苏科版八年级数学上册 期末复习题-三角形中的线段和角（含答案）

期末复习题----三角形中的线段和角题型1三角形的个数问题1．如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（

）A．9个 B．30个 C．20个 D．27个2．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，图中有个三角形；其中以AB为边的三角形有；以∠ACB为内角的三角形有；在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是．4．如图，图中共有个三角形．题型2构成三角形的条件5．若9条长度均为整数厘米的线段，a1，a2，a3，a4，a5A．18厘米 B．21厘米 C．41厘米 D．34厘米6．两根木棒的长分别是m和m−4(m>4)，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？7．能围成三角形的一组线段是（

）．（单位：厘米）A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，18．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下：火柴根数356…示意图

…根据以上信息，解答下列问题：(1)4根火柴能搭成三角形吗?(2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图．题型3确定第三边的取值范围9．a，b，c分别为△ABC的三边，(1)当a=4，b=8时，求c的取值范围；(2)化简a−b−c+10．设△ABC的三边分别为a，b，c，其中a，b满足a+b−14+a−b+22=0，则最长边11．已知a，b，c为△ABC的三边长，若a，b满足a−3+b−22=0，且12．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a−72+b−3=0，c为奇数，则题型4三角形三边关系的应用13．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c．(1)化简：a+b+c−(2)若a=7，b=2，且c为奇数，求c的值．14．已知△ABC的三边长为a，(1)若a=3，b=5，求边长(2)化简a+b−c−15．若a、b、c是三角形的三边，化简：a+b−c−b−a−c16．如图，已知O为△ABC内任意一点，求证(1)OA+OB+OC>1(2)OA+OB+OC<AB+AC+BC题型5根据三角形中线求长度17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，ED⊥AD交AB于点E，垂足为D，F为AC的中点，连接EF交AD于点G．有下列四个结论：①AD是△ABC的角平分线；②EF是△ABC的边AC上的中线；③ED是△ABD的边AD上的高；④BC是△ABC的边A．1 B．2 C．3 D．418．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，BE=5．(1)若△AEC的面积为20，求AD的长；(2)若S△ABD:S19．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．(1)若AB+4=AC，△ABD的周长为24，求△ACD的周长；(2)若△ABC的面积为48，AE=4，求点B到线段AD的距离．20．如图，在△ABC中，BC=6，点D，E分别是AB，BC上的点，且AD=BD，CE=2BE，连接AE，CD交于点F，当四边形BEFD的面积为215时，边AC长度的最小值为题型6根据三角形中线求面积21．如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC,AD,BE,CE的中点，则四边形AFDG的面积是（

）

A．6 B．5 C．4.5 D．422．如图，在13×9的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知△ABC．(1)画出△ABC中AB边上的高CD，垂足为D．(2)画出△ABC中BC边上的中线AK．(3)直接写出S△ABK=23．如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC(1)AD的长；(2)△ACE的面积；(3)△ACE和△ABE的周长的差．24．如图，△ABC中，点E是BC上一点，EC=2BE，点D是AC的中点，若S△ABC=24，则S题型7重心的概念25．在如图所示的平面直角坐标系中，A9,6，B1,0(1)作△ABC在边BC上的中线AD；(2)在（1）的条件下，求△ABD的面积．(3)在图中标出△ABC的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标．26．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC=6,AC=4，则BD+AE=．27．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．(1)画出△ABC的重心P．(2)在已知网格中找出一个格点D，使△BCD与△ABC的面积相等．28．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4题型8三角形角平分线的定义29．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF=CF B．∠BAE=∠EAC C．∠C+∠CAD=90∘ 30．如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和(1)求证：AO⊥OB；(2)若∠3=3∠2，求∠1的度数．31.下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．432．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为130°，

【简单应用】如图①，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交射线ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）．（1）∠ABO=______°，∠AOB=______°，△AOB______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；（2）若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC,DE平分∠ADC，DE∥BC．若△BCD是“完美三角形”，请直接写出∠B的度数．题型9画三角形的高33.如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形．(1)请在图中画出△ABC的边AB上的高CH(2)请在图中画出△ABC的中线BD(3)请直接写出△ABC的面积．34.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，ΔABC的顶点、点A(1)平移△ABC，使点A与A1重合，画出平移后得到的△(2)连接AA1、CC(3)画出△ABC的高BD．35.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC经过一次平移得到△DEF，图中标出了点A的对应点D．根据下列条件，仅用无刻度的直尺画图：(1)补全△DEF，则△DEF的面积为__________；(2)画出△ABC的中线CG、高线AH；(3)若连接AD、BE，则线段AD、BE的关系为__________．题型10与三角形的高有关的计算问题36.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是．37.如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD,AC边上的高为BG，已知AF=6,BD=10,BG=5．(1)求△ABC的面积；(2)求AC的长．38.我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”．(1)如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm，BC=10(2)若周长为13cm的△DEF是“比高三角形”，且一边长为6cm，则△DEF的“比高系数”39.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，点D是BC边的中点，AD=5，点P从点C出发，沿折线CD−DA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度．连结AP、CP．设点P运动的时间为t（s）．(1)直接写出△ABC的面积S△ABC(2)用含t的代数式表示PD的长．(3)当CP=13AB(4)当3S△ACP=2题型11利用网格求三角形面积40.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上．(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B(2)作出△ABC关于x轴对称的△A(3)求△AA41.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A0,1，B2,0，(1)画出△ABC向下平移2个单位，再向左平移3个单位的图形△A1B(2)已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．42.如图，在所给正方形网格（每个小正方形的边长是1）图中完成下列各题．(1)格点△ABC（顶点均在小正方形的顶点上）的面积为_________；(2)画出格点△ABC关于直线l对称的图形△A(3)在直线l上画出点P，使PA+PB最小．43.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上一点，过点D作AB的垂线，分别交边AB，BC的延长线于点E，F，且AE=CF．(1)求证：点D在∠ABC的平分线上；(2)连接BD，若AB=8，BC=6，求S△ABD参考答案题型1三角形的个数问题1．B解：在直线a上一点A，在直线b上取两点，可构成的三角形有△ADE、△ADF、△ADG、△AEF、△AEG、△AFG，共6个，同样在直线a上一点B，在直线b上取两点，可构成的三角形有6个；在直线a上一点C，在直线b上取两点，可构成的三角形有6个；在直线b上一点D，在直线a上取两点，可构成的三角形有△DAB、△DAC、△DBC，共3个，同样在直线b上一点E，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个；在直线b上一点F，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个；在直线b上一点G，在直线a上取两点，可构成的三角形有3个；所以一共可以组成三角形的个数为6×3+3×4=30个，故选：B．2．A解：有△ABD，△ABC，△BCD，△BCO，△CDO，共5个三角形．故答案为：A．3．8△ABO,△ABC,△ABD△BOC,△ABC∠OBCOB解：图中有8个三角形，分别为：△ABO,△ABC,△ABD，△ADO,△ADC,△OCD，△OBC,△BCD；其中以AB为边的三角形有：△ABO,△ABC,△ABD；以∠ACB为内角的三角形有：△BOC,△ABC；在△BOC中，OC的对角是：∠OBC；∠OCB的对边是：OB；故答案为：8；△ABO,△ABC,△ABD；△BOC,△ABC；∠OBC；OB．4．116解：图中1个小三角形个数为：2×7+9+114个小三角形组成的三角形的个数为：2×4+5+4+3+29个小三角形组成的三角形的个数为：2×4+3+2+116个小三角形组成的三角形的个数为：2×2+1所以图中三角形的个数为：54+36+20+6=116，故答案为：116．题型2构成三角形的条件5．D解：若a1=1厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足ak≥ak−1+ak−2（k≥3）。当a1=1时，可构造一个各项取值最小的数列：a2取最小整数2，后续项取ak=故选：D．6．5<m≤7解：设第三根木棒的长为x，∵两根木棒的长分别是m和m−4(m>4)，∴m−m−4∴4<x<2m−4．∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务，∴6<2m−4≤10，∴5<m≤7．7．BA、1+1=2，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；B、3+3=6>4，3+4=7>3，满足条件，可以构成三角形；C、1+2=3，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形；D、3+1=4，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。故选B．8．（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而1+1=2，∴4根火柴不能搭成三角形；（2）12根火柴能搭成三种不同的三角形，第一种边长分别为：4，4，4；第二种边长分别为：5，5，2；第三种边长分别为：3，4，5，示意图如下：题型3确定第三边的取值范围9．（1）解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，∴b−a<c<b+a，∴8−4<c<8−4，∴4<c<12，∴c的取值范围是4<c<12；（2）解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，∴a<b+c，b<c+a，c+a>b，∴a−b−c=b+c−a+c+a−b−=b+c−a+c+a−b−c−a+b=b−a+c．10．8≤c<14解：∵a+b−14+a−b+22=0，且∴a+b−14=0a−b+2=0解得a=6b=8∴b−a<c<b+a，即8−6<c<8+6，∴2<c<14，又∵c为最长边，∴8≤c<14故答案为：8≤c<14．11．解：∵a−3+∴a−3=0，b−2=0，解得a=3，b=2，∴3−2<c<3+2，∴1<c<5，∵c是整数，∴c=2，3，4．12．15或17或19解：∵a，b满足a−72∴a−7=0，b−3=0，解得a=7,b=3，∵a−b=7−3=4，a+b=7+3=10，∴4<c<10，又∵c为奇数，∴c=5或c=7或c=9∴当c=5时，a+b+c=7+3+5=15当c=7时，a+b+c=7+3+7=17当c=9时，a+b+c=7+3+9=19△ABC的周长为15或17或19．故答案为：15或17或19．题型4三角形三边关系的应用13．（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b+c>0，a−b−c<0，a+b−c>0，∴a+b+c=(a+b+c)−(a+b−c)+[−(a−b−c)]=a+b+c−a−b+c−a+b+c=3c+b−a；（2）∵a=7，b=2，∴7−2<c<7+2，即5<c<9，∵c为奇数，∴c=7．14．（1）解：∵△ABC的三边长为a，b，∴5−3<c<5+3，即2<c<8；（2）解：∵a，b，∴a+b>c，则a+b−c>0，∴a+b−c=a+b−c∵c−a−b=−a+b−c∴c−a−b<0，∴c−a−b=−∴原式=a+b−c15．a+b−3c解：∵a、b、c是三角形的三边，∴a+b>c,a+c>b,b+c>a，∴原式=a+b−c−=a+b−c+b−a−c+a−b−c=a+b−3c．故答案为：a+b−3c16．（1）证明：在△OAB中，OA+OB>AB①，在△OBC中，OB+OC>BC在△OCA中，OC+OA>AC③，①+②+即OA+OB+OC>1（2）证明：如图，延长BO交AC于点D．在△ABD中，AB+AD>BD①，在△ODC中，OD+CD>OC②，①+②，得∵BD=OB+OD，AD+CD=AC，∴AB+AC+OD>OB+OD+OC，∴AB+AC>OB+OC③，同理可证AB+BC>OA+OC④，AC+BC>OA+OB⑤，③+④+∴OA+OB+OC<AB+AC+BC．题型5根据三角形中线求长度17．B解：①∵∠1=∠2，∴AD平分∠BAC．∴AD是△ABC的角平分线，故①正确；②F为AC的中点，但F不是△ABC的边AC对边的顶点，∴EF不是△ABC的边AC上的中线；故②错误；③④根据三角形的高的概念可知ED不是△ABD的边AD上的高，BC是△ABC的边AC上的高．故③错误，④正确，综上所述，正确的个数是2个．故选B．18．（1）解：∵AE是△ABC的中线，∴CE=BE=5，∵△AEC的面积为20，∴12CE·AD=20，即解得：AD=8；（2）解：∵S△ABD∴BD:CD=2:3，∵AE是△ABC的中线，∴BC=2BE=2×5=10，∴BD+CD=10，∴BD=4，CD=6，∴DE=CD−CE=6−5=1．19．（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．∵△ABD的周长=AB+BD+AD=24，AB+4=AC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AB+4+BD+AD=24+4=28；（2）∵△ABC和△ABD的高为同一条，BC=2BD，∴S△ABD同理可得，S△ABE设点B到线段AD的距离为h，则S△ABE解得h=6，∴点B到线段AD的距离为6．20．6解：连接BF．设S△BEF=S，则∵AD=BD，∴S△ADF∵CE=2BE，∴S△CEF=2∵AD=BD，∴S△CAD∴S∴S△CAE∵S△CAE∴845∴S=12∴S△ABC∵BC=6，∴AC⊥BC时，AC最小，即当AC是△ABC的高时，AC=故答案为：6．题型6根据三角形中线求面积21．A解：∵点D为BC中点，∴BD=CD，∴△ABD与△ADC等底同高，∴S△ABD同理可得S△ABE=SS△AEF=12S△ABE=1.5∴S四边形故选：A22．（1）解：在网格上找AB所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接CD、BD，∵水平网格线与竖直网格线互相垂直，∴AB⊥CD，即CD是AB边上的高．（2）解：∵BC长为6个小方格的对角线，∴从点B沿BC数3个小格的对角线，此点即为BC的中点K，连接AK，则AK是BC边上的中线．（3）解：∵BK=CK∴S∵AB=6，CD=6∴S∴S23．（1）解：∵∠BAC＝90°,AB=6cm,AC=8cm∴12∴6×8=10AD，∴AD=4.8cm（2）∵S△ABC=12AB⋅AC=∴S△ACE（3）∵AE是Rt△ABC∴BE=CE，∴△ACE和△ABE的周长的差为AC+CE+AE−AB−BE−AE=AC−AB=8−6=2cm24．6解：如图，连接CF，∵点D是AC的中点，∴设S△ADF∵EC=2BE，∴S△AEC=2S设S△FEB=x，则∵S△AEC∴S△ADF即y+y+2x=2S∴S△AFB∴S△ADF故答案为：6．题型7重心的概念25．（1）解：如图，AD即为所求，（2）解：∵A9,6，B1,0，∴BC=4，BC边上的高为6，∴S（3）解：如图，取AC的中点F，连接BF交AD于点G，此时点G5,226．5解∶∵点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．∴BD=12BC∴BD+AE=1故答案为：5．27．（1）解：如图，点P即为所求，（2）解：如图，点D或（D′）即为所求，．28．D解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确，在Rt△AED和Rt△AFD中，ED=FDAD=AD∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确；∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确；∵AE=AF，ED=FD，∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上，∴AD是EF的垂直平分线，故④正确；∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线，∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误；故选D．题型8三角形角平分线的定义29．D解：∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠CAE，B说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，C说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴E不一定是BC的中点，即BE=CE不一定成立，∴S△ABE故选：D．30．（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∴∠AOG=1∴∠AOB=∠AOG+∠BOG=1∴AO⊥OB；（2）解：∵∠3=∠OGB，∴AB∥CD，∴∠2=∠BOD，∵OB平分∠DOE，∴∠DOE=2∠BOD，∴∠DOE=2∠2，∵∠3=3∠2，∠3+∠DOE=180°，∴3∠2+2∠2=180°，解得：∠2=36°，∵∠AOB＝∴∠1=90°−∠2＝31．A解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意；②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意；③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意；④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意；⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意；综上，正确的有②，共1个，故选：A．32．解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°−∠MON=90°−72°=18°；∠AOB=∠MON=72°；∵72°=18°×4，∴△AOB是“完美三角形”；故答案为：18，72，是；（2）∵∠ACB=90°，∴∠ACO=180°−∠ACB=90°，∴∠OAC=90°−∠AOC=90°−72°=18°，∵72°=18°×4，∴△AOC是“完美三角形”；（3）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD,∠ADE=∠B，∴∠CDE=∠BCD=∠ADE=∠B，根据“完美三角形”的定义得，当∠BDC=4∠B时，6∠B=180°，∴∠B=30°；当∠B=4∠BDC时，9∠BDC=180°，∴∠BDC=20°，∴∠B=4×20°=80°；∴∠B的度数为30°或80°．题型9画三角形的高33.（1）解：如图，CH即为所求，；（2）解：如图，BD即为所求；（3）解：S△ABC34.（1）解：由图形可知：ΔABC先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到△A1（2）解：四边形AA1C故答案为：5．（3）解：如图：线段BD即为所求．35.（1）解：如图，△DEF即为所求．△DEF的面积为12故答案为：7．（2）如图，中线CG、高线AH即为所求；（3）由平移性质得，线段AD、BE的关系为平行且相等．故答案为：平行且相等．题型10与三角形的高有关的计算问题36.24解：∵垂线段最短，∴当CP⊥AB时，PC最小，∵此时S△ABC∴PC=AC×BC故答案为：24537.（1）解：∵△ABC的边BC上的高为AF，∴S△ABD∵A