二次函数中的线段周长面积问题课件06中考数学二次函数专题

二次函数中的线段、周长、面积问题典型例题

研析典型例题研析考点1二次函数与线段最值【一题多问·多题归一】类型1

单条线段最值【模型题】(2025·扬州中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+3的图象(记为G1)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象(记为G2)经过点A,C.直线x=t与两个图象G1,G2分别交于点M,N,与x轴交于点P.(1)求b,c的值.(2)当点P在线段AO上时,求MN的最大值.

模型建立

特征:(1)一端点在直线上,另一端点在抛物线上;(2)两端点的连线平行坐标轴.基本图形

解题方法

(1)设:设二次函数图象上点的横坐标,并用横坐标表示点的纵坐标;(2)求:求直线的解析式,并用(1)中的横坐标表示直线上点的纵坐标;(3)作差:用两点的纵坐标之差的绝对值表示线段的长;(MN=|yM-yN|,PM=|yP-yM|)(4)求最值:利用二次函数的性质求最值.

(3)根据平移得到抛物线y'的解析式,然后过点P作PT⊥y轴于点T,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM,即可得到∠NAB=∠OPM-45°=∠OPT=∠POB,设点N的坐标为(a,a2-a-14),根据tan∠NAB=tan∠OPT,列等式求出a的值即可.

【解析】(1)∵A(-1,0),B(3,0),在二次函数y=-x2+bx+c的图象上,设该二次函数的解析式为y=-(x-x1)(x-x2),∴y=-(x+1)(x-3),∴y=-x2+2x+3;(2)①把x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,∴C(0,3),如图,延长DC与x轴相交于点G,

∵DE+EH≥DH,∴当DE+EH=DH时,DE+EH最小,∵D(1,4),H(1,-1),∴DH=5.此时D,E,H三点共线且DH⊥x轴,∴点F的坐标为(0,3)与点C重合,满足EF在线段BC上,∴DE+OF的最小值为5.应用一:求三角形周长最小值1.(2024·宜宾中考)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点E在以点P(3,0)为圆心,1为半径的☉P上,连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围.

应用二:求三条线段之和最小值2.(2024·烟台中考)如图,抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直线l1:x=-1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2.(1)分别求抛物线y1和y2的解析式;(2)如图1,点F的坐标为(-6,0),动点M在直线l1上,过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N,连接FM,DN,求FM+MN+DN的最小值;(3)如图2,点H的坐标为(0,-2),动点P在抛物线y2上,试探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

应用三:求四条线段之和最小值3.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A,且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).(1)求抛物线的函数解析式;(2)点C(3,m)是该抛物线上的一点,在x轴、y轴上分别找点P,Q,使四边形PQBC周长最小,求P,Q的坐标.

模型抽象

如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小.模型解析

作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB.当A',P,B三点共线时,PA'+PB=A'B,此时为最小值(两点之间线段最短).思路点拨

(1)用待定系数法得抛物线的解析式,进而可得抛物线顶点D的坐标;(2)作点D关于y轴的对称点D',连接BD'交y轴于M,可知△BDM的周长最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故B,M,D'共线时,DM+BM最小,最小值为BD'的长,此时△BDM的周长也最小;(3)以AP为边,在AP下方作等边三角形APQ,连接PE,QF,BQ,由思路点拨

(2)以MN,MF为邻边作出▱FF'NM,作点D关于直线l2的对称点D',则FM+MN+DN=F'N+ND'+MN=F'D'+2为最小;(3)当点P在直线l2的右侧时,∠PEH=2∠DHE,则EP和HE关于对称轴l2对称,求出直线EP的解析式,即可求解;当点P在直线l2的左侧时,由NH=NE,求出N点坐标,即可求解.模型抽象

已知A,B两点,MN长度为定值,确定M,N位置,使得AM+MN+NB值最小.模型解析

∵MN为定值,∴只要AM+BN值最小即可.将AM平移使M,N重合,AM=A'N,将AM+BN转化为A'N+NB.构造点A'关于MN的对称点A″,连接A″B,可依次确定N,M位置,即可求解.思路点拨

(2)作B点关于y轴的对称点B',作C点关于x轴的对称点C',连接C'B'交x轴、y轴分别于点P,Q,四边形PQBC周长=BQ+PQ+PC+BC=B'Q+PQ+C'P+CB=C'B'+CB.求直线B'C'的解析式,问题求解.模型抽象

在OA,OB上分别取点M,N使得四边形PMNQ的周长最小.模型解析

考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P',Q',化线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P',M,N,Q'共线时,四边形PMNQ的周长最小.考点2二次函数与面积问题例

(2025·龙东中考)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B,交y轴于点C,且点A在点B的左侧,顶点坐标为(3,-4).(1)求b与c的值.(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等.若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c的