2026年广东中考数学素养培优强化试卷（附答案解析）

2026年广东中考数学素养培优强化试卷（附答案解析）考试时间：120分钟满分：120分注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．聚焦素养培优：概念深化、逻辑辨析、模型迁移）下列关于整式的运算，体现数学运算素养的是（）

A．(a-b)²=a²-b²B．a³·a⁴=a¹²C．(2a²b)³=8a⁶b³D．a⁸÷a²=a⁴

【素养指向】：数学运算素养，培优点在于精准掌握完全平方、同底数幂乘除、积的乘方运算规则，规避常见符号与指数错误。

已知二次函数y=-x²+2mx-m²+3（m为常数），其图象的顶点位置体现的直观想象素养是（）

A．始终在x轴上B．始终在y轴上C．始终在第一象限D．始终在直线y=3上

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于将一般式化为顶点式，通过顶点坐标特征判断位置规律，强化代数与几何的关联。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=4/3，AC=6，则△ABC的周长为（）

A．24B．20C．18D．16

【素养指向】：数学运算与直观想象素养，培优点在于利用正切定义求对边，结合勾股定理求斜边，构建直角三角形边长关系模型。

关于x的一元二次方程(m-1)x²+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m≤2B．m<2C．m≤2且m≠1D．m<2且m≠1

【素养指向】：逻辑推理与数学运算素养，培优点在于兼顾判别式的实数根条件与二次项系数不为0的隐含条件，强化分类讨论意识。

将抛物线y=2x²-4x+1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线与y轴交点坐标为（）

A．(0，-3)B．(0，-1)C．(0，1)D．(0，3)

【素养指向】：直观想象与数学运算素养，培优点在于先化顶点式精准平移，再求平移后抛物线与y轴交点，强化数形结合能力。

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AC=10，∠AOD=120°，则AB的长为（）

A．5B．5√3C．8D．10

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于利用矩形对角线相等且平分的性质，结合等腰三角形与特殊角求边长，构建几何模型。

若点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在反比例函数y=6/x的图象上，且x₁<0<x₂，则下列结论正确的是（）

A．y₁>0>y₂B．y₁<0<y₂C．y₁>y₂>0D．y₂<y₁<0

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于结合反比例函数图象分布，通过横坐标正负判断函数值符号，强化数形结合思维。如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=30°，则∠BAD的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于识别同弧所对的圆周角相等，结合直径所对圆周角为直角，完成角的转化与计算。

某商品进价为40元/件，售价为60元/件时，每天可卖出100件，若售价每上涨1元，每天销量减少5件，设售价上涨x元，每天利润为w元，体现数学建模素养的函数关系式为（）

A．w=(60+x-40)(100-5x)B．w=(60+x)(100-5x)

C．w=(x-40)(100-5x)D．w=(60+x-40)(100+5x)

【素养指向】：数学建模与数学运算素养，培优点在于精准梳理“涨价后单件利润”与“销量”的变化关系，构建二次函数利润模型。如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）

A．8B．12C．16D．20

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于利用三角形中位线定理推导相似比，结合相似三角形面积比与相似比的关系求解，强化几何推理链条。

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．聚焦素养培优：因式分解、根式运算、几何求值、规律探究）因式分解：x⁴-16=______．

【素养指向】：数学运算素养，培优点在于先套用平方差公式，再对结果进一步分解，强化因式分解的彻底性意识。

计算：(√2+1)(√2-1)+√18-4√(1/2)=______．

【素养指向】：数学运算素养，培优点在于利用平方差公式简化计算，结合二次根式化简与合并，提升运算效率与精准度。

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为4，则菱形的高为______．

【素养指向】：直观想象与数学运算素养，培优点在于结合菱形性质与等边三角形特征，通过三角函数或勾股定理求高，构建几何计算模型。

已知一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=4/x的图象交于点（2，m），且过点（-1，-3），则一次函数解析式为______．

【素养指向】：数学建模与数学运算素养，培优点在于先求反比例函数上点的坐标，再用待定系数法求一次函数解析式，强化函数交点问题的解题逻辑。

如图，⊙O的切线PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点B，若PA=3，PB=1，则⊙O的半径为______．

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于连接半径构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解半径，强化切线问题的核心模型。

若分式方程(2x)/(x-1)-1=m/(x-1)有增根，则m的值为______．

【素养指向】：数学运算与逻辑推理素养，培优点在于理解增根的本质，严格遵循“去分母、找增根、代回求解”步骤，规避符号与漏乘错误。

观察下列等式：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=4²，…，体现逻辑推理素养的第n个等式为______．

【素养指向】：逻辑推理与数学建模素养，培优点在于分析等式左边奇数和的规律与右边平方数的关联，用含n的代数式表示通用规律，强化归纳推理能力。

三、解答题（本大题共8小题，共62分．聚焦素养培优：逻辑证明、函数应用、统计建模、综合探究）（一）基础培优题（共2小题，每小题6分，素养指向：运算规范性、推理严谨性）先化简，再求值：(1/(x+2)+x/(x²-4))÷(x-1)/(x+2)，其中x=√3+2．

【素养指向】：数学运算与逻辑推理素养，培优点在于通分、因式分解、约分的连贯运算，代入后精准完成二次根式分母有理化，强化运算步骤规范性。解不等式组：{2x-1≥x+1，(x+8)/2>4x-1}，并写出该不等式组的所有整数解．

【素养指向】：数学运算与逻辑推理素养，培优点在于正确处理不等号方向，精准界定解集公共部分，筛选整数解，强化不等式组求解的严谨性。

（二）核心培优题（共4小题，每小题8分，素养指向：几何证明、函数应用、统计建模、圆的综合）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF，连接AE、CF．求证：AE=CF．

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于结合平行四边形性质，通过全等三角形或平行四边形的判定证明边相等，构建完整的几何推理链条。

某校为培育学生“数学阅读”素养，开展阅读打卡活动，随机抽取部分学生的打卡天数进行整理，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取了多少名学生？

（2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中“21-30天”等级对应的圆心角度数；

（3）若该校共有800名学生，估计打卡天数不少于21天的学生人数．

（注：频数分布直方图中，1-10天15人，11-20天25人，21-30天30人，31-40天10人；扇形统计图中1-10天18.75%，11-20天31.25%，21-30天37.5%，31-40天12.5%）

【素养指向】：数据分析与数学建模素养，培优点在于通过图表数据互推总人数，精准计算圆心角度数，用样本估计总体，强化数据分析能力。

某工厂生产一批新能源产品，每件成本为100元，售价为x元，每月销售量为y件，且y与x之间的函数关系式为y=-10x+5000．设每月利润为w元，培育数学建模素养。

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）当售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？

（3）若工厂每月的销售量不低于2000件，求每月的最大利润．

【素养指向】：数学建模与数学运算素养，培优点在于建立二次函数利润模型，结合顶点式与自变量取值限制，求解最值，强化实际问题的数学转化能力。

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，连接AC、BC，若∠E=30°，CE=3√3，求AC的长．

【素养指向】：直观想象与逻辑推理素养，培优点在于连接半径构造直角三角形，结合特殊角三角函数与圆周角定理，完成线段长度的转化与计算，强化圆的综合解题能力。

（三）综合培优题（共2小题，每小题9分，素养指向：动态几何探究、二次函数与几何综合）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P从点B出发，沿BC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CA向点A以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（t>0），连接PQ．

（1）当t=1时，求PQ的长；

（2）设△PQO的面积为S（O为PQ与AB的交点），求S与t的函数关系式；

（3）当PQ∥AB时，求t的值及此时△PQO的面积．

【素养指向】：直观想象、逻辑推理与数学建模素养，培优点在于用参数表示线段长度，结合相似三角形、面积公式建立函数与方程，强化动态几何的“以静制动”解题思维。

如图，二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

（1）求二次函数的解析式及直线BC的解析式；

（2）当点P在第一象限时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；

（3）当△CPE为等腰三角形时，求点P的坐标（点C除外）．

【素养指向】：直观想象、逻辑推理与数学建模素养，培优点在于分类讨论等腰三角形的腰与底，结合坐标与距离公式建立方程，逐一验证求解，强化二次函数与几何的综合应用能力。

参考答案及解析（精准拆解素养要点，梳理解题逻辑，强化培优技巧）一、选择题（每小题3分，共30分）答案：C

解析：A选项，(a-b)²=a²-2ab+b²，错误；B选项，a³·a⁴=a^(3+4)=a⁷，错误；C选项，(2a²b)³=8a⁶b³，正确；D选项，a⁸÷a²=a^(8-2)=a⁶，错误。故选C。

素养培优总结：整式运算需牢记核心公式，关注指数变化与符号规律，提升数学运算的精准性与规范性。

答案：D

解析：y=-x²+2mx-m²+3=-(x-m)²+3，顶点坐标为（m，3），无论m取何值，顶点纵坐标恒为3，即始终在直线y=3上。故选D。

素养培优总结：将二次函数化为顶点式，通过顶点坐标特征判断位置，建立代数表达式与几何位置的关联，强化直观想象素养。

答案：A

解析：tanA=BC/AC=4/3，AC=6，故BC=8；由勾股定理得AB=√(6²+8²)=10；周长=6+8+10=24。故选A。

素养培优总结：利用三角函数定义建立直角三角形边的比例关系，结合勾股定理求未知边，构建完整的几何运算模型。

答案：C

解析：方程有实数根，故Δ=2²-4(m-1)×1≥0，解得m≤2；又因是一元二次方程，m-1≠0，即m≠1。综上，m≤2且m≠1。故选C。

素养培优总结：解决一元二次方程实数根问题，需兼顾判别式与二次项系数不为0的隐含条件，强化逻辑推理的严谨性。

答案：A

解析：y=2x²-4x+1=2(x-1)²-1；向左平移1个单位得y=2x²-1，再向下平移2个单位得y=2x²-3；令x=0，得y=-3，交点坐标为（0，-3）。故选A。

素养培优总结：抛物线平移先化顶点式，精准应用“左加右减、上加下减”规则，再求特殊点坐标，强化数形结合素养。

答案：A

解析：矩形对角线相等且平分，OA=OD=5；∠AOD=120°，故∠AOB=60°，△AOB为等边三角形，AB=OA=5。故选A。

素养培优总结：利用矩形性质推导等腰三角形，结合特殊角判断三角形类型，快速求边长，提升几何推理效率。

答案：B

解析：k=6>0，反比例函数图象在第一、三象限；x₁<0时，y₁<0；x₂>0时，y₂>0，故y₁<0<y₂。故选B。

素养培优总结：结合反比例函数k的符号判断图象象限，通过横坐标正负确定函数值符号，无需代入计算，强化直观想象素养。

答案：C

解析：∠ACD与∠ABD同弧AD，故∠ABD=30°；AB是直径，∠ADB=90°，故∠BAD=90°-30°=60°。故选C。

素养培优总结：运用圆周角定理实现角的转化，结合直径所对圆周角为直角，构建角的计算链条，强化逻辑推理素养。

答案：A

解析：单件利润=60+x-40，销量=100-5x，利润w=单件利润×销量=(60+x-40)(100-5x)。故选A。

素养培优总结：梳理涨价后利润与销量的变化规律，精准构建二次函数模型，强化数学建模素养。

答案：C

解析：D、E是中点，DE是中位线，DE∥BC且DE=1/2BC，△ADE∽△ABC，相似比=1:2；面积比=1:4，故△ABC面积=4×4=16。故选C。

素养培优总结：利用中位线定理推导相似关系，结合相似三角形面积比规律求解，强化几何推理与运算的结合。

二、填空题（每小题4分，共28分）答案：(x²+4)(x+2)(x-2)

解析：x⁴-16=(x²+4)(x²-4)=(x²+4)(x+2)(x-2)。

素养培优总结：因式分解需遵循“一提二套”原则，多次套用公式，确保分解彻底，提升数学运算的深度与精准性。答案：√2

解析：(√2+1)(√2-1)+√18-4√(1/2)=2-1+3√2-2√2=1+√2=√2？修正：1+√2，最终答案为1+√2。

规范解析：平方差公式得1，√18=3√2，4√(1/2)=2√2，合并得1+3√2-2√2=1+√2。

素养培优总结：利用公式简化二次根式运算，先化简再合并，提升运算效率，规避计算失误。

答案：2√3

解析：∠ABC=60°，AB=BC=4，过A作AE⊥BC于E，AE=AB×sin60°=4×(√3/2)=2√3。

素养培优总结：结合菱形性质与特殊角，通过三角函数求高，构建几何计算模型，强化直观想象与运算结合。

答案：y=x-2

解析：点（2，m）在y=4/x上，m=2；将（2，2）、（-1，-3）代入y=kx+b，得{2k+b=2，-k+b=-3}，解得k=1，b=-2，解析式为y=x-2。

素养培优总结：先求反比例函数上点的坐标，再用待定系数法求一次函数，强化函数交点问题的解题逻辑。

答案：4

解析：连接OA，OA⊥PA，设半径为r，OP=r+1；由勾股定理得r²+3²=(r+1)²，解得r=4。

素养培优总结：切线问题核心是“连半径、构直角”，结合勾股定理建立方程，强化圆的综合解题模型。

答案：2

解析：去分母得2x-(x-1)=m，增根为x=1，代入得2×1-0=m，m=2。

素养培优总结：明确增根的双重条件，严格遵循解题步骤，规避去分母漏乘与符号错误，强化逻辑推理严谨性。答案：1+3+5+…+(2n-1)=n²

解析：左边为前n个奇数和，第n个奇数为2n-1，右边为n的平方，故等式为1+3+5+…+(2n-1)=n²。

素养培优总结：通过归纳推理梳理等式规律，拆分左右两边的变化特征，用含n的代数式表示通用规律，强化逻辑推理素养。

三、解答题（共62分）1．（6分）解：原式=[(x-2)+x]/[(x+2)(x-2)]×(x+2)/(x-1)

=(2x-2)/[(x+2)(x-2)]×(x+2)/(x-1)

=2(x-1)/[(x+2)(x-2)]×(x+2)/(x-1)

=2/(x-2)。

当x=√3+2时，原式=2/(√3+2-2)=2/√3=2√3/3。

解析：先通分合并分式，因式分解后约分简化，代入数值后进行分母有理化，步骤规范严谨。

素养培优总结：分式化简求值需注重“先化简再代入”，强化因式分解与通分技巧，提升数学运算的精准性。

2．（6分）解：解不等式2x-1≥x+1，得x≥2；

解不等式(x+8)/2>4x-1，得x+8>8x-2，-7x>-10，x<10/7≈1.43。

不等式组无解？修正：重新计算第二个不等式，(x+8)/2>4x-1⇒x+8>8x-2⇒-7x>-10⇒x<10/7，与x≥2无公共部分，故无解，无整数解。

规范解析：两个不等式的解集分别为x≥2和x<10/7，无公共部分，不等式组无解，不存在整数解。

素养培优总结：解不等式组需精准求公共部分，若无解需明确说明，强化逻辑推理的严谨性。

3．（8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC且AD=BC；

∵BE=DF，

∴AD-DF=BC-BE，即AF=EC；

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE=CF。

解析：结合平行四边形性质推导边的平行与相等关系，通过平行四边形的判定定理证明四边形AECF为平行四边形，进而得出结论。

素养培优总结：几何证明需构建完整的推理链条，利用平行四边形的性质与判定实现边的转化，强化逻辑推理素养。

4．（8分）解：（1）总人数=15÷18.75%=80（名）。

（2）补全频数分布直方图（21-30天30人，31-40天10人，略）；“21-30天”圆心角度数=360°×37.5%=135°。

（3）打卡不少于21天的占比=37.5%+12.5%=50%，估计人数=800×50%=400（名）。

答：（1）80名；（2）135°；（3）400名。

解析：通过已知频数与百分比求总人数，推导其他组频数，计算圆心角度数，用样本估计总体，步骤清晰。

素养培优总结：数据分析题核心是确定总人数，联动频数与百分比，精准完成统计计算，强化数据分析素养。

5．（8分）解：（1）w=(x-100)y=(x-100)(-10x+5000)=-10x²+6000x-500000。

（2）w=-10(x-300)²+400000；∵-10<0，开口向下，∴x=300时，w最大=400000元。

（3）y≥2000，即-10x+5000≥2000，解得x≤300；函数在x≤300时随x增大而增大，故x=300时，w最大=400000元。

答：（1）w=-10x²+6000x-500000；（2）售价300元，最大利润400000元；（3）最大利润400000元。

解析：建立二次函数利润模型，化为顶点式求最值，结合销量限制确定自变量范围，验证最值位置。

素养培优总结：二次函数实际应用需结合自变量的实际意义，通过函数性质求最值，强化数学建模与运算结合。

6．（8分）解：连接OC，∵CE是切线，∴OC⊥CE，∠OCE=90°；

∠E=30°，CE=3√3，∴OC=CE×tan30°=3√3×(√3/3)=3，OE=2OC=6；

AB=2OC=6，BE=OE-OB=6-3=3；

∠ABC=∠E=30°（同角的余角相等），AB是直径，∠ACB=90°，

∴AC=AB×sin30°=6×1/2=3。

答：AC的长为3。

解析：连接半径构造直角三角形，利用特殊角三角函数求半径，结合圆周角定理与直角三角形性质求AC，步骤连贯。

素养培优总结：圆的综合题需熟练运用切线性质、特殊角三角函数与圆周角定理，构建线段与角的转化模型，强化综合解题能力。

7．（9分）解：（1）t=1时，BP=1，PC=6-1=5；CQ=2，AQ=8-2=6；Rt△PCQ中，PQ=√(5²+2