6数学建模从自然走向理性之路课件高一下学期数学湘教版

数学建模

——从自然走向理性之路一

16世纪，意大利物理学家伽利略通过对自由落体运动的研究，得出自由落体运动过程的路程模型.自由落体运动方程是自然科学史上一项伟大的成果，该运动方程的得到是数学建模方法的经典之作.下面，我们以物体自由落体运动方程为例，说明数学建模的过程.

1.问题描述位于高处的物体，如果失去了支撑就会下落，这是每个人都知道的自然现象.战国时期的墨子以及古希腊哲人亚里士多德就对该现象产生的原因进行过论述，不过古代的人们并不清楚这种现象是力作用的结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因是物体的质量.数学建模——从自然走向理性之路一

2.模型假设伽利略通过反复观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系，即v∝t①.他注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关.因此只能在理想条件下构建物体下落的模型，为此，必须假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计.在此假设的前提下，物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关.①符号“∝”表示成正比例.数学建模——从自然走向理性之路不受任何阻力，只在重力作用下降落的物体为自由落体.一

3.模型建立基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度h只与运动时间t以及加速度g②有关，此时，h是关于t与g的函数h=f(t，g).②此处的g实际上是重力加速度.数学建模——从自然走向理性之路一

4.模型求解根据伽利略关于速度与时间成正比例关系，即v∝t的假设，若物体下落1s时的速度为gm/s，则下落2s时的速度为2gm/s，…，下落ts时的速度为tgm/s.伽利略当年利用物体下落ts路程的平均速度乘以时间(根据路程=速度×时间)，得到自由落体的路程模型为上述模型的结果是正确的，但是，它是在取起点与终点的平均速度的情况下得到的，方法欠直观，同时结论也仅对匀加速运动成立(恰好自由落体运动为匀加速运动).下面我们对上述路程模型给出一个直观的近似证明.数学建模——从自然走向理性之路一我们从v∝t的假设出发，简要说明上述模型的正确性.由假设v∝t，即自由落体运动为匀加速运动，v－t图象为图6.2-1中倾斜的直线.将图6.2-1所示的自由落体运动经历的时间t等分，得到一系列相同的时间间隔Δt，由于Δt很小时，物体速度变化很小，该时间间隔内的运动可以看成匀速运动.数学建模——从自然走向理性之路图6.2-1一因此，根据伽利略的假设，物体每经过一个时间间隔Δt后，在接下来的时间间隔Δt内，物体下降速度会增加，增加的值近似等于gΔt，它对应于图6.2-2中小矩形的面积，物体在时间t内总的下落高度近似等于所有矩形面积之和.当时间间隔Δt趋于0时，图6.2-2中阶梯形矩形面积就等于倾斜直线、t轴以及时间t对应直线所围成的三角形面积，即数学建模——从自然走向理性之路图6.2-2上述推导过程虽然直观但不够严谨，其严格证明需要用到牛顿-莱布尼茨所提出的微积分，而重力加速度的精确值是惠更斯得到的.一

5.模型分析与检验伽利略做了一系列的实验来检验模型的正确性，他的实验是在斜面上进行的.伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实：同样的高度、同样的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比.这个事实说明：可以利用斜面进行自由落体的实验.于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下，如图6.2-3.他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的木板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性.数学建模——从自然走向理性之路图6.2-3一

6.推广应用伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，他将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到90°，小球的加速度不断变大，小球逐步过渡到自由落体运动，如图6.2-4.至此，他成功地验证了原先的猜想，得到了自由落体运动的规律.数学建模——从自然走向理性之路图6.2-4小球沿斜坡滚下时运动方程实验图一根据自由落体运动方程的建立过程，我们可以用图6.2-5所示的框图来表示数学建模过程.数学建模——从自然走向理性之路图6.2-5数学建模程序框图一数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际，又能够利用现有方法求解的合理数学模型就成为解决实际问题的关键步骤之一.需要说明的是，数学模型与我们通常所说的数学问题是不同的，一般的数学问题要求叙述严谨、明确、答案唯一，而根据实际问题建立的数学模型及由此得到的答案通常不具有唯一性，判断数学模型的优劣以是否符合实际为标准.数学建模——从自然走向理性之路一数学建模——从自然走向理性之路

问题研究一：将一张四条腿同样长的椅子放在不平的地面上(四脚的连线为正方形)，只允许对椅子绕四脚连线构成的正方形的中心旋转，利用函数零点存在性定理建立数学模型，证明椅子绕正方形的中心旋转不超过90°的某个角度时，一定可以使其四条腿同时着地.若椅子四脚的连线为矩形，结论有何变化?练习一数学建模——从自然走向理性之路

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