角平分线（第2课时） 课件(共20张) 2024-2025学年北师大版初中数学八年级下册

1.4角平分线(第2课时)第一章

等腰三角形学习目标会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题12知识回顾回顾一下角平分线的的性质定理和判定定理性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.经常用来证明两条线段相等判定：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.经常用来证明两角相等知识回顾三角形的边的垂直平分线有什么性质？三角形三条边的垂直平分线有什么性质？三角形的边的垂直平分线上的点到这条边两个顶点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.三角形的三条角平分线又有什么性质呢？典型例题例2求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.AD点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：AP是∠BAC的平分线BP是∠ABC的平分线PI＝PHPG＝PIPH＝PG点

P在∠BCA的平分线上A

B

C

P

F

H

DEIG典型例题例2已知：如图，△ABC的角平分线

BM，CN相交于点

P，过点

P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为

D，E，F.求证：∠A的平分线经过点

P，且

PD＝PE＝PF.PDFEMNBAC证明：∵BM是

△ABC的角平分线，点

P在

BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，

∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴点

P在∠A的平分线上(在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上).即∠A的平分线经过点

P.知识探究三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等三角形三个内角的平分线的性质符号语言：①在△ABC中，∵BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线，∴BD，CE，AG相交于点

P.这个点叫做三角形的内心A

B

C

P

F

H

DEIG②若过点

P作

PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为点M，N，F，则

PM＝PN＝PF.三角形的三条角平分线的交点只能在三角形的内部知识探究三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形_______一点

交于三角形_______一点

钝角三角形交于三角形_______一点

直角三角形交于斜边的_________

交点性质到三角形_____________的距离相等

到三角形_________的距离相等

内

外

中点

内

三个顶点

三边

典型例题例3如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点

E.(1)已知CD＝

，求

AC

的长；(2)求证：AB＝AC＋CD.EDABCAD分析：(1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出

BD的长，从而求出

BC的长，即

AC的长.(2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC＝AE，再通过证明

△BDE为等腰直角三角形可以得到

DE＝BE，从而证出

AB＝AC＋CD.典型例题例3EDABC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD＝(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC

(等边对等角).∵∠C＝90°，∴∠B＝(180°－90°)＝45°.∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中，BD＝(勾股定理)∴AC＝BC＝CD＋BD＝.典型例题例3EDABC

(2)证明：在

Rt△ACD和Rt△AED中，∵CD＝DE，AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).

∴

AC＝AE(全等三角形的对应边相等)

∵

BE＝DE＝CD，

∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.知识探究延伸拓展PAOBDC12ABCDEFABCDEFABCDEPOAQBMN角平分线有关问题的常见辅助线做法：当

堂

检

测当堂检测C当堂检测B当堂检测C当堂检测C当堂检测3角平分线性质定理和判定定理的应用：角平分线三角形的内心

三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等.1.角平分线和平行