+x再把x0=2y令x−1=0x=y，解得x=1y=1，所以直线AB过定点（3）解：设Cx3,y3联立y=kx+4x2=4y则Δ=−4k2直线CF的方程为y=y3−1x3因为x3是该方程的一个根，设另一根为x5，所以x3点D到直线CF的距离为：d=y3又△CDE的面积S1=12CE则S1又因为CE=所以S==9当且仅当x3=±22【解析】【分析】（1）由题意，根据两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，列式化简求得轨迹的方程即可；（2）利用导数求出轨迹Γ在点A,B处的切线方程，因为Q在两条切线上，根据韦达定理化简，进而得到直线AB的方程，通过变形找出直线所经过的定点；（3）设出直线l'的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理得到交点坐标关系，表示出S（1）根据两点距离公式，点Px,y到点F0,1的距离为点P到x轴的距离为y，因为y≥0，所以y=y根据条件可得：x−02则x2+y−1所以轨迹Γ的方程为x2（2）因为点Q在直线l:x−2y−2=0上，设Qx0,设Ax1,则在点A处的切线方程为：y−y1=所以切线方程可化为：y=1因为点Q在切线上，所以y0=同理，在点B处的切线方程为：y=1因为点Q在切线上，所以y0=由①②可知x1,x2是方程Δ=根据韦达定理：x1直线AB的方程为y−y又y2所以y2则直线AB的方程为y−1展开得y=1将x1+x再把x0=2y令x−1=0x=y，解得x=1y=1，所以直线AB过定点（3）设Cx3,y3联立方程组y