重庆市四川外国语大学附属中学高三上学期月考（四）（0月）数学试题

四川外国语大学附属中学届高三（上）月月考（四）数学试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.试卷由整理排版考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.85分每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则集合的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合新定义计算即可求解.【详解】若，，则可能为，所以的元素个数为3.故选：C.2.若，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的周期性化简，再利用复数的四则运算化简求出结果即可.【详解】因为，所以，第1页/共17页所以，所以的虚部为，故选：D.3.已知平面内的向量在向量上的投影数量为，且，则的值为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果.【详解】由题意可得向量在向量上的投影数量为：，又，，所以，所以，故选：A.4.从分别写有123456的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有第2页/共17页,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；5..如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点DC为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点EA为圆心，为半径逆时针画圆弧“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以.故选：D．6.在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（）第3页/共17页A等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断.【详解】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以符号相同，若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾，从而只能，所以，所以或，所以或,所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：D.7.定义在上的函数满足，；且当时，．则方程所有的根之和为（）A.6B.12C.14D.10【答案】D【解析】【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.【详解】∵，∴为奇函数，又∵，∴的图象关于直线对称．当时，，单调递增．由，即有，第4页/共17页由可得，，所以的图象关于中心对称．函数的简图如下：其中，由，∴所有实根之和为.故选：D．【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；8.定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，利用导数判断单调性，利用单调性比较大小，结合题意对选项逐一分析即可.【详解】设，则．已知，所以，则在上单调递增．设，则．第5页/共17页已知，所以，则在上单调递减．因为在上单调递增，在上单调递减．对于A，，所以，，，，则，，即，无法确定，故A错误；对于B，，所以，，，，则，即，，即，所以，无法确定，故B错误；对于C，，所以，，，．则，即，，即，所以，故C正确；对于D，，所以，又因为，则，所以，无法确定，故D错误.故选：C．36分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A.B.事件A和事件B互为对立事件C.D.事件A和事件B相互独立【答案】CD第6页/共17页【分析】根据独立事件的定义以及条件概率对有关选项作相应的分析和计算即可.【详解】对于A，，可得A错误；对于B，事件B第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件B不是对立事件，可得B错误；对于C，由，可得，可得C正确；对于D选项，由，可得，可知事件A和事件B相互独立，可得D正确；故选：CD.10.已知函数，则下列命题正确的有（）A.若是曲线的一条对称轴，则的最小值为B.若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是C.将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为D.若在上恰有4个零点，则的范围为【答案】ACD【解析】【分析】先将函数化简为正弦型函数的形式，然后根据正弦函数的图像和性质逐一求解即可.【详解】由已知．第7页/共17页解得．，当时，有最小值为，故A正确；对于B，由题意知，当时，，在上有且只有一个最小值点，或，解得或，故B错误；对于C，向左平移个单位长度后，得到，若为偶函数，则，，解得，，，当时，有最小值为，故C正确；对于D，时，，若在上恰有4个零点，则，解得，故D正确．故选：ACD．设无穷数列的前项和为（）A.B.C.不等式的解集为第8页/共17页【答案】BCD【解析】且差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，且，即又由，可得数列是等差数列，公差，所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，即，所以A错误、D正确；因为当时，；当时，，所以的最大值为，所以B正确；因为，且，所以当时，；当时，，所以C正确.故选：BCD.三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知，则______.【答案】3【解析】【分析】根据二项式的通项求项的系数即可.【详解】的通项为，所以展开式中的系数为，的通项为，所以展开式中的系数为，所以.第9页/共17页故答案为：3.13.已知数列是公差为的等差数列，各项不等的数列是首项为2，公比为的等比数列，且，则______________．【答案】1【解析】【分析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可列式求解．【详解】解：由已知可得，，，，再由，，得，，联立以上两式可得：，，即．故答案为：1．14.设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为______________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值.【详解】由，得，令，则或，当时，由，得，所以，则，当时，由，得，由，得或，当时，不存极值点，第10页/共17页综上，，所以当时，故答案为：（答案不唯一）.四，解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求的最大值以及取得最大值时的值；（2）求在上的增区间．【答案】（1）最大值为，，（2）【解析】1的最大值以及取得最大值时的值；（2）用整体代入法求得函数在上的单调增区间．【小问1详解】.因为当，即时，取得最大值1.所以当，时，取得最大值.故的最大值为，取得最大值时的值为，；【小问2详解】第11页/共17页由，可得，.令，则当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.所以函数在单调递增.所以函数在上的增区间为.16.已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.【答案】（12（2在上单调递减，在上单调递增，极小值为大值【解析】1）根据导数的几何意义，可得，可求的值.（2）先求导函数，由正负得出函数的单调性，进而可得函数的极值.【小问1详解】因为．所以．由题意．【小问2详解】因为．所以．由；由．第12页/共17页所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以当时，函数取得极小值，且，无极大值．17.若各项均为正数的数列满足（为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列，可得，可求的通项公式；（2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和.【小问1详解】由为“比差等数列”，得，从而.设，则，所以数列为等差数列.第13页/共17页所以为常数列，因此，，即，所以是首项为，公比为的等比数列，因此.【小问2详解】当为偶数时，；当为奇数时，.综上，.18.已知锐角的内角的对边分别为，，．（1）求；（2）若角的平分线交于点，求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得；第14页/共17页式求得的取值范围.【小问1详解】，，由正弦定理得：，，，，，.【小问2详解】；由正弦定理得：；，，，，即，，解得：，即的取值范围为.19.某校开展“阳光体育节”“定点踢足球”每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0第15页/共17页（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率．①求，，；②规定，，的值求出A、的通项公式．【答案】（1）（2）①，，；②，；【解析】1）根据题意可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可；（2）①结合题意求出；②根据题意求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可.【小问1详