【数学】因式分解（教学课件）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解4.1因式分解初中数学北师大版（2024）八年级下册1.理解并掌握因式分解的概念.(重点、难点)2.理解因式分解与整式乘法之间的关系，并能够运用其解决问题.(难点)学习目标993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.小明是这样做的：993－99＝99×992－99×1＝99×(992－1)＝99×9

800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数乘积的形式.993－99还能被哪些正整数整除？情境引入01因式分解问题1

(1)如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方法表示草坪的总面积吗？不同的表示面积方法之间有什么关系？提示方法一m(a＋b＋c).方法二ma＋mb＋mc.不同的表示面积方法之间有相等关系，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).(2)左右两边的式子有什么关系？请用“>”“<”或“＝”表示：x2－2x

x(x－2)；

x2－y2

(x＋y)(x－y)；

x2＋2x＋1

(x＋1)2.

观察上边左右两栏的几个等式，你发现了什么？提示左边一栏是多项式，右边一栏是把多项式化成了几个整式乘积的形式.＝＝＝知识梳理把一个多项式化成几个整式

的形式，这种变形叫作

，也可称为

.其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.注意点：对于因式分解的定义应明确以下几点：(1)因式分解是一种恒等变形；(2)因式分解是把和的形式化为积的形式的变形，即把多项式化为积的形式；(3)积中的各因式都是整式；(4)每个因式在指定范围内都不能再分解，即分解彻底.乘积因式分解分解因式例1下列从左到右的变形中是因式分解的有①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).A.1个 B.2个C.3个 D.4个√解析由因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，得①③不是因式分解，②④是因式分解.反思感悟判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式.跟踪训练1

(1)下列各式从左到右的变形为因式分解的是A.x2－y2＝(x－y)2B.x2－8x＋16＝(x－4)2C.(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2D.a2－4＋3a＝(a＋2)(a－2)＋3a√解析x2－y2≠(x－y)2，故A不符合题意；x2－8x＋16＝(x－4)2，所以从左到右的变形为因式分解，故B符合题意；(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2，是整式乘法，所以不是因式分解，故C不符合题意；a2－4＋3a＝(a＋2)(a－2)＋3a，等式的右边不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，故D不符合题意.

解①因式分解是针对多项式来说的，故①不是因式分解；②等号右边不是几个整式乘积的形式，故②不是因式分解；③是因式分解；④等号右边不是几个整式乘积的形式，故④不是因式分解；⑤等号右边不是几个整式乘积的形式，故⑤不是因式分解.故①②④⑤不是因式分解，③是因式分解.因式分解与整式乘法的关系2问题2计算下列各式，根据左面的算式填空：(1)3x(x－1)＝

；3x2－3x＝(

)(

)；

(2)(m＋4)(m－4)＝

；m2－16＝(

)(

)；

(3)(y－3)2＝

；y2－6y＋9＝(

)2；

3x2－3x3xx－1m2－16m＋4m－4y2－6y＋9y－3(4)观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？提示

联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是整式乘法，右边一栏是因式分解.两者运算是相反的.(5)整式乘法与因式分解有什么关系？举例说明.提示

因式分解与整式乘法是互逆过程.知识梳理整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形.例2

若多项式x2＋ax＋b分解因式的结果为a(x－2)(x＋3)，求a，b的值.解∵x2＋ax＋b＝a(x－2)(x＋3)＝ax2＋ax－6a，∴a＝1，b＝－6a＝－6.反思感悟对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.跟踪训练2

(1)若x2＋mx＋4＝(x－2)2，则下列结论正确的是A.等式从左到右的变形是乘法公式，m＝4B.等式从左到右的变形是因式分解，m＝4C.等式从左到右的变形是乘法公式，m＝－4D.等式从左到右的变形是因式分解，m＝－4√解析∵x2＋mx＋4＝(x－2)2，∴x2＋mx＋4＝x2－4x＋4，则m＝－4，原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式.(2)若81－xk＝(9＋x2)(3＋x)(3－x)，那么k的值是A.2 B.3C.4 D.5√解析∵81－xk＝(9＋x2)(3＋x)(3－x)，∴81－xk＝(9＋x2)(9－x2)＝81－x4，∴k＝4.课堂小结1.下列式子从左到右的变形是因式分解的是A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25课堂练习√2.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是A.(x＋3xy)(x－3xy)B.x(x－3xy)C.x2(1－3xy2)D.x(x－3y2)√课堂练习3.根据2ab(

)＝4a3b3＋6a2b－2ab2，将4a3b3＋6a2b－2ab2分解因式得4a3b3＋6a2b－2ab2＝

.

2a2b2＋3a－b2ab(2a2b2＋3a－b)课堂练习4.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：__________________________.

x2＋6x＋8解析四个独立图形的面积和为x2＋2x＋4x＋4×2＝x2＋6x＋8，组合图形面积为(x＋2)(x＋4)，∴x2＋6x＋8＝(x＋2)(x