2026届新高考数学三轮冲刺复习导数与单调性、极值和最值

2026届新高考数学三轮冲刺复习导数与单调性、极值和最值命题热度：本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为11~26分.考查方向：考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，二是函数极值，主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用.考点一利用导数研究函数的单调性

例1考向1利用导数求函数的单调区间由题意得函数f(x)的定义域为R，f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a).①当a≥0时，若x∈(-∞，1)，则f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递减；若x∈(1，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.②当-e<a<0时，ln(-a)<1，若x∈(-∞，ln(-a))∪(1，+∞)，则f'(x)>0，解所以f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增；若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)<0，所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减.③当a=-e时，ln(-a)=1，对∀x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增.④当a<-e时，ln(-a)>1，若x∈(-∞，1)∪(ln(-a)，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增；解若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)<0，所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；当-e<a<0时，f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；当a=-e时，f(x)在R上单调递增；当a<-e时，f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.解

例2考向2单调性的应用√

解析(2)(2025·长沙模拟)已知y=f(x)是定义在(1，+∞)上的连续可导函数，其导函数为y=f'(x)，若xf'(x)<f(x)，且f(3)=6，则不等式f(lnx)>2lnx的解集为A.(1，3) B.(3，e2)C.(1，e3) D.(e，e3)√

解析(1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈D上恒成立.(3)若函数y=f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)=0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).(4)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈D上有解.规律方法

√

解析(2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln2，b=18，c=4eln3，则a，b，c的大小关系为A.b>a>c B.a>c>bC.a>b>c D.b>c>a√

解析考点二利用导数研究函数的极值

例3

解(2)若f(x)有极大值，且极大值大于1，求a的取值范围.

解

解f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.规律方法跟踪演练2

(1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)，x∈[-a，a]的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为f'(x)，函数g(x)=(x2-x)f'(x)的图象如图，则下列说法正确的是A.f(x)在x=-1处取极大值B.x=1是f(x)的极大值点C.f(x)没有极小值点D.x=1可能不是导函数f'(x)的极大值点√√√由题图知，解析∴f(x)在(-a，-1)上单调递增，在(-1，a)上单调递减，∴f(x)在x=-1处取得极大值，无极小值点，故A，C正确，B错误；又当0<x<1，1<x≤a时，f'(x)<0，x[-a，-1)(-1，0)(0，1)(1，a]g(x)+-+-x2-x++-+f'(x)+---g(1)=0，当x=1时，x2-x=0，所以f'(1)不一定等于0，当f'(1)=0时，x=1是导函数f'(x)的极大值点，当f'(1)≠0时，x=1不是导函数f'(x)的极大值点，故D正确.解析

√

解析

解析考点三利用导数研究函数的最值

例4√

解析