2023-2024学年广东深圳实验学校中学部九年级(上)10月考数学试题及答案

一．选择题（每题3分，共30分）13分）如图，该几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是()23分）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是()A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积一样大33分）如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零则下列比例式中错误的是()43分）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0A（1，2B（0，3以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（06则A点的对应点A′坐53分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()63分）已知方程2x2+3x﹣1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2=()73分）下列方程是一元二次方程的是()）＝83分）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为()93分）如图，一次函数与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是()A．x＜1B．1＜x＜4C．x＞3D．x＞4103分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°;②CF＝2AE；③;④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是()二．填空题（每题3分，共15分）113分）已知x=﹣2是方程x2﹣ax+7＝0的一个根，则a的值是.133分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走米报幕（结果精确到0.1米）.143分）如图，A（0，2D（1，0以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为.153分）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BF＝BC，则线段AM的长是.三．解答题（共55分）165分）解方程：x（x﹣2x﹣2.178分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积.188分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB＝6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长.198分）如图，直线y＝x与双曲线y=（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m3点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD.（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.208分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？219分）[知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：（1）[问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a，BC＝b，则可求得AC2+BD2用a、b的式子表示）（2）[问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC2+BD2＝2（AB2+BC2（3）[问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8AB﹣AC）2=10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值.229分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°,连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由.（1）思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.∵∠ADC=∠B＝90°∠FDG＝180°,∴点F，D，G共线．根据（从“SSS，ASA，AAS，SAS”中选择填写易证△AFG≌,得EF＝BE+DF.（2）类比引申∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF＝BE+DF.（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°.猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程.（4）思维深化如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE=30°,当AB＝4，BD＝1时，直接写出CE的长.一．选择题（每题3分，共30分）13分）如图，该几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是()【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.【解答】解：从上面看底层是两个小正方形，上层是三个小正方形，故选：D.【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.23分）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是()A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积一样大【分析】观察图形，分别表示出三视图由几个正方形组成，再比较其面积的大小.【解答】解：观察图形可知，几何体的主视图由4个正方形组成，俯视图由4个正方形组成，左视图由3个正方形组成，所以左视图的面积最小.故选：B.【点评】此题主要考查了三视图的知识，解题的关键是能正确区分几何体的三视图.33分）如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零则下列比例式中错误的是()【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案.【解答】解：A、=⇒ab＝mn，故正确；B、=⇒mb＝na，故错误；C、=⇒ab＝mn，故正确；D、=⇒mn＝ab，故正确.故选：B.【点评】能够根据比例的基本性质进行比例式和等积式的互相转换.43分）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0A（1，2B（0，3以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（06则A点的对应点A′坐【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标.【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B（0，3）的对应点B′的坐标为（06∴OB：OB'＝1：2＝OA：OA'故选：A.【点评】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键53分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()B.D.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可.【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意.故选：C.【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形，正确记忆两种图形的概念是解题关键.63分）已知方程2x2+3x﹣1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2=()【分析】根据根与系数的关系x1+x2=﹣解答.【解答】解：∵方程2x2+3x﹣1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=﹣.故选：C.【点评】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+=.73分）下列方程是一元二次方程的是()）＝【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.【解答】解：A、x2＝3是一元二次方程，符合题意；B、x2+y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C、2（x+3）＝5x，即3x﹣6＝0未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程.83分）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为B，C，则四边形OBAC的面积为()【分析】由反比例函数的几何意义可直接解答.【解答】解：由反比例函数的几何意义可得，四边形OBAC的面积S＝|k|＝3.故选：B.【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，牢记性质并应用是解题关键.93分）如图，一次函数与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4B（4，1）两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是()A．x＜1B．1＜x＜4C．x＞3D．x＞4【分析】结合图形，一次讨论当x＜1，x＝1，1＜x＜4，x＝4，x＞4时，反比例函数与一次函数的大小，即可得到答案.【解答】解：由图象可知：当x＜1时，反比例函数大于一次函数的函数值，当x＝1时，反比例函数等于一次函数的函数值，当1＜x＜4时，一次函数大于反比例函数的函数值，当x＝4时，反比例函数等于一次函数的函数值，当x＞4时，反比例函数大于一次函数的函数值，即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：1＜x＜4，故选：B.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握数形结合思想是解题的关键.103分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°;②CF＝2AE；③;④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是()【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP＝75°,故①正确；通过证明△BDE∽△DPE，可得∠EPD=∠BDE＝45°,可求∠DPF=∠BHP＝105°,可证△BHP∽△DPF，故④正确；由相似三角形的性质可得==,故③错误，根据∠BPC=∠EPF＝60°,得∠ABE=30°,△BPC是等边三角形，PC＝PB，PE＝PF，得CF＝BE＝2AE②正确；即可求解.【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC＝60°,∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠DCF＝30°,∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC＝60°,∵四边形ABCD是正方形，∴△PEF是等边三角形，∴CP+PF＝CP+PE，:CF＝BE，在Rt△ABE中，:BE＝2AE，:CF＝2AE，故②正确；:上PDE＝15。，:上EBD＝上EDP，“上DEP＝上DEB，:△BDE∞△DPE，“上BPC＝上EPF＝60。，:上FPD＝105。，“上BHP＝上BCH+上HBC＝105。，:上DPF＝上BHP，又“上PDF＝上DBP＝15。，:△BHP∞△DPF，故④正确；:，:=,“上DCF＝30。，:DC＝DF，:=,:故③错误，故选：B.【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.二．填空题（每题3分，共15分）【分析】把x=﹣2代入一元二次方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可.【解答】解：把x=﹣2代入方程x2﹣ax+7＝0得4+2a+7＝0， ：﹣【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.123分）如果关于x的一元二次方程3x2+x﹣m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是m≥﹣.【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围.【解答】解：∵方程有两个实数根，∴Δ=b2﹣4ac＝12﹣4×3×(﹣m）＝1+12m≥0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.133分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走3.8米报幕（结果精确到0.1米）.【分析】根据黄金分割的定义，先求出PB＝AB，再根据AP＝AB﹣PB计算即可得解.【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴PB＝AB=×10＝5﹣5（米﹣（）＝故答案为：3.8.【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．也考查了近似数和有效数字.143分）如图，A（0，2D（1，0以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为（2，3）.【分析】过B作BE⊥y轴，垂足为E，可证明△ABE≌△DAO，可求得OE、BE的长，可求得B的坐标.【解答】解：如图，过B作BE⊥y轴，垂足为E，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE+∠DAO=∠DAO+∠ADO＝90°,∴∠BAE=∠ADO，在△ABE和△DAO中，,∴△ABE≌△DAO（AAS【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等找到条件通过证明三角形全等求得BE、AE的长是解题的关键.153分）如图，正方形ABCD中，AD＝9，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF于点N，若BF＝BC，则线段AM的长是【分析】利用勾股定理求出AF＝3，再证明△AGD∽△FGB，得出==3，进而求得FG，再根据∠ABC+∠AEF＝180°,判断出点A，B，F，E四点共圆，进而得出∠EFG=∠ABD＝45°,由翻折得出：FG＝FM，∠EFM=∠EFG，可得∠AFM＝90°,再运用勾股定理即可得出答案.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝9，∴BF＝BC＝3，在Rt△ABF中，根据勾股定理得：AF===3，∵AD∥BC，∴=,∴==3，∵AG+FG＝AF，∵BD是正方形ABCD的对角线，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°=∠ABC，∴∠ABC+∠AEF＝180°,∴点A，B，F，E四点共圆，∵将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，∴FG＝FM，∠EFM=∠EFG，∴FM＝FG=∴∠AFM=∠EFM+∠EFG＝45°+45°=90°,=∴AM==故答案为：.=【点评】本题是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，构造出相似三角形是解本题的关键.三．解答题（共ss分）165分）解方程：x（x﹣2x﹣2.【分析】先移项得到x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程.【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝1.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.178分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积.【分析】（1）由在平行四边形ABCD中，得到DF∥EB，AB＝CD，由CF＝AE，可得DF＝BE，根据矩形的判定即可求证.（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝FD＝5，由勾股定理可求出DE＝4，即可得出结论.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵CF＝AE，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴四边形BFDE是矩形.（2）解：∵AF平分∠DAB，DC∥AB，∴∠DAF=∠FAB，∠DFA=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20.【点评】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键.188分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB＝6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝3m.（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长.【分析】（1）根据太阳光线为平行光线，连接AC，然后过D点作AC的平行线交BC于E即可；（2）证明△ABC∽△DEF，利用相似比计算DE的长.【解答】解1连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE.∴△ABC∽△DEF，【点评】本题考查了平平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.198分）如图，直线y＝x与双曲线y=（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m3点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD.（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）将点A的坐标为（m3）代入直线y＝x中，可求得A(﹣23即可求得k＝6，解方程组，即可求出点B的坐标；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；（3）分两种情况：当点P在x的正半轴上时，当点P在x的负轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0过点B作BE⊥x轴于点E，通过△OBE∽△OP1B，建立方程求解即可.【解答】解1）将点A的坐标为（m3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m=﹣2，）＝∴反比例函数解析式为y=,∴点B的坐标为（2，3（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴=,∴=,∴=,作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，（3）存在．理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0过点B作BE⊥x轴于点E，∴△OBE∽△OP1B，∴OB==,∴=,∴a=,∴点P1的坐标为0当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0过点A作AH⊥x轴于点H，同理证得点P2的坐标为当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4=【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题.208分）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；（2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（700﹣10y）个，利用月销售利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论.【解答】解1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2=﹣2.2（不符合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；（2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）个，根据题意得y﹣30700﹣10y3960，整理得：y2﹣100y+2496＝0，解得：y1＝48，y2＝52，又∵要尽可能让顾客得到实惠，答：该品牌头盔的售价应定为48元/个.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.219分）[知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：（1）[问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a，BC＝b，则可求得AC2+BD2＝2a2+2b2用a、b的式子表示）（2）[问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC2+BD2＝2（AB2+BC2（3）[问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8AB﹣AC）2=10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值.【分析】（1）根据矩形对角线相等可得AC＝BD，最后由勾股定理可得结论；（2）首先作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE≌△DCF，即可判断出AE＝DF，BE＝CF；然后根据勾股定理，可得AC2＝AE2+（BC﹣BE）2，BD2＝DF2+（BC+BE）2，AB2＝AE2+BE2，再根据AB＝DC，AD＝BC，即可推得结论；（3）首先延长AD至点E，使AD＝DE，根据平行四边形判定的方法，判断出四边形ABEC是平行四边形；然后根据平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和，根据完全平方公式即可得到结论.∵四边形ABCD是矩形，∴AC2＝AB2+BC2，∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2；故答案为：2a2+2b2；（2）证明：如图②,作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，∴∠ABE=∠DCF，在△ABE和△DCF中，,∴△ABE≌△DCF（AAS∴AE＝DF，BE＝CF，在Rt△ACE中，由勾股定理，可得AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①,在Rt△BDF中，由勾股定理，可得BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②,AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2，在Rt△ABE中，由勾股定理，可得AB2＝AE2+BE2，∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2；（3）解：如图3，延长AD至点E，使AD＝DE，,∵AD是BC边上的中线，又∵AD＝DE，∴四边形ABEC是平行四边形，由（2）可得AE2+BC2＝2AB2+2AC2，＝2（AB﹣AC）2+4AB•AC，∵BC＝8AB﹣AC）2＝10，∴36+64＝2×10+4AB•AC，∴AB•AC＝20.【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键.229分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整.原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°,连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由.（1）思路梳理∵AB＝CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.∵∠ADC=∠B＝90°∠FDG＝180°,∴点F，D，G共线．根据SAS（从“SSS，ASA，AAS，SAS”中选择填写易证△AFG≌△AFE，得EF＝BE+DF.（2）类比引申∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF.（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°.猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程.（4）思维深化如图4，在△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE=30°,当AB＝4，BD＝1时，直接写出CE的长.【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′＝EC，AE′＝AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB＝AC得到∠E′BD＝90°,所以E′B2+BD2＝E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE＝DE′得到DE2＝BD2+EC2；（4）分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，①当点D在BC边上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，利用三角函数求出BG，DG，AF，再证明△AFE∽△AGD，运用相