高中数学竞赛真题分类汇编专题复数

竞赛专题12复数(50题竞赛真题强化训练)Z₂=2-√3a+bi的模长相等，且Z₁Z₂为纯虚数，则a+·一 .虚数单位，z为复数z的共轭复数)为复数).若f(1)与f(i)均为实数，则|p|+lq的最小值为_ ·z₁z₂+Z₂Z₃=1,z₃Z4+Z₄Z=-1,z₂+z₄∈R,则(19.(2020·全国·高三竞赛)设z为复数.若为实数(i为虚数单位),则|z+3|的_21.(2019贵州·高三竞赛)已知方程x⁵-x²+5=0的五个根分别为x,x₂,x₃,x₄,x₃,那么|@-u²|的最小值是.C,则△ABC的面积是28.(2018-河南·高三竞赛)已知i为虚数单位，则在(√3+i)"°的展开式中，所有奇数项的和是30.(2019全国·高三竞赛)设方程x¹⁰+(13x-1)°=0的10个复根分别为x,x₂,…,x₁₀.则31.(2019·全国·高三竞赛)若n为大于1的正整数，则运动，复数z₂对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动.则复数z+z₂对应的点以有种取值.z的个数为·互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是_比数列.41.(2021全国·高三竞赛)设点Z是单位圆x²+y²=1上的动点，复数W是复数Z的函数：,试求点W的轨迹.z³+(2-a)z²+(1-3a)z+a²-a=0,最小值.√(a²-λab+b²)(b²-λbc+c²)+√(b²-zbc+c²)(c²-Aca+a²)+(2)数列{a}恒为常数.竞赛专题12复数(50题竞赛真题强化训练)1.(2021·全国·高三竞赛)已知z为复数，且关于x的方程4x²-8zx+4i+3=0有实数【答案】1【解析】【详解】解析：x为实数根，若x=0,则4i+3=0,矛盾；故x≠0,故,于是我们可以得当且仅当时等号成立，故所求的最小值为1.故答案为：1.Z₂=2-√3a+bi的模长相等，且Z₁Z₂为纯虚数，则a+b=【解析】【详解】3.(2020-江苏高三竞赛)已知复数z满足|2|=1,则的最大值为 ·【答案】3【解析】【详解】到(1,-J3)的距离.故的最大值为3.故答案为：3._·【答案】1【解析】【详解】5.(2019·甘肃·高三竞赛)在复平面内，复数z,Z₂,z₃对应的【解析】【详解】虚数单位，z为复数z的共轭复数)【答案】6【解析】【详解】设z=x+yi(x,y∈R),当且仅当y=3,即z=3i时，等号成立.故z|-2的最大值为6.为复数).若f(1)与f(i)均为实数，则|p+|q|的最小值为.【解析】【详解】由f(1)=(4+a+c)+(1+b+d)i,f(i)=(-4-b+c)+(-1+a+d)i为依次为z,z₂,…,20,则复数所对应的不同的点的个数是【答案】4【解析】【详解】由2°=1,则0=220-1=(z⁵-1)(z+1)(z³-i)(z³+i),可知z⁵只有4个取值，而的取值不会增加，故应为4个不同的点的个数.故答案为：4.i,zn+1=F(zη),n∈N,则z202的实部为【解析】【详解】故答案为：从而实部为【答案】2【解析】【详解】解析：故答案为：2.【解析】【分析】【详解】故答案为：3⁰.或【答案】或【详解】【解析】故答案为：14.(2021·全国·高三竞赛)已知复数(i虚数单位),则【分析】又,是8次单位根..【解析】【分析】【详解】与a²+ac+c²=i联立，即有a、c均不为0且故答案为：i.Z₁Z₂+Z₂Z₃=1,z₃Z₄+24Z₁=-1,z₂+z₄∈R,则(z-z₃)(z₂+【解析】【分析】【详解】对z₃Z+Z₄Z=-1取共轭，Z₃z₄+Za2₁=-1.0=Z₃(2₂+z₄)+z,(2₂+Z4)=(z+Z)(z₂+z₄).若Z₂+z₄=0,则所求式为0.否则，z+Z₃=0.从而，所求式也为0.的取值范围为_【解析】【分析】【详解】4z-2020-3iz-2019-3iz⁻¹-4=0⇔z-2020(4-3iz)⇔4-3iz=z2020(4+3iz⁻¹)=z2019(4=7(1-a²-b²)=7(1-1z1²).若lz>1,则14-3iz>14z+3i4-3izP-14z+3i²>0,而7(1-1z1²)<0矛盾.设z=cosa+isina,3+4i=5(cosβ+isinβ),则：=5[cos(β+α)+isin(β+a]+5cos(β+α)+所求取值范围是[-10,10].故答案为：[-10,10].的值是【答案】1【解析】【分析】【详解】(1)当时，(2)当时，同理可得原式=1.故答案为：1.最小值为【解析】【分析】设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件计算出a、b的数量关系，然后运用不等式求解出结【详解】设z=a+bi(a,b∈R),由条件知故a+2b=2.从而【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是紧扣已知条件，计算出满足条件的数量关系，继而可以求出结果.20.(2019·浙江·高三竞赛)设z,z₂为复数，且满(其中i为虚数单位),则z|-z₂|取值为【解析】【详解】21.(2019贵州·高三竞赛)已知方程x⁵-x²+5=0的五个根分别为x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,【答案】37【解析】【详解】则设g(x)=x⁵-x²+5,则=(i⁵-i²+5)·[(-i)⁵-(=(6+i)(6-i)=37.故答案为：37.【答案】8【解析】【详解】当Izl=1时，由z⁶=z知z⁷=z·z=z²=1,注意到z⁷=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a,b)符合条件.综上可知，符合条件的有序实数对(a,b)的对数是8.故答案为：8.【解析】【详解】设(x+yi)²=-2-2√3i(x,y∈R),则(x²-y²)+2xyi=-2-2√3i.故有解得或为4的正三角形.又复数Z,z₂对应的点Z,Z₂关于原点O对称，所以OZ为△ZZ₁Z2的高，故答案为：2√3.【答案】1【解析】【详解】为实数，且-1<w<2,当x=0时等号成立.故答案为：1.【解析】【详解】所以zz₂+z₂2=0.当时，最小值能取到.故答案为：√2-1.【答案】【解析】【详解】【答案】4【解析】【详解】即△ABC的面积是故答案为：4.28.(2018-河南·高三竞赛)已知i为虚数单位，则在(√3+i)"的展开式中，所有奇数项【答案】512【解析】【详解】易知((√3+i)°的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部.故填512.29.(2018·全国·高三竞赛)设复数的最小值为_【答案】2【解析】【详解】且此时有|2+iz₂P²=(sinα-cosa)²+3²=10-sin2α=12-t².当t=1,即(k∈Z)时，f的最小值为2.30.(2019全国·高三竞赛)设方程x⁰+(13x-1)°=0的10个复根分别为x,x₂,…,x₁₀.则【答案】850【解析】【详解】设.则：¹⁰=-1.由于方程x⁰+(13x-1)°=0的10个复根分别为x,x₂,…,x₁o,不妨设其为x₁、x₂、x₃、由(13x-1)°=-x¹,知13x-1=xe²⁻¹(k=1,2,…,5).于是，31.(2019·全国·高三竞赛)若n为大于1的正整数，则【答案】0【解析】【详解】【解析】【详解】【解析】【详解】设Z=t+i(1-)(O≤t≤1),Z₂=cosθ+isinθ.则z+Z₂=x+yi=t+cosθ+i(1-1+sinθ).【答案】8.【解析】【详解】解得a=1,b=7.故a+b=8.【答案】【解析】【详解】以有种取值.【解析】【详解】显然，对任意的非负整数n均有|2|=1..若z20=1,则z₀可由Z201=1,得θ20=2kπ(k∈Z),即【解析】【详解】【解析】【分析】【详解】记i为虚数单位.设z是一个满足题意的复数，且z=x+yi(x,y∈R)则矛盾.实数y的个数.角主值相等.(2n+1)π)连续递增变动到(2n+2)π)在[2nπ,(2n+1)z]上恰有一个解，在(2n+1)π,(2n+2)π)上无解.那么,注意到0<y<100,且31π<100<32π.故在(0,100)上有16故答案为32.故答案为：32.【解析】【详解】因为z²+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a²-1)≠0,故a≠±1.点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，-1<a<1满足条件.上，仅当z1、Z2对应的点在以z₃,z₄对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程整理得x²-(z₃+z₄)x+Z₃z₄+y²=0,即x²+2ax+1+y²=0,将点(1,±2)代入得a=-3.综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|-1<a<1}U{-3}.比数列.【答案】答案见解析【解析】【详解】整理得：a(cosθ+sinθ)+a(sinθ-cosθ)i=sin²θ-cos²θ时，代入得(sinθ-cosθ)²=2sinθcosθ⇒tan²故tanθ=2±√3,故θ的值为或或或对于的a分别为故所有的(a,θ)为：41.(2021·全国·高三竞赛)设点Z是单位圆x²+y²=1上的动点，复数W是复数Z的函数：,试求点W的轨迹.【答案】【解析】【分析】【详解】令W=x+yi,则：由②得所以代入③得所以轨迹方程为：z³+(2-a)z²+(1-3a)z+a²-a=0,求【答案】0【解析】【分析】【详解】由z³+(2-a)z²+(1-3a)z+a²-a=0,得a²-a(z²+3z+1)得a²-a(z²+3z+1)+z(z²+2z+1)=0.所以(a-2)[a-(z²+2z+1)]=0.所以=0.复数均有【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】则不难计算得最小值.【解析】【分析】【详解】则另外两个顶点对应的复数分别为z₁+z₂i和z₁-z₂i,依题意有：z³+pz²+qz+r=(z-z₁-z₂)(z-Z-z₂i所以2z²=3q-p²∈Z,4z,z²+8z³=pq-9r∈Z.另一方面，z³+x²+z+1=0的三个复数根恰是面积为1的等腰直角三角形的顶点【答案】【解析】【分析】【详解】设方程三根为z、Z₂、Z₃,正三角形中心对应的复数为z,则有进一步可设z=-a+z,z₂=-a+@z,z₃=-a+w²z.其中i是三次单位根.因此方程是实系数三次方程，必有实根，不妨设z∈R.进一步地，三形的斜边的长度.【解析】【详解】类似地，√a²-λab+b²)(b²-λbc+c²)+√(b²-λbc+c²)(c²-aca+a²【答案】见解析【解析】【详解】注意到，于是，可构造复数易得Z2₂+Z₂z3+Z₃z₁=(a²+b²+c²)+故要证不等式的左边=|2/|lz2|+12|13|+121|l2|=|z,z₂|+lz₂z3|+|z3z|≥|2,z₂+Z₂₃+z₃z|48.(2021·全国·高三竞赛)设z,Z₂,…,Z2020和w₁,W₂,…,W₂020为两组复数，满足：【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】①|z+z2²+1z-z2²=(z+z)(2+z₂)即①式成立.(2)假设n=k时，①式成立，则n=k+1时，我们有即n=k+1时①式成立.由(1)(2)可得：【解析】【分析】【详解】由于|z|=1,且对任意正整数n,均有42++2z2a+1+z²=0,故z≠0(neN).【点睛】