排列组合课件

【排列组合十一种常考题型】题型题型分类知识讲解与常考题型【题型一：相邻问题捆绑法】知识讲解知识讲解1.明确问题：首先确定题目中要求哪些元素必须相邻。2.捆绑元素：将相邻的元素看作一个整体，即把这些相邻元素“捆绑”在一起，这样就将原来的多个元素组合成了一个新的“大元素”。3.内部排序：对捆绑在一起的元素进行内部排列，计算出它们之间的排列方式。4.整体排列：将捆绑后的“大元素”与其他剩余元素一起进行全排列，计算出所有元素的排列方式。5.计算结果：根据分步乘法计数原理，将捆绑元素的内部排列数与整体排列数相乘，得到最终的排列组合数，即满足相邻条件的所有排列方式。例题精选例题精选1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（

）A．3 B．6 C．12 D．242．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（

）A．2880 B．1440 C．720 D．5761．）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（

）A．3 B．6 C．12 D．242．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（

）A．2880 B．1440 C．720 D．576【题型二：不相邻问题插空法】知识讲解知识讲解1.先排其他元素：先将没有不相邻限制的元素进行排列，确定这些元素的排列顺序和位置，形成若干个空位。2.计算空位数量：观察排好的元素之间以及两端形成的空位数量。3.插入不相邻元素：将要求不相邻的元素插入到这些空位中。计算插入的方法数，即从这些空位中选择相应数量的空位来安排不相邻元素的排列方式。4.计算结果：根据分步乘法计数原理，将第一步中其他元素的排列数与第二步中插入不相邻元素的方法数相乘，得到满足不相邻条件的所有排列方式。例题精选例题精选1．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（

）A．24 B．48 C．144 D．2402．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题3．（24-25高二下·全国·课后作业）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为，2位老师相邻的排法种数为．4．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为.5．（2024·四川德阳·模拟预测）某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为6．（24-25高三下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为用数字作答【题型三：特殊元素或特殊位置】知识讲解知识讲解1.确定特殊元素或特殊位置：仔细分析题目条件，找出具有特殊限制或要求的元素或位置。例如，某些元素必须排在特定位置，或者某些位置只能由特定元素占据等。2.优先处理特殊元素或特殊位置： 对于特殊元素，先将其安排到满足条件的位置上。如果有多个特殊元素，按照其特殊要求依次进行排列。 对于特殊位置，先从符合要求的元素中选取合适的元素填充该位置。3.处理剩余元素和位置：在安排好特殊元素或特殊位置后，再对剩余的普通元素和位置进行常规的排列组合计算。此时可根据具体情况，使用排列数公式或组合数公式来计算排列或组合方式的数量。4.计算结果：根据分步乘法计数原理，将特殊元素或特殊位置的排列组合方式与剩余元素和位置的排列组合方式相乘，得到最终的结果。1．某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（

）A．16种 B．12种 C．8种 D．6种2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（

）A．75种 B．144种 C．288种 D．360种3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（

）种.A．18 B．24 C．27 D．644．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（

）A．180 B．168 C．120 D．905．（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（

）A．72 B．96 C．180 D．2886．）某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．30种二、填空题7．（22-23高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有种不同的选法.（用数字作答）8．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有种．【题型四：正难则反间接法】知识讲解知识讲解1.分析问题：仔细审题，确定问题中需要计算的排列组合情况。判断从正面直接计算是否复杂，如果直接计算需要考虑多种情况，分类讨论较为繁琐，或者难以直接找到计算方法，就可以考虑使用正难则反的方法。2.确定反面情况：明确问题的反面情况是什么。例如，要求计算“至少有一个满足条件”的情况，那么反面就是“一个都不满足条件”的情况；求“甲、乙两人不都在”的情况，反面就是“甲、乙两人都在”的情况。3.计算反面情况的数量：根据排列组合的基本原理和公式，计算出反面情况的排列组合数。这一步需要根据具体问题，运用合适的方法进行计算，可能会用到前面提到的捆绑法、插空法、特殊元素或特殊位置法等。4.计算总的情况数：确定整个问题的所有可能情况的数量，即总的排列组合数。同样需要根据具体问题，选择合适的方法进行计算。5.求出正面情况的数量：用总的情况数减去反面情况的数量，就得到了正面情况的数量，即所求问题的答案。1．）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（

）A．14种 B．16种 C．18种 D．20种3．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（

）A．57种 B．60种 C．114种 D．120种4．（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有种．5．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有种．（用数字作答）6．（2025·湖南邵阳·一模）某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有（请用数字作答）【题型五：定序问题倍缩法】知识讲解知识讲解1.确定定序元素：明确题目中哪些元素是有固定顺序要求的。例如，在一些问题中可能会出现甲必须在乙之前、某几个元素要按特定顺序排列等条件，这些元素就是定序元素。2.计算总排列数：先不考虑元素的定序要求，将所有元素进行全排列，计算出总的排列数。假设共有个元素，那么总排列数为。3.计算定序元素的排列数：对定序元素进行内部排列，计算出它们在定序情况下的排列数。假设定序元素有个，那么定序元素的排列数为。4.求出符合定序要求的排列数：由于定序元素的顺序是固定的，所以在总排列数中，定序元素的每一种排列都被重复计算了。因此，需要用总排列数除以定序元素的排列数，得到符合定序要求的排列数，即。1．（24-25高二下·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（

）A．120种 B．180种 C．240种 D．480种2．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（

）个不同密码．A．240 B．180 C．120 D．723．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（

）A．18种 B．36种 C．60种 D．72种4．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（

）A．480种 B．240种 C．120种 D．60种二、填空题5．（江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有种.6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（用数字作【题型六：平均分组问题】明确分组情况首先确定是将多少个元素进行分组，以及要分成多少组，每组的元素个数是否相同。例如，是将个元素平均分成组，每组个元素，还是有其他的分组方式。计算分组方法不考虑组的顺序：如果是平均分组，且不考虑组与组之间的顺序差异，计算方法是用组合数公式逐步选取元素进行分组。例如，将个不同元素平均分成组，每组个元素，先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；最后剩下个元素作为第三组，有种选法。但这样计算会有重复情况，因为这三组的顺序是无意义的，比如与等其实是同一种分组情况，所以需要除以这组的全排列以消除重复。总的分组方法数为。考虑组的顺序：如果分组后还要对组进行排序，比如将分好的组分配到不同的位置或任务中，那么在不考虑组顺序的分组方法数基础上，再乘以组的全排列数。例如，将上述平均分成的组分配到个不同的项目中，那么方法数就是。处理特殊情况如果分组中存在部分组元素个数相同，部分组元素个数不同的情况，要分别考虑。例如，将个元素分成组，一组个元素，一组个元素，一组个元素。先从个元素中选个作为第一组，有种选法；然后从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；剩下个元素作为第三组，有种选法。由于第二组和第三组元素个数相同，存在重复情况，需要除以以消除重复。所以总的分组方法数为。例题精选例题精选1．（2025高三·全国·专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（

）A．15 B．90 C．270 D．540二、填空题2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为.相似练习相似练习3．（24-25高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？4．（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本；(2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；(3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．【题型七：部分平均分组问题】知识讲解知识讲解确定分组类型明确题目中给出的分组要求，判断哪些组是平均分组，哪些组是非平均分组。例如，将$10$个元素分成组，其中两组各个元素，另外两组各个元素，这就是典型的部分平均分组问题，有两组是平均分组（每组个元素的两组和每组个元素的两组），另外两组是非平均分组（这里非平均分组的数量为，但在其他问题中可能存在不同数量的非平均分组）。计算分组方法平均分组部分：对于平均分组的部分，按照平均分组的计算方法进行。假设要将个元素平均分成组，每组个元素（），先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；以此类推，直到选出第组。但这样计算会有重复情况，因为这组的顺序是无意义的，所以需要除以组的全排列以消除重复。例如前面提到的将$10$个元素分成两组各个元素的情况，计算方法为。对于每组个元素的两组，计算方法为。非平均分组部分：对于非平均分组的部分，直接用组合数进行选取。例如，如果还有一组个元素的非平均分组，从剩下的元素中选个的方法数就是（这里是在前面已经分完两组各个元素和两组各个元素后，剩下个元素选个形成一组）。汇总计算：将平均分组部分和非平均分组部分的计算结果相乘，得到总的分组方法数。对于将$10$个元素分成两组各个元素、两组各个元素的例子，总的分组方法数为。例题精选例题精选1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（2025·新疆·二模）新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（

）A．54种 B．90种 C．150种 D．540种3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（

）A．120 B．300 C．180 D．1504．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种相似练习相似练习5．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（

）A．260种 B．220种 C．160种 D．130种【题型八：排列组合综合问题：先分类在分步】知识讲解知识讲解1.分类 确定分类标准：根据题目中的条件和特点，找到一个合适的分类依据。例如，元素的性质、位置的要求、排列或组合的特殊情况等。分类标准要确保各类之间相互独立，且所有情况都能被涵盖。 列举各类情况：按照分类标准，将问题详细地分为不同的类别。每一类都应该是一个相对独立且容易分析的子问题。例如，在排列问题中，可以根据某个特殊元素的位置进行分类；在组合问题中，可以根据元素的选取条件进行分类。2.分步 分析每类中的步骤：对于每一类情况，将其进一步分解为若干个步骤。每个步骤都应该有明确的任务和目标，通常是完成一个元素的排列或组合操作。 计算每步的方法数：确定每个步骤的方法数。这需要运用排列组合的基本原理和公式进行计算。例如，在排列步骤中，可能会用到排列数公式；在组合步骤中，可能会用到组合数公式。 计算每类的方法数：根据分步乘法计数原理，将每类中各个步骤的方法数相乘，得到每类情况的总方法数。即如果完成一件事需要个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。3.汇总结果 汇总各类方法数：根据分类加法计数原理，将所有类别的方法数相加，得到整个问题的最终答案。即如果完成一件事有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。例题精选例题精选1．（2025高三·全国·专题练习）某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（

）A．6300 B．12600 C．25200 D．504002．（24-25高二下·全国·课后作业）某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种3．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（

）A．30种 B．60种 C．90种 D．120种4．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有种.5．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.6．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有种．【题型九：染色问题】知识讲解知识讲解按颜色的使用情况分类确定颜色种类：先明确题目中可供使用的颜色数量，以及需要染色的区域或元素数量。分类讨论：根据使用颜色的数量进行分类。例如，使用种颜色给个区域染色，可能存在某些区域颜色相同的情况，需要分别讨论不同的颜色分配方式。按区域的相邻关系分步分析区域关系：确定各个区域之间的相邻关系，明确哪些区域不能染相同颜色。分步染色：从某个区域开始，依次对相邻区域进行染色。每一步染色都要考虑到已染色区域的颜色限制，以及当前可供选择的颜色数量。例如，先染一个区域，有种颜色可选；再染与它相邻的区域，由于不能与第一个区域同色，所以有种颜色可选，以此类推。利用排列组合公式计算计算方法数：在每一类或每一步中，根据排列组合的基本原理计算染色的方法数。如果是对不同元素进行全排列，可使用排列数公式；如果是从个元素中选取个元素的组合，可使用组合数公式。汇总结果：将各类或各步的方法数根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行汇总，得到最终的染色方法总数。例题精选例题精选1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）A．288种 B．296种 C．362种 D．384种2．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（

）A．48种 B．96种 C．102种 D．120种3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（

）种灯光组合.A． B． C． D．4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．

5．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有种不同的染色方案.6．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有种不同涂法.②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有种不同涂法.三、解答题7．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）（1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？（2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？【题型十：排数问题】知识讲解知识讲解1.明确问题类型 首先判断是排列问题还是组合问题。排列问题关注元素的顺序，不同顺序视为不同结果；组合问题则只关心元素的选取，不考虑顺序。例如，从、、中选两个数组成两位数，这是排列问题，因为$12$和$21$是不同的两位数；而从、、中选两个数求和，这是组合问题，因为和结果相同，不考虑顺序。2.确定限制条件 仔细分析题目中的限制条件，如数字的取值范围、是否允许重复、特定位置的数字要求等。比如，用、、、组成无重复数字的三位数，这里不能在百位就是一个关键限制条件。3.选择解题方法 直接法：根据题目要求直接计算排列或组合数。例如，从个不同数字中选个进行排列，可直接用排列数公式种排法。 间接法：当直接计算比较复杂时，可先计算总的情况数，再减去不符合条件的情况数。比如，计算用到这个数字组成无重复数字且大于$2000$的四位数的个数，可先计算所有四位数的个数，再减去千位是的四位数的个数。4.分步或分类计算 分步：如果完成一件事需要多个步骤，那么按照步骤依次计算每一步的方法数，再根据分步乘法计数原理将各步骤的方法数相乘。例如，用、、、组成无重复数字的四位数，可分四步，第一步确定千位数字，有种选法；第二步确定百位数字，有种选法（因为千位已用去一个数字）；第三步确定十位数字，有种选法；第四步确定个位数字，有种选法。所以共有种排法。 分类：当问题可以按照不同情况进行分类时，分别计算每类情况的方法数，然后根据分类加法计数原理将各类方法数相加。例如，用、、、组成无重复数字的偶数，可分两类，一类是个位为，此时有种排法；另一类是个位为，此时千位有种选法（不能选），百位有种选法，十位有种选法，共有种排法。所以一共有种排法。5.检查结果 检查计算过程是否正确，是否遗漏了某些情况或重复计算了某些结果。特别是在分类和分步的过程中，要确保每一种情况都被准确考虑，且没有交叉重复。例如，在分类时要保证各类之间相互独立，在分步时要保证每一步的方法数计算准确。例题精选例题精选1．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（

）A．30个 B．36个 C．42个 D．48个2．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．24个 B．26个 C．30个 D．42个3．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（

）A．252个 B．300个C．324个 D．228个相似练习相似练习二、多选题4．（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四