一元一次方程的应用行程问题 七年级上册数学北师大版

一元一次方程的应用行程问题七年级上册数学北师大版汇报人：xxxYOUR01课程介绍课程目标与要求理解方程应用理解一元一次方程在行程问题中的应用，要明白如何通过方程来描述路程、速度和时间的关系，学会用方程解决行程中的实际问题。掌握行程问题掌握行程问题的各类题型，如相遇、追及、环形跑道等问题，熟悉不同题型的特点和解题思路，提升对行程问题的综合分析能力。提升解题能力通过练习和分析行程问题，学会准确找出等量关系、合理设未知数、正确列出方程并求解，逐步提升解决行程问题的能力。培养数学思维在解决行程问题的过程中，培养逻辑思维、推理能力和几何直观，学会用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达行程问题。课时内容概览本章节重点在于掌握用一元一次方程解决行程问题的方法，准确找出行程问题中的等量关系，借助“线段图”分析数量关系并建立方程。本章节重点安排合理的学习时间，先系统学习行程问题的基本概念和公式，再通过例题和练习巩固，最后进行综合训练和总结，确保扎实掌握知识。学习时间安排参考北师大版七年级上册数学教材中关于一元一次方程应用行程问题的章节，深入理解教材中的例题和讲解，掌握解题的步骤和方法。教材参考部分达成目标的标准是能够熟练运用一元一次方程解决各种行程问题，准确找出等量关系并列出方程，正确求解并验证答案，同时能将知识应用到实际生活中。达成目标标准学习重要性实际问题意义一元一次方程在行程问题中的应用具有重要实际意义，能帮助我们解决生活中的出行规划、交通调度等问题，使数学与生活紧密联系。日常应用场景行程问题的日常应用场景广泛，如计算出行时间、规划旅游路线、安排运输任务等，掌握相关知识能更好地应对生活中的行程问题。数学建模基础以行程问题为基础建立数学模型，学会分析问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程，为今后解决更复杂的实际问题奠定数学建模基础。逻辑思维训练在行程问题中运用一元一次方程解题，能有效训练逻辑思维。学生需分析问题、找等量关系、列方程求解，这一过程可提升逻辑推理与分析能力。课前准备事项复习一元一次方程的定义、性质和解法等知识，为学习行程问题的应用打基础，确保能熟练运用方程解决实际问题。复习方程知识准备好纸、笔、尺子等学习工具，方便绘制线段图分析行程问题中的数量关系，准确找出等量关系列方程。准备学习工具思考生活中如跑步、乘车等行程实例，初步感受行程问题的特点和其中的数量关系，为课堂学习做好铺垫。思考相关实例预习教材中一元一次方程在行程问题里的应用部分，了解基本概念和例题解法，标记疑惑点，以便课堂重点学习。预习教材内容02一元一次方程基础方程定义回顾什么是一元方程一元方程指只含一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程。它是解决行程问题等实际问题的重要工具。一次方程特点一次方程的未知数最高次数是1，等号两边都是整式。其解是使方程左右两边相等的未知数的值，用于行程问题很有效。标准形式展示一元一次方程的标准形式是ax+b=0（a≠0），清晰呈现方程结构，利于分析和求解行程问题中的未知量。基本解法概述解一元一次方程一般有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，掌握这些能解决行程问题方程。解方程关键方法01020304移项操作规则移项是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。移项要变号，这是解方程的关键步骤，用于行程问题方程化简。同类项合并同类项合并是把方程中含相同未知数且次数相同的项合并成一项。能简化方程，更方便求解行程问题中的未知数。系数化简步骤系数化简是解方程的关键步骤，首先要明确方程的各项系数，对于分数系数可通过等式两边同乘公倍数化为整数系数，对于小数系数则可适当扩大倍数来化简。验证解正确性验证解的正确性是确保方程求解无误的重要环节，需将求得的解代入原方程，查看方程左右两边是否相等，以此判断解是否符合方程要求。应用建模基础变量设定技巧变量设定是解决一元一次方程行程问题的基础，要选择与问题关联紧密的量设为未知数，并且明确其含义和单位，必要时可设间接未知数来解题。等量关系识别识别等量关系需要仔细分析题目，常见的行程问题等量关系有路程、速度和时间之间的关系，如相遇问题中路程之和等于总路程，追及问题中两者路程差等于特定距离。建模步骤简述建模首先要认真审题，明确已知量和未知量；再找出等量关系；接着合理设定变量并列出方程；求解方程后检验结果是否符合实际意义。常见错误分析常见错误包括变量设定不合理，导致后续方程难以建立；等量关系找错，使方程列错；求解过程中计算失误，以及检验环节未判断解是否符合实际情况。简单实例练习以一道具体的行程问题为例，如甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为80km/h，乙车速度为60km/h，A、B两地相距420km，求两车相遇时间。例题展示针对上述例题，第一步理解问题，明确要求的是相遇时间；第二步设两车相遇时间为x小时；第三步根据路程之和等于总路程的等量关系列出方程80x+60x=420；第四步解方程得x=3；第五步检验，将x=3代入方程验证左右两边相等且符合实际。步骤演示学生可尝试改变题目中的速度、路程等条件重新解题，也可将相向而行改为同向追及问题来设未知数、找等量关系和列方程求解。学生尝试点通过对多个不同类型行程问题的练习，强化一元一次方程在行程问题中的应用，加深对变量设定、等量关系和方程求解的理解。强化知识点03行程问题概述行程问题定义基本概念介绍行程问题主要涉及速度、时间和路程这三个核心要素，它们之间的基本关系是路程等于速度乘以时间，通过对这些概念的理解来解决实际的行程问题。核心要素解析行程问题的核心要素包含速度、时间与路程。速度体现运动快慢，时间是运动的时长，路程则是运动轨迹的长度。三者紧密相关，是解决问题的关键。速度时间关系速度与时间是行程问题中的关键变量，它们相互制约。速度越快，相同路程所需时间越短；时间越长，在相同速度下走过的路程越远。公式推导展示从速度、时间、路程的定义出发，可推导出路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度这三个重要公式，为解题提供依据。关键术语解释平均速度是指在一段路程中，物体运动的总体快慢程度。它并非简单的速度平均值，而是总路程与总时间的比值，能更准确反映运动情况。平均速度含义相对速度在解决多物体运动问题时极为重要。当两物体同向运动，相对速度为速度之差；相向运动时，相对速度为速度之和，可简化问题求解。相对速度应用追及问题是指一个物体追赶另一个物体的行程问题。其关键在于明确两者的速度差和初始距离，通过建立方程来求解追及时间。追及问题基础相遇问题是两物体相向运动直至相遇的情况。解题时要关注两者速度和与总路程，利用路程和等于速度和乘以相遇时间来建立方程。相遇问题基础问题分类标准单一运动类型单一运动类型的行程问题，物体运动状态较为简单。通常只需依据基本公式，结合题目给定的速度、时间、路程条件，就能轻松求解。多物体互动多物体互动的行程问题较为复杂，涉及多个物体的运动。需分析各物体间的速度关系、位置变化，找出等量关系，进而建立方程解决问题。方向差异行程问题中方向差异会影响解题思路。同向、相向、背向等不同方向，对应的路程关系和等量关系各不相同，要仔细分析方向来建立正确方程。复杂场景复杂场景的行程问题包含多种因素，如中途停留、速度变化等。需要全面梳理题目信息，找准关键等量关系，逐步求解。数学建模意义01020304建模步骤简述行程问题建模需先仔细审题，确定已知与未知量，再找出等量关系。接着合理设未知数，依据等量关系列出方程，最后求解并检验答案是否符合实际。实际应用价值行程问题建模在生活中应用广泛，如规划出行时间、计算交通工具相遇或追及情况等，能帮助我们解决实际出行和运输等方面的问题。学生任务指导学生需认真分析题目，通过画线段图等方式找出等量关系，合理设未知数列出方程。解题后要检验答案，还需思考不同解法和拓展问题。案例导入以小明和小红相约骑行相遇为例，小明家与小红家相距20km，小明速度13km/h，小红速度12km/h，小明先走30min，问小红多久能与小明相遇，引入行程问题。04常见行程问题类型匀速直线运动定义与公式匀速直线运动是速度不变的直线运动，公式为路程=速度×时间，变形可得速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，这些公式是解决行程问题的基础。基本计算根据匀速直线运动公式，已知速度和时间可求路程，已知路程和速度可求时间等。如速度为5m/s，时间为10s，则路程为5×10=50m。实例分析小明骑车速度15km/h，骑行3小时，根据公式路程=速度×时间，可得小明骑行路程为15×3=45km，体现公式在实际中的应用。练习题目甲、乙两人分别从相距30km的两地同时出发相向而行，甲的速度为6km/h，乙的速度为4km/h，问经过几小时两人相遇？请同学们运用所学知识解答。追及问题详解追及问题常见场景如两人同向而行，速度快的在后追赶速度慢的；或者同地不同时出发，后面出发的速度快的追赶前面先出发的等情况。场景描述对于同向同地不同时的追及问题，可根据快者路程=慢者先走路程+慢者后走路程建立方程；同向同时不同地的追及问题，根据快者路程-慢者路程=两出发地距离建立方程。方程建立先设未知数，再根据追及问题场景找出等量关系列方程，然后运用移项、合并同类项、系数化为1等方法解方程，最后检验答案是否合理。解法步骤小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学，他以80米/分的速度出发5分钟后，爸爸发现他忘带语文书，立即以180米/分的速度去追，爸爸追上小明用了4分钟，此时距学校还有280米。典型例子相遇问题解析场景描述甲、乙两车站相距450km，一列慢车从甲站开出，速度为65km/h，一列快车从乙站开出，速度为85km/h，两车同时开出，相向而行，描绘了两车在两站间相向行驶直至相遇的场景。方程建立设两车行驶xh后相遇，根据甲站慢车所行路程+乙站快车所行路程=甲、乙两车站相距总路程这一等量关系，可建立方程65x+85x=450。解法步骤先对65x+85x=450进行合并同类项，得到150x=450，然后方程两边同时除以150，即x=450÷150，解得x=3。典型例子A、B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6千米/时，经过4小时两人相距4千米，可通过设时间为未知数建立方程求解。环形跑道问题环形跑道问题中，两人同向而行时，快者比慢者多跑一圈才能再次相遇；两人相向而行时，两人路程之和为一圈的长度，具有周期性和重复性的特点。特点介绍关键在于明确是同向还是相向运动，确定路程差或路程和与跑道周长的关系，合理设未知数，根据速度、时间和路程的关系建立一元一次方程。建模关键在环形跑道上，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，跑道长400米，若两人同向同时同地出发，设x秒后甲追上乙，可列方程5x-3x=400求解。实例解析给出环形跑道的长度、两人的速度等条件，让学生自己判断运动类型，设定未知数，找出等量关系，建立并求解一元一次方程来解决问题。学生尝试05解题步骤详解步骤一理解问题阅读题目仔细阅读行程问题的题目内容，明确题目所描述的场景，如两人是同向、相向还是背向运动，以及涉及的速度、时间、路程等关键信息。提取信息从题目中提取出已知的速度、时间、路程等数据，同时识别出未知量，例如两人相遇的时间、追及的时间、某段路程的长度等信息。识别变量识别行程问题中的变量，需结合路程、速度、时间关系，像追及问题里的出发时间差、速度差等，准确找出影响结果的关键因素。明确目标明确行程问题求解目标，判断是求路程、速度还是时间，例如相遇问题中求相遇时间，明确目标才能有针对性地解题。步骤二设定变量01020304选择未知数选择未知数要考虑问题核心，通常设所求量为未知数，如在追及问题中设追及时间为未知数，便于构建方程求解。定义符号定义符号要清晰规范，用常见字母表示路程、速度、时间等，如s表示路程，v表示速度，t表示时间，确保符号使用准确。单位统一单位统一是解题关键，行程问题中速度、路程、时间单位要一致，如速度是千米/小时，路程就用千米，时间用小时，避免计算错误。避免错误避免错误需仔细审题，准确理解题意，防止遗漏条件或错误解读，如相遇问题中注意是否有提前出发等特殊情况。步骤三建立方程找等量关系找等量关系要依据行程问题类型，像相遇问题中，两者路程之和等于总路程；追及问题中，两者路程之差等于初始距离。写方程写方程要根据找到的等量关系，结合所设未知数，将文字描述转化为数学表达式，如相遇问题可写成v₁t+v₂t=s的形式。简化形式简化形式要对列出的方程进行整理，合并同类项、去括号等，使方程更简洁，便于求解，如将复杂方程化为ax=b的形式。检查逻辑检查逻辑要确保方程符合实际情况，等量关系合理，如方程中时间不能为负数，路程不能小于零等。步骤四求解方程解法应用要根据方程特点选择合适方法，如一元一次方程可通过移项、系数化为1等步骤求解，得出未知数的值。解法应用在求解一元一次方程用于行程问题时，依据所建立的方程，运用移项、合并同类项、系数化为1等步骤，逐步计算得出未知数的值，过程需严谨细致。计算过程将计算所得的解代入原方程以及行程问题的实际情境中，检查方程左右两边是否相等，同时看是否符合行程问题中速度、时间、路程的实际关系。验证解对于求解出的未知数，将其对应到行程问题的实际场景里，解释其代表的具体意义，如时间是多久、路程是多远、速度是多少等。解释结果步骤五应用反思实际应用一元一次方程在行程问题的实际应用极为广泛，像出行规划、交通调度等，通过建立方程解决实际中的行程问题，提升解决实际问题的能力。反思错误回顾解题过程，检查是否在理解问题、设定变量、建立方程、求解方程等环节出现错误，分析错误原因，总结经验教训。优化方法思考是否有更简便、高效的方法来解决行程问题，如选择更合适的变量、运用更巧妙的等量关系等，提升解题的速度和准确性。扩展思考对行程问题进行拓展，考虑不同的运动场景、条件变化等，尝试建立新的方程来解决问题，培养创新思维和拓展能力。06实例分析实例一追及问题小明以80米/分钟的速度出发5分钟后，爸爸发现他忘带东西，爸爸立即以180米/分钟的速度沿同一路线去追小明，求爸爸追上小明所用的时间。题目描述设爸爸追上小明用了x分钟，那么小明总共走的时间为(x+5)分钟，这里以时间为变量便于建立方程。变量设定根据爸爸追上小明时两人所走路程相等这一关系，可列出方程80×5+80x=180x，以此来求解时间。方程建立首先对80×5+80x=180x进行移项，得到180x-80x=80×5，然后合并同类项得100x=400，最后系数化为1，解得x=4。求解过程实例二相遇问题题目描述甲、乙两车站相距450km，一列慢车从甲站开出，速度为65km/h，一列快车从乙站开出，速度为85km/h。两车同时开出，相向而行，问经过多长时间两车相遇？这是一个典型的相遇问题，需要运用一元一次方程来求解。变量设定设两车行驶xh后相遇。这里选择x作为未知数来表示时间，单位为小时，这样能方便地利用速度、时间和路程的关系来建立方程，避免出现单位不统一等错误。方程建立根据相遇问题的等量关系，即甲站慢车所行路程+乙站快车所行路程=甲、乙两车站相距总路程。可列出方程65x+85x=450，通过这个方程能准确地反映题目中的数量关系。求解过程对65x+85x=450进行求解，先合并同类项得到150x=450，然后将系数化为1，两边同时除以150，解得x=3。最后将x=3代入原方程进行验证，等式成立，说明两车行驶3小时后相遇。实例三复杂行程01020304题目描述小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。问爸爸追上小明用了多长时间，追上小明时距离学校还有多远？这是一个追及问题，需要通过建立方程来解决。变量设定设爸爸追上小明用了x分钟。以x作为未知数表示爸爸追及的时间，单位为分钟，这样便于根据速度、时间和路程的关系来构建方程，同时要注意小明行走的时间是(x+5)分钟。方程建立根据追及问题的等量关系，爸爸走的路程=小明走的路程，可列出方程180x=80×5+80x。此方程准确地体现了题目中两人路程的关系，为求解问题提供了依据。求解过程对180x=80×5+80x进行求解，先移项得到180x-80x=80×5，即100x=400，再将系数化为1，两边同时除以100，解得x=4。爸爸追上小明用了4分钟，此时爸爸走的路程为180×4=720米，那么距离学校还有1000-720=280米。将x=4代入原方程验证，等式成立。实例四学生互动提供题目育红学校七年级学生步行到郊外旅行，1班的学生组成前队，步行的速度为4千米/小时，2班的学生组成后队，速度为6千米/小时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/小时。问后队追上前队时，联络员骑了多少千米？引导思路首先分析这是一个追及问题，关键是找出后队追上前队所用的时间。可以设后队追上前队用了x小时，根据前队先走1小时以及两队的速度，利用追及问题的等量关系列出方程。求出后队追上前队的时间后，再根据联络员的速度和这个时间来计算联络员骑行的路程。预期解法设后队追上前队用了x小时，根据前队先走1小时，可得到等量关系：后队走的路程=前队先走的路程+前队后走的路程，即6x=4×1+4x，解得x=2。因为联络员骑车的时间和后队追上前队的时间相同，且联络员速度为12千米/小时，所以联络员骑的路程为12×2=24千米。讨论答案组织学生针对实例四的解答展开讨论，鼓励大家发表不同见解，探讨答案的合理性与多种解法，加深对行程问题的理解。07练习与巩固练习题一呈现题目：“小明的家与小红的家相距20km，小明骑车速度为13km/h，小红骑车速度为12km/h，若小明先走30min，小红骑车多久能与小明相遇？”让学生明确问题。题目展示给学生一定时间独立思考并解答该题目，要求他们运用所学的一元一次方程知识，按照解题步骤来解决这个行程相遇问题。独立尝试若学生遇到困难，提示可设小红骑车时间为未知数，根据“小明先走的路程+小明后走的路程+小红走的路程=两家距离”这个等量关系来列方程。提示帮助详细分析解答过程，设小红骑车x小时与小明相遇，小明先走0.5小时，可列方程13×0.5+13x+12x=20，解释每一步的依据和意义。解答分析练习题二题目展示提出题目：“甲、乙两城相距291千米，两汽车同时从两城相对开出，3.5小时后两车相距35.5千米，已知甲车速度为38千米/小时，求乙车的速度。”使学生清晰题目内容。独立尝试让学生自主解答此问题，引导他们思考并找出本题的等量关系，列出一元一次方程来求解乙车速度。提示帮助当学生有疑惑时提示，可设乙车速度为未知数，根据“甲走的路程+乙走的路程+35.5=两城距离”建立方程去解决问题。解答分析深入分析解题过程，设乙车速度是x千米/小时，方程为38×3.5+3.5x+35.5=291，阐述列方程思路和求解步骤的逻辑。练习题三给出题目：“甲从A地、乙和丙从B地同时出发相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米，当甲和乙相遇后，过了15分钟甲又与丙相遇，求A、B两地之间的距离。”让学生明确目标。题目展示要求学生独自完成这道题，提醒他们分析题目中的人物运动情况，找出关键的等量关系，运用一元一次方程求解A、B两地距离。独立尝试在解决本题时，可先根据题目所给信息明确已知量与未知量，再借助线段图分析行程中的数量关系，找出等量关系来列方程，注意单位要统一。提示帮助本题是行程相遇问题，需要根据题目情况找出路程、速度、时间之间的等量关系。假设合适的未知数，按照相遇时两人所走路程之和等于总路程来列方程求解，解出结果后要检验是否符合实际情况。解答分析综合挑战混合问题这里的混合问题包含不同类型的行程问题，可能有相遇与追及结合的情况，也可能涉及多种速度变化或多段路程的情形，需要综合运用所学知识来分析和解决。难度提升题目会在行程的复杂性上做文章，例如增加多个运动物体，或速度有动态变化，或时间关系更隐蔽，对同学们分析问题和建立方程的能力要求更高。小组讨论同学们分组交流解题思路，分享各自对题目的理解和分析方法，互相启发，共同探讨如何从复杂的题目中提取关键信息、建立合适的方程来求解。集体讲解针对小组讨论中存在的共性问题和难题进行详细讲解，梳理解题的步骤和思路，强化同学们对复杂行程问题的理解和掌握，加深对知识点的运用。08总结与作业本课总结01020304知识点回顾回顾了一元一次方程的定义、解法，以及行程问题中路程、速度、时间的关系，还掌握了相遇、追及、环形跑道等不同行程问题的特点和方程建立方法。