【数学】正方形第1课时课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形

21.3.3正方形第1课时正方形的性质初中数学人教版（2024）八年级下册学习目标1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.(难点)情境引入正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是菱形，又是矩形，它具有的性质有哪些呢？下面我们一起来学习正方形的有关知识.一、正方形的定义及性质问题1

预习课本P75~P76思考：(1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？提示如图，当矩形的一组邻边相等时，就成了正方形.(2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？提示如图，当菱形的一个角是直角时，就成了正方形.知识梳理正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.问题2

预习课本P75~P76思考：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.说出正方形的性质并试着证明.提示

(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等.已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四条边相等，四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定义).又∵正方形是平行四边形，∴正方形是矩形(矩形的定义)，正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.提示

(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.知识梳理正方形的性质：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等.(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分.问题3

预习课本P75~P76思考：(1)请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？(2)正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？提示

正方形是轴对称图形，有4条对称轴.提示

如图所示.例1

正方形具有而菱形不一定具有的性质是A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.对边相等

D.邻边相等√解析因为正方形的四条边相等，对角相等，对角线相等、垂直且互相平分；菱形的四条边相等，对角相等，对角线垂直且互相平分，所以正方形具有但是菱形不一定具有的性质就是对角线相等.跟踪训练1

矩形、菱形、正方形都具有的性质是A.对角互补

B.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D.四条边相等√解析A项，菱形的对角不互补，故本选项错误；B项，矩形的对角线不互相垂直，故本选项错误；C项，平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；D项，矩形的四条边不相等，故本选项错误.例2

(课本P76例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.证明

∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.跟踪训练2

如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD=∠EDA=15°.证明∵△BEC是等边三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠CDA=90°，∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.二、正方形性质的综合应用例3

如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F.求证：AP=EF.证明如图，连接PC，AC.∵四边形ABCD是正方形，∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD，∴AP=PC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF.反思感悟在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形等来证明.跟踪训练3

(1)如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A.75°

B.60°

C.55°

D.45°

√(2)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF.

课堂小结1.一个正方形的对角线长为2

cm，则它的面积是A.2

cm2 B.4

cm2

C.6

cm2 D.8

cm2课堂练习√

2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是

.

22.5°解析∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，又∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.课堂练习3.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为

.

3解析∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°.∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=3，∵四边形ACEF是正方形，∴EF=AC=3.课堂练习4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是

.(填序号)

①②④解析在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD-DF=CD-CE，即AF=DE，∵∠BAF=∠D=90°，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；课堂练习4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是

.(填序号)

①②④解析∴∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；课堂练习4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正确的是

.(填序号)

①②④解析假设AO=OE，连接BE(图略)，∵AE⊥BF(已证)，∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以假设不成立，AO≠OE，故③错误；课堂练习4.如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=