2022-2023学年广东深圳南山区高一(上)第一次月考数学试题及答案

2022-2023学年广东省深圳市南山区高一（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题（共8道，每小题5分，共40分）15分）下列能构成集合的是()A．深圳大学所有高水平的教授B．深圳市所有跑得快的跑车C．2022届深圳市所有的高一新生D．数学必修（一）所有的简单题25分）已知集合H中的元素都是自然数，满足x属于H且4﹣x∈H的有且只有两个元素的集合H的个35分）已知集合，则A的子集个数为()A．16B．2455分）定义：对任意m，n∈A（m，n∈A可以相等都有1+mn≠0，则集合称为集合A的“生根发芽集”．若集合A＝{a，2}，A的“生根发芽集”为B，B的子集为4，得出实数a65分）观察下面的电路图，下列说法不正确的是()A．如图①所示，开关A闭合是灯B亮的充分不必要条件B．如图②所示，开关A闭合是灯B亮的必要不充分条件C．如图③所示，开关A闭合是灯B亮的充要条件D．如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件75分）我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）来表示有限集A中元素的个数．则card（A∪B∪C）与下列选项中的哪个表意一致()A．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∪B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）B．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）C．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∪C）﹣card（B∩C）+card（A∪B∩C）D．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）+card（ABC）85分）李老师上课即兴出了一道题：集合A集合B=,集合C＝{（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，如果（A∪B）∩C≠∅,则实数λ的取值范围为()D.二、多项选择题（共4道，每小题5分，共20分）（多选）95分）下列说法正确的是()（多选）105分）若集合A＝{x∈N|x≤5}，B＝{x|x≤5}，下列说法正确的是()（多选）115分）下列运算正确的是()A.C．当q＝5时，的值为4D．设ab≠0，当有意义，原式为¬p和命题q皆为真命题，则下列a值符合题意的是()三、填空题（共4道，每小题5分，共20分）135分）已知集合M＝{y|y＝x2+2，x∈R}，N＝{y|y＝6﹣x2，x∈R}，则M∪N值为.145分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B∈A，则m的取值范围为.165分）已知函数f（x4a﹣3）x+b﹣2a，x∈[0，1]，f（x）≤2恒成立．请画出点P（a，b）表示的平面区域，求得z＝a+b的最大值为.四、解答题（共6道，共70分）1710分）若集合A＝{（x，y）|}有且只有一个元素.（1）试求出实数k的值；（2）用列举法表示集合A.1812分）写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）能被12整除的数，也能被23整除；（2）∀p∈R，p2﹣3p+2＝0；（3）任何一个有理数都是实数.1912分）已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|w≤x≤8}.（1）在①w＝7，②w＝5，③w＝4这三个条件中选择一个条件，使A∩B≠∅,并求A∩B；（2）已知A∪B＝{x|3≤x≤8}，求实数w的取值范围.2012分）一元二次不等式和初中学过的一元二次不等式与二次函数有着异曲同工之妙.（1）解一元二次不等式：2x2+5x﹣12＞0；（2）解关于m的不等式m+4m+5）2（2﹣m）3＜0；（3）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，求﹣cx2+2x﹣a＞0的解集；（4）求关于x的不等式的解集（k﹣1）x2+（k﹣1）x﹣2k＞0.2112分）已知集合Y＝{b|b＝2t+1，teZ}，Z＝{c|c＝4m±1，meZ}，求证：Y＝Z.2212分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且f（x2x的解集为1＜x＜3.（1）若方程f（x）+9a＝0有两个相同根，求f（x）的表达式；（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.2022-2023学年广东省深圳市南山区高一（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题（共8道，每小题5分，共40分）15分）下列能构成集合的是()A．深圳大学所有高水平的教授B．深圳市所有跑得快的跑车C．2022届深圳市所有的高一新生D．数学必修（一）所有的简单题【分析】根据已知条件，结合集合的定义，即可求解.【解答】解：深圳大学所有高水平的教授中的高水平没有一个标准，故A错误，深圳市所有跑得快的跑车中的快没有一个标准，故B错误，2022届深圳市所有的高一新生符合集合的定义，故C正确，数学必修（一）所有的简单题中简单没有开一个标准，故D错误.故选：C.【点评】本题主要考查集合的定义，属于基础题.25分）已知集合H中的元素都是自然数，满足x属于H且4﹣xeH的有且只有两个元素的集合H的个【分析】根据已知条件，直接求出集合H，即可求解.【解答】解：由题意可得，满足xeH且4﹣xeH的有且只有两个元素的集合H的集合有{1，3}，{0，4}，共两个.故选：C.【点评】本题主要考查集合的求解，属于基础题.35分）已知集合，则A的子集个数为()【分析】先求出集合A，即可求出集合A的元素个数，再结合集合子集与集合元素个数的关系，即可求解.【解答】解：∵={3，4，5}，集合A的元素个数为3个，∴A的子集个数为23＝8.故选：B.【点评】本题主要考查集合子集与集合元素个数的关系，属于基础题.A．16【分析】由题意得θ2＝4，从而先求θ,再求ς即可.解得θ=2（舍去）或θ=﹣2，故ς=6；故θς=26＝64，故选：D.【点评】本题考查了集合相等的应用，属于基础题.55分）定义：对任意m，n∈A（m，n∈A可以相等都有1+mn≠0，则集合称为集合A的“生根发芽集”．若集合A＝{a，2}，A的“生根发芽集”为B，B的子集为4，得出实数a【分析】根据已知条件，结合“生根发芽集”的定义，推出或或，即可求解.【解答】解：当m＝n＝2时，x=,当m＝n＝a时，x=,B的子集个数为4个，则B中有2个元素，所以或或，解得a＝1或a=﹣1或a=故选：B.【点评】本题主要考查子集的定义，属于基础题.65分）观察下面的电路图，下列说法不正确的是()A．如图①所示，开关A闭合是灯B亮的充分不必要条件B．如图②所示，开关A闭合是灯B亮的必要不充分条件C．如图③所示，开关A闭合是灯B亮的充要条件D．如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件【分析】结合充分条件和必要条件的概念，对选项逐一进行分析，即可.【解答】解：选项A，图①中，开关A闭合，灯B亮，满足充分性，灯B亮，有可能是开关A闭合，有可能是开关C闭合，也有可能是两个开关都闭合，不满足必要性，即选项A正确；选项B，图②中，开关A闭合，灯B不亮，不满足充分性，灯B亮，开关A和C都闭合，满足必要性，即选项B正确；选项C，图③中，开关A闭合，则灯B亮，满足充分性，灯B亮，则开关A闭合，满足必要性，即选项C正确；选项D，图④中，开关A闭合，灯B不一定亮，不满足充分性，灯B亮，开关A可以不闭合，不满足必要性，即选项D错误.故选：D.【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.75分）我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）来表示有限集A中元素的个数．则card（A∪B∪C）与下列选项中的哪个表意一致()A．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∪B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）B．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）C．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∪C）﹣card（B∩C）+card（A∪B∩C）D．card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）+card（A∩B∩C）+card（ABC）【分析】利用Venn图表示集合A，B，C，根据图形即可得出正确的选项.【解答】解：用Venn图表示集合A，B，C如下：则：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）故选：B.【点评】本题考查了用Venn图表示集合的方法，考查了计算能力，属于基础题.85分）李老师上课即兴出了一道题：集合A集合B=,集合C＝{（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，如果（A∪B）∩C≠∅,则实数λ的取值范围为()【分析】由已知得（A∩C）∪（B∩C）≠∅,当A∩C≠∅时，由集合A可得A表示以（3，4）为圆心，为半径的圆，可设x＝3+cosθ,y＝4+sinθ,代入|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ,可求λ的范围，可理可求当B∩C≠∅时，可求λ的范围，从而可得结论.【解答】解：由（A∪B）∩C≠∅,得（A∩C）∪（B∩C）≠∅,当A∩C≠∅时，A集合A表示以（3，4）为圆心，为半径的圆，∴λ=2|x﹣3|+|y﹣4|2|cosθ|+|sinθ|相当于θ∈[0°,90°]求λ=（2|cosθ|+|sinθ|）＝2sin(θ+φ),其中sinφ=,cosφ=,φ为锐故φ<θ+φ＜180°,所以当θ=0°时，λ=2sinφ=,当θ+φ=90°时，λ=2，故λ∈[，2].同理当B∩C≠∅时，可得λ∈[，6]，∴（A∪B）∩C≠∅,实数λ的取值范围为[，2]∪[，6故选：A.【点评】本题考查集合的交，并集，考查求函数的值域，属中档题.二、多项选择题（共4道，每小题5分，共20分）（多选）95分）下列说法正确的是()【分析】根据已知条件，结合元素与集合的关系，集合与集合的关系，即可求解.【解答】解：对于A，0∈N，故A正确，对于B，0∉{﹣1，1}，故B错误，对于C，∅⊆{0}，故C错误，对于D，{0}⊆{0}，故D正确.故选：AD.【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题.（多选）105分）若集合A＝{x∈N|x≤5}，B＝{x|x≤5}，下列说法正确的是()【分析】利用集合相等、交集、并集、补集的定义直接求解.【解答】解：集合A＝{x∈N|x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x≤5}，对于A，A≠B，故A错误；故选：BC.【点评】本题考查集合的运算，考查集合相等、交集、并集、补集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.（多选）115分）下列运算正确的是A．C．当q＝5时，的值为4D．设ab≠0，当有意义，原式为【分析】A：|x1﹣x2|然后根据方程的根与系数关系可求；B：根据求根公式可检验选项B；C：当q＝5时q﹣1，代入可检验选项C；D：若ab≠0且有意义，则a＜0，然后根据二次根式的意义进行化简即可．【解答】解：A：|x1﹣x2|A正确；B：根据求根公式可得，x2﹣15x+23＝0的解xB正确；C：当q＝5时1﹣+q+﹣2＝q﹣1＝4，C正确；D：若ab≠0且有意义，则a＜0，原式a|b|，D错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查了二次方程的求和公式，二次根式的意义，属于基础题．¬p和命题q皆为真命题，则下列a值符合题意的是【分析】直接利用恒成立问题的应用，存在性问题的应用建立不等式，进一步求出a的取值范围，最后利用真值表建立不等式组确定该题的结论．故a≤[x2]min＝1，命题¬p为真命题，故a＞1；故Δ=4a2﹣16≥0，解得a≥2或a≤﹣2，由于命题¬p和命题q皆为真命题，故，即a≥2.故选项BCD都符合题意.故选：BCD.【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题的应用，存在性问题的应用，真值表的应用，不等式组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.三、填空题（共4道，每小题5分，共20分）【分析】可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.【解答】解：∵M＝{y|y≥2}，N＝{y|y≤6}，故答案为：R.【点评】本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.145分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为(﹣∞,【分析】根据集合的基本关系B⊆A，建立条件关系数形结合即可求实数m的取值范围.【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，则A集合应含有集合B的所有元素，讨论B集合：（1）当B=∅时m≥m，即：m≤0，（2）当B≠∅时，则由数形结合可知：需B集合的端点a满足：解得：0＜m≤1综上由（12）可得实数m的取值范围为：m≤1【点评】本题主要考查集合的基本关系，数形结合的应用，属于基础题.【分析】分别解出两个关于x的不等式，再根据充分条件的概念，可得﹣≤﹣1，解之即可.【解答】解：由4x+p＜0，知x<﹣,由x2﹣x﹣2＞0，知x<﹣1或x＞2，因为“4x+p＜0”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分条件，所以﹣≤﹣1，解得p≥4，所以p的取值范围是[4，+∞).故答案为：[4，+∞).【点评】本题考查充分条件的判断，不等式的解法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.165分）已知函数f（x4a﹣3）x+b﹣2a，xe[0，1]，f（x）≤2恒成立．请画出点P（a，b）表示的平面区域，求得z＝a+b的最大值为.【分析】由题意可知，得到不等式组，进而画出不等式组表示的平面区域即可，再结合线性规划知识即可求出z的最大值.【解答】解：由题意可知，即，所以点P（a，b）表示的平面区域，如图阴影部分所示：令z＝0，作直线a+b＝0，并平移使之经过可行域，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z的值最大，联立方程，解得，即A(=所以z的最大值为故答案为：.=【点评】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了一次函数的性质，属于基础题.四、解答题（共6道，共70分）1710分）若集合A＝{（x，y）|}有且只有一个元素.（1）试求出实数k的值；（2）用列举法表示集合A.【分析】（1）根据已知条件，分k＝0，k≠0两种情况讨论，并结合二次函数的判别式，即可求解.（2）根据（1）的结论，分k＝0，k＝两种情况讨论，即可求解.【解答】解1）当k＝0时，方程组，只有一个解，符合题意，当k≠0时，要使集合A有且只有一个元素，则方程kx2﹣4x+3＝0，Δ=16﹣12k＝0，解得k=.（2）由（1）可得，k＝0或k=,当k＝0时，原方程组转化为，解得，即A＝{0）}，综上所述，A的集合为{0}.【点评】本题主要考查集合的表示法，考查转化能力，属于基础题.1812分）写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）能被12整除的数，也能被23整除；（3）任何一个有理数都是实数.【分析】根据含有量词的命题的否定的定义写出，再判断真假即可得到结论.【解答】解1）存在一个能被12整除的数，不能被23整除，该命题为真命题.（2）命题的否定为：彐p∈R，p2﹣3p+2≠0，是真命题.（3）其否定为：存在一个有理数不是实数，是假命题，【点评】本题考查全称、特称命题的否定，涉及命题真假的判断，属于基础题.1912分）已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|w≤x≤8}.（1）在①w＝7，②w＝5，③w＝4这三个条件中选择一个条件，使A∩B≠∅,并求A∩B；（2）已知A∪B＝{x|3≤x≤8}，求实数w的取值范围.（2）因为A∪B＝[3，8]，A＝[3，6]，B＝[w，8]，得3≤w≤6，由此能求出实数w的取值范围.【解答】解1）选择条件②w＝5，可得3≤w≤6，所以实数w的取值范围为[3，6].【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2012分）一元二次不等式和初中学过的一元二次不等式与二次函数有着异曲同工之妙.（1）解一元二次不等式：2x2+5x﹣12＞0；（2）解关于m的不等式m+4m+5）2（2﹣m）3＜0；（3）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，求﹣cx2+2x﹣a＞0的解集；（4）求关于x的不等式的解集（k﹣1）x2+（k﹣1）x﹣2k＞0.【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可.（2）先得到（m+4m﹣20且m≠﹣5，再求出解集即可.（3）利用根与系数的关系得到a，c，再解一元二次不等式即可.（4）分k＝1，k＞1和k＜1三种情况，分别求出不等式对应的解集即可.【解答】解1）2x2+5x﹣12＝0的两个根为﹣4或，∴（m+4m+5）2（2﹣m）3＜0⇔（m+42﹣m）3＜0且m≠﹣5，∴（m+42﹣m0且m≠﹣5，∴（m+4m﹣20且m≠﹣5，∴m＞2或m<﹣4且m≠﹣5，（3）∵等式ax2+2x+c＞0的解集为，,∴﹣cx2+2x﹣a＞0⇔x2﹣x﹣6＜0，（4）当k＝1时，不等式为﹣2＞0，显然不成立，当k＞1时，不等式化为x2+x﹣>0，所以不等式的解集为{x|x＜或x＞}；当k＜1时，不等式化为x2+x0，令Δ=0，解得k=,若＜