山西省浑源县第七中学校2026届数学高二上期末统考试题含解析

山西省浑源县第七中学校2026届数学高二上期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（）A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不存在2．已知向量，，则向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）3．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中5块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）A B.C. D.5．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关6．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种C.240种 D.480种9．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（）A. B.C. D.10．曲线在处的切线的斜率为（）A.-1 B.1C.2 D.311．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（）A.2 B.4C. D.12．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________14．等比数列的前项和为，则的值为_____15．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是______①过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8②椭圆C上存在点P，使得③椭圆C的离心率为④P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则线段PQ的最大长度为316．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某公司有员工人，对他们进行年龄和学历情况调查，其结果如下：现从这名员工中随机抽取一人，设“抽取的人具有本科学历”，“抽取的人年龄在岁以下”，试求：（1）；（2）；（3）.18．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长20．（12分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.21．（12分）已知命题p：，命题q：.（1）若命题p为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；22．（10分）已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，且，求的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】应用直线与圆的相离关系可得，再由余弦定理及三角形内角的性质即可判断三角形的形状.【详解】由题设，，即，又，所以，且，故以，，为边长的三角形为钝角三角形.故选：A.2、B【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故选：B.3、C【解析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB与平面PEF所成角的正弦值.【详解】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，设平面PEF的法向量，则，取，得，设PB与平面PEF所成角为，则，∴PB与平面PEF所成角的正弦值为.故选：C.4、C【解析】分别求出取到3块月饼都是同种月饼和取到3块月饼都是五仁月饼的种数，再根据概率公式即可得解.【详解】解：由题意可得，取到3块月饼都是同种月饼有种情况，取到3块月饼都是五仁月饼有种情况，所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是.故选：C.5、A【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.6、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.7、A【解析】由题意，在上恒成立，只需满足即可求解.【详解】解：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，只需满足，即，解得故选：A.8、C【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9、A【解析】由程序图可得，，再分段求解函数的值域，即可求解【详解】由程序图可得，当时，，，当时，，，综上所述，的取值范围为，故选：A10、D【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【详解】因为，所以，所以切线的斜率为.故选：D.11、C【解析】由焦点坐标得到，求解即可.【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得故选：C.12、C【解析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.【详解】故答案为:014、【解析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.故填：.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.15、①②④【解析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①；根据，可通过以为直径作圆，是否与椭圆相交判断②；求出椭圆的离心率可判断③；计算椭圆上的点到圆心的距离的最大值，即可判断④.【详解】对于①，由题意知：的周长等于，故①正确；对于②，，故以为直径作圆，与椭圆相交，交点即设为P，故椭圆C上存在点P，使得，故②正确；对于③，，故③错误；对于④，设P为椭圆上一点，坐标为，则，故，因为，所以的最大值为2，故线段PQ的最大长度为2+1=3，故④正确，故答案为：①②④.16、12【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.【详解】由得，设，，由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，，，，所以，所以该光线经过的路程为12.故答案为：12.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求得；（2）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得；（3）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由表格中的数据可得.【小问2详解】解：由表格中的数据可得，所以.【小问3详解】解：可知即岁以下且专科学历，所以.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【小问1详解】因为D，H分别是PA，PC的中点，所以因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，综上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小问2详解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，则因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，有，，，，则，，设平面BPC的法向量为，则，令，则设平面PCA的法向量为，则，令，则所以．由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为19、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面所以⊥平面因为平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥.所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，.易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，因为，所以，.又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以所以，所以.20、（1）（2）9【解析】(1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可.【小问1详解】不妨设等差数列的公差为，故，，解得，，从而，即的通项公式为.【小问2详解】由题意可知，，所以，故，因为当时，；当时，，所以，由可知，，即，解得，即值为9.21、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范围；（2